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ベクトル

実ベクトル空間における線型従属と線型独立

目次

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線型従属なベクトル

実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)上の\(m\)個のベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\)を選んだとき、これらの線型結合は何らかのスカラーの組\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と表現されるベクトルです。では、この線型結合がゼロベクトルと一致するようなスカラーの組、すなわち、\begin{equation}
a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす組\(a_{1},\cdots ,a_{m}\)は存在するでしょうか。すべてのスカラーがゼロである場合、すなわち、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :a_{i}=0
\end{equation*}である場合には\(\left( 1\right) \)は明らかに成り立ちます。一方、ゼロではないスカラーを含む何らかのスカラーの組のもとで\(\left( 1\right) \)が成り立つ場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :a_{i}\not=0
\end{equation*}を満たす何らかの組\(a_{1},\cdots ,a_{m}\)のもとで\(\left( 1\right) \)が成り立つ場合には、ベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)は線型従属(linearly dependent)であるとか1次従属、または従属であるなどと言います。また、線型従属なベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\)を要素として持つ集合\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)を線型従属な集合(linearly dependentset)と呼びます。

改めて整理すると、ベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\)が線型従属であることとは、\begin{equation*}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}=0\wedge \exists i\in \left\{ 1,\cdots
,m\right\} :a_{i}\not=0
\end{equation*}を満たすスカラーの組\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)が存在することを意味します。

例(線型従属なベクトル)
3次元の実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)における以下の3つのベクトル\begin{eqnarray*}x_{1} &=&\left( 1,-2,1\right) \in \mathbb{R} ^{3} \\
x_{2} &=&\left( 2,1,-1\right) \in \mathbb{R} ^{3} \\
x_{3} &=&\left( 7,-4,1\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{eqnarray*}が線型従属であることを示します。以下の条件\begin{equation*}
a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}=0
\end{equation*}を満たすスカラーの組\(a_{1},a_{2},a_{3}\in \mathbb{R} \)を特定します。具体的には、\begin{equation*}a_{1}\left( 1,-2,1\right) +a_{2}\left( 2,1,-1\right) +a_{3}\left(
7,-4,1\right) =\left( 0,0,0\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( a_{1}+2a_{2}+7a_{3},-2a_{1}+a_{2}-4a_{3},a_{1}-a_{2}+a_{3}\right)
=\left( 0,0,0\right)
\end{equation*}となるため、変数\(a_{1},a_{2},a_{3}\)に関する以下の連立方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{r}
a_{1}+2a_{2}+7a_{3}=0 \\
-2a_{1}+a_{2}-4a_{3}=0 \\
a_{1}-a_{2}+a_{3}=0\end{array}\right.
\end{equation*}を解くことに帰着します。これを簡約化すると、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{r}
a_{1}+2a_{2}+7a_{3}=0 \\
5a_{2}+10a_{3}=0 \\
-3a_{2}-6a_{3}=0\end{array}\right.
\end{equation*}さらに、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{r}
a_{1}+2a_{2}+7a_{3}=0 \\
a_{2}+2a_{3}=0\end{array}\right.
\end{equation*}となります。これは3つの変数に対して2つの方程式しか存在しない連立方程式であるためゼロではない解を持ちます。例えば、\begin{equation*}
\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) =\left( 3,-2,1\right)
\end{equation*}は1つの例です。このとき、\begin{equation*}
3x_{1}-2x_{2}+x_{3}=0
\end{equation*}が成り立つため、\(x_{1},x_{2},x_{3}\)が線型従属であることが明らかになりました。
例(線型従属なベクトル)
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)における\(m\)個のベクトル\(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。その中の少なくとも1つがゼロベクトルならば、これらのベクトル\(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{m}\)は線型従属です。実際、例えば、\begin{equation*}x_{1}=0
\end{equation*}であるとき、ゼロではないスカラー\(1\)を含むスカラーの組\(1,0,\cdots ,0\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}1x_{1}+0x_{2}+\cdots +0x_{m} &=&1\cdot 0+0x_{2}+\cdots +0x_{m}\quad \because
x_{1}=0 \\
&=&0+0+\cdots +0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つからです。以上の事実は、ゼロベクトル\(0\)は単独で線型従属であることを意味します。実際、ゼロとは異なるスカラー\(a\not=0\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}a0=0
\end{equation*}が成り立つからです。

