実ベクトル空間における線型従属・線型独立なベクトル

ベクトル集合上で線型従属・線型独立なベクトル

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の要素である有限\(m\)個のベクトル\begin{equation*}x_{1},\cdots ,x_{m}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられたとき、これらのベクトルの線型結合とは、何らかのスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}という形で表されるベクトルです。

ベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\)の線型結合\(a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}\)がどのようなベクトルになるかはスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)の選び方に依存します。したがって、ベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)の線型結合をすべて集めることで得られる集合は、\begin{equation*}\mathrm{span}\left( \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \right) =\left\{
a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}となります。これをベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots,x_{m}\right\} \)の線型スパンと呼びます。

ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、それをベクトル\(x_{1},\cdots,x_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\)の何らかの線型結合として表現できるならば、すなわち、\begin{equation*}\exists a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} :x=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}
\end{equation*}が成り立つならば、ベクトル\(x\)はベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)上で線型従属である（linearly dependent on \(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)）であると言います。線型「従属」と呼ばれる理由は、\(x\)は\(\left\{x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)の線型結合として表現されるという意味において\(\left\{x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)の従属下にあるからです。

線型スパンの定義を踏まえると、ベクトル\(x\)がベクトル集合\(\left\{x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)上で線型従属であることは、\begin{equation*}x\in \mathrm{span}\left( \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です。つまり、ベクトル\(x\)がベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)上で線型従属であることとは、\(x\)が線型スパン\(\mathrm{span}\left( \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \right) \)の要素であることを意味します。

繰り返しになりますが、ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)がベクトル集合\(\left\{x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}\)上で線型従属であることとは、\(x\)を\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)の何らかの線型結合として表現できること、すなわち、\begin{equation*}\exists a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} :x=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。逆に、\(x\)が\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)上で線型従属ではない場合には、ベクトル\(x\)はベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)上で線型独立である（linearly independent on \(\left\{ x_{1},\cdots,x_{m}\right\} \)）と言います。これは、\(x\)を\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)のいかなる線型結合としても表現できないこと、すなわち、\begin{equation*}\forall a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} :x\not=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。線型「独立」と呼ばれる理由は、\(x\)は\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)の線型結合としてされ得ないという意味において\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)から独立しているからです。

線型スパンの定義を踏まえると、ベクトル\(x\)がベクトル集合\(\left\{x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)上で線型独立であることは、\begin{equation*}x\not\in \mathrm{span}\left( \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です。つまり、ベクトル\(x\)がベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)上で線型独立であることとは、\(x\)が線型スパン\(\mathrm{span}\left( \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \right) \)の要素ではないことを意味します。

線型従属・線型独立なベクトル集合

複数かつ有限\(m\)個のベクトルを要素として持つベクトル集合\begin{equation*}\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられたとき、この中の少なくとも1つのベクトルが他の\(m-1\)個のベクトルの線型結合として表される場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} ,\ \exists a_{1},\cdots
,a_{i-1},a_{i+1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} :x_{i}=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{i-1}x_{i-1}+a_{i+1}x_{i+1}+\cdots +a_{m}x_{m}
\end{equation*}が成り立つならば、ベクトル集合\(\left\{x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)は線型従属である（linearly dependent）とか、ベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)は線型従属であるなどと言います。

線型スパンの定義を踏まえると、ベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)が線型従属であることは、\begin{equation*}\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :x_{i}\in \mathrm{span}\left(
\left\{ x_{1},\cdots ,x_{i-1},x_{i+1},\cdots ,x_{m}\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つこと必要十分です。つまり、ベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots,x_{m}\right\} \)が線型従属であることとは、その中の少なくとも1つのベクトルが残りのベクトルからなるベクトル集合の線型スパンの要素であることを意味します。

繰り返しになりますが、2つ以上のベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)に関して、これらが線型従属であることとは、その中の少なくとも1つがその他のベクトルの線型結合として表すことができることを意味します。このことは\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)の間に線型結合という演算による相互の結びつきが存在すること、すなわち従属関係があることを意味します。「線型従属」という用語の由来は以上の通りです。

繰り返しになりますが、複数かつ有限\(m\)個のベクトルを要素として持つベクトル集合\begin{equation*}\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が線型従属であることとは、その中の少なくとも1つのベクトルが他の\(m-1\)個のベクトルの線型結合として表現できること、すなわち、\begin{equation*}\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} ,\ \exists a_{1},\cdots
,a_{i-1},a_{i+1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} :x_{i}=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{i-1}x_{i-1}+a_{i+1}x_{i+1}+\cdots +a_{m}x_{m}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。逆に、\(\left\{x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)が線型従属ではない場合には、\(\left\{x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)は線型独立である（linearly independent ）と言います。これは、\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)の中のどのベクトルも他の\(m-1\)個のベクトルの線型結合として表現できないこと、すなわち、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} ,\