 

線型独立なベクトル

実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)における\(m\)個のベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\)を選んだとき、これらが線型従属ではない場合には、\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)は線型独立(linearly independent)であるとか1次独立、または独立であるなどと言います。また、線型独立なベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\)を要素として持つ集合\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)を線型独立な集合(linearlyindependent set)と呼びます。

ベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\)が線型従属であることとは、\begin{equation}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}=0\wedge \exists i\in \left\{ 1,\cdots
,m\right\} :a_{i}\not=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすスカラーの組\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)が存在することを意味します。したがって、\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)が線型独立であることとは、任意のスカラーの組\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)に対して\(\left( 1\right) \)が成り立たないこと、すなわち、\begin{equation*}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}\not=0\wedge \forall i\in \left\{ 1,\cdots
,m\right\} :a_{i}=0
\end{equation*}が成り立つことを意味します。含意の定義より、これを、\begin{equation*}
a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}=0\Rightarrow \forall i\in \left\{ 1,\cdots
,m\right\} :a_{i}=0
\end{equation*}と表現することもできます。つまり、ベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)が線型独立であることとは、スカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m}\)がすべて\(0\)である場合にのみ\(a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}=0\)が成り立つことを意味します。

例(線型独立なベクトル)
3次元の実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)における3つのベクトル\begin{eqnarray*}x_{1} &=&\left( 1,2,-3\right) \in \mathbb{R} ^{3} \\
x_{2} &=&\left( 1,-3,2\right) \in \mathbb{R} ^{3} \\
x_{3} &=&\left( 2,-1,5\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{eqnarray*}が線型独立であることを示します。以下の条件\begin{equation*}
a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}=0
\end{equation*}を満たすスカラーの組\(a_{1},a_{2},a_{3}\in \mathbb{R} \)を特定します。具体的には、\begin{equation*}a_{1}\left( 1,2,-3\right) +a_{2}\left( 1,-3,2\right) +a_{3}\left(
2,-1,5\right) =\left( 0,0,0\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( a_{1}+a_{2}+2a_{3},2a_{1}-3a_{2}-a_{3},-3a_{1}+2a_{2}+5a_{3}\right)
=\left( 0,0,0\right)
\end{equation*}となるため、変数\(a_{1},a_{2},a_{3}\)に関する以下の連立方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{r}
a_{1}+a_{2}+2a_{3}=0 \\
2a_{1}-3a_{2}-a_{3}=0 \\
-3a_{1}+2a_{2}+5a_{3}=0\end{array}\right.
\end{equation*}を解くことに帰着します。これを簡約化すると、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{r}
a_{1}+a_{2}+2a_{3}=0 \\
-5a_{2}-5a_{3}=0 \\
5a_{2}+11a_{3}=0\end{array}\right.
\end{equation*}さらに、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{r}
a_{1}+a_{2}+2a_{3}=0 \\
-5a_{2}-5a_{3}=0 \\
6a_{3}=0\end{array}\right.
\end{equation*}となります。これを解くと、\begin{equation*}
\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) =\left( 0,0,0\right)
\end{equation*}だけが解であるため、\(x_{1},x_{2},x_{3}\)が線型独立であることが明らかになりました。
例(線型独立なベクトル)
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)におけるゼロベクトルではないベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、この1つのベクトル\(x\)は線型独立です。実際、\(x\not=0\)である場合、\begin{equation*}a\cdot x=0
\end{equation*}を満たすスカラー\(a\)は\(0\)だけだからです。

 

線型従属・線型従属の意味

ベクトルどうしが線型従属であることや線型独立であることは何を意味するのでしょうか。まずは以下の命題を示します。

命題(線型従属であるための必要十分条件)
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)におけるベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選ぶ。\(m\geq 2\)の場合、この中の少なくとも1つのベクトルが他の\(m-1\)個のベクトルの線型結合として表せることは、すなわち、\begin{equation*}\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :x_{i}\in \mathrm{span}\left(
\left\{ x_{1},\cdots ,x_{i-1},x_{i+1},\cdots ,x_{m}\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つことは、ベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)が線型従属であるための必要十分条件である。\(m=1\)の場合、\(x_{1}=0\)が成り立つことは、ベクトル\(x_{1}\)が線型従属であるための必要十分条件である。
証明

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以上の命題より、2つ以上のベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)に関して、これらが線型従属であることとは、その中の少なくとも1つがその他のベクトルの線型結合として表すことができることを意味することが明らかになりました。このことは\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)の間に線型結合という演算による相互の結びつきが存在すること、すなわち従属関係があることを意味します。「線型従属」という用語の由来は以上の通りです。

線型独立に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(線型独立であるための必要十分条件)
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)におけるベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選ぶ。\(k\geq 2\)の場合、この中の任意のベクトルが他の\(m-1\)個のベクトルの線型結合として表せないことは、すなわち、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :x_{i}\not\in \mathrm{span}\left(
\left\{ x_{1},\cdots ,x_{i-1},x_{i+1},\cdots ,x_{m}\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つことは、ベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)が線型独立であるための必要十分条件である。\(m=1\)の場合、\(x_{1}\not=0\)が成り立つことは、ベクトル\(x_{1}\)が線型独立であるための必要十分条件である。
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以上の命題より、2つ以上のベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)に関して、これらが線型独立であることとは、その中からどのベクトルを選んだ場合でも、それは他のベクトルの線型結合として表すことができないことを意味することが明らかになりました。このことは\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)の間に線型結合という演算による相互の結びつきが存在しないこと、すなわち互いに独立していることを意味します。「線型独立」という用語の由来は以上の通りです。

 

線型従属・線型独立なベクトル集合の部分集合

実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)が与えられているものとします。\(m\)個のベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\)が線型独立である場合、この中から任意の形で選ばれたベクトルどうしも線型独立になることが保証されます。つまり、\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)が線型独立であるならば、その任意の非空な部分集合もまた線型独立になるということです。

命題(線型独立なベクトル集合の部分集合)
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)におけるベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\in V\)を任意に選ぶ。\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)が線型独立であるならば、その任意の非空な部分集合もまた線型独立になる。
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例(線型独立なベクトル)
3次元の実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)について考えます。これはベクトル空間です。先に示したように、以下の3つのベクトル\begin{eqnarray*}x_{1} &=&\left( 1,2,-3\right) \in \mathbb{R} ^{3} \\
x_{2} &=&\left( 1,-3,2\right) \in \mathbb{R} ^{3} \\
x_{3} &=&\left( 2,-1,5\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{eqnarray*}は線型独立です。したがって、上の命題より、例えば、\(x_{1},x_{2}\)もまた線型独立であるはずです。そこで、以下の条件\begin{equation*}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}=0
\end{equation*}を満たすスカラーの組\(a_{1},a_{2}\in \mathbb{R} \)を特定します。具体的には、\begin{equation*}a_{1}\left( 1,2,-3\right) +a_{2}\left( 1,-3,2\right) =\left( 0,0,0\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( a_{1}+a_{2},2a_{1}-3a_{2},-3a_{1}+2a_{2}\right) =\left( 0,0,0\right)
\end{equation*}となるため、変数\(a_{1},a_{2}\)に関する以下の連立方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{r}
a_{1}+a_{2}=0 \\
2a_{1}-3a_{2}=0 \\
-3a_{1}+2a_{2}=0\end{array}\right.
\end{equation*}を解くことに帰着します。これを簡約化すると、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{r}
a_{1}+a_{2}=0 \\
-5a_{2}=0\end{array}\right.
\end{equation*}となります。これを解くと、\begin{equation*}
\left( a_{1},a_{2}\right) =\left( 0,0\right)
\end{equation*}だけが解であるため、\(x_{1},x_{2}\)が線型独立であることが明らかになりました。これは先の命題の主張と整合的です。

先の命題の対偶より以下を得ます。

命題(線型従属なベクトル集合の部分集合)
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)におけるベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\in V\)を任意に選ぶ。\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)の何らかの非空な部分集合が線型従属であるならば、\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)は線型従属になる。
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例(線型従属なベクトル集合の部分集合)
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)におけるゼロベクトル\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)は単独で線型従属であるため、上の命題より、ゼロベクトルを要素として持つベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)は線型従属です。

 

線型従属なベクトルの生成

実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)における\(m\)個のベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、それらの線型結合は何らかのスカラーの組\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と表現されるベクトルです。スカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m}\)の選び方は様々であるため、ベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)の線型結合も様々です。そこで、ベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)の線型結合を\(m+1\)個任意に選び、それらを\(y_{1},\cdots ,y_{m+1}\)で表記します。もとのベクトル\(a_{1},\cdots ,a_{m}\)の個数よりも多くの個数の線型結合\(y_{1},\cdots ,y_{m+1}\)を任意に選ぶということです。このとき、\(y_{1},\cdots ,y_{m+1}\)は線型従属になることが保証されます。

命題(線型従属なベクトルの生成)
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)における\(m\)個のベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選ぶ。これらのベクトルの線型結合を\(m+1\)個任意に選び、それらを\(y_{1},\cdots ,y_{m+1}\in \mathbb{R} ^{n}\)で表記する。このとき、\(y_{1},\cdots ,y_{m+1}\)は線型従属である。
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\(m\)個のベクトルから\(m+1\)個の線型結合を作るとそれらは線型従属になることが明らかになりました。では、\(m+1\)個より多くの個数\(k\ \left( \geq k+1\right) \)の線型結合を作った場合にはどうでしょうか。先の命題より、\(k\)個の中の\(m+1\)個の線型結合は線型従属であるため、そのような線型結合を含む\(k\)個の線型結合は線型従属になります。

命題(線型従属なベクトルの生成)
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)における\(m\)個のベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選ぶ。\(k\geq m\)を満たす\(m\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、ベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)の線型結合を\(k\)個任意に選び、それらを\(y_{1},\cdots ,y_{k}\in \mathbb{R} ^{n}\)で表記する。このとき、\(y_{1},\cdots ,y_{k}\)は線型従属である。

 

演習問題

問題(線型独立なベクトルはゼロベクトルを含まない)
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)におけるベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\in V\)を任意に選びます。これらが線型独立であるならば、その中にゼロベクトルが存在しないことを示してください。
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問題(等しいベクトルが存在する場合には線型従属)
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)におけるベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。これらの中に等しいベクトルが存在するならば、\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)は線型従属であることを示してください。
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問題(線型独立なベクトルのスカラー)
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)におけるベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。その上で、\begin{equation*}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}=b_{1}x_{1}+\cdots +b_{m}x_{m}
\end{equation*}を満たすスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m},b_{1},\cdots ,b_{m}\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)が線型独立である場合には、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :a_{i}=b_{i}
\end{equation*}が成り立つことを示してください。

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問題(基本単位ベクトルは線型独立)
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)における以下の\(n\)個のベクトル\begin{eqnarray*}e_{1} &=&\left( 1,0,\cdots ,0\right) \\
e_{2} &=&\left( 0,1,\cdots ,0\right) \\
&&\vdots \\
e_{n} &=&\left( 0,0,\cdots ,1\right)
\end{eqnarray*}を基本単位ベクトルと呼びます。ただし、\(e_{i}\)は第\(i\)成分が\(1\)で他の任意の成分が\(0\)であるようなベクトルです。基本単位ベクトル\(e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\)は線型独立であることを示してください。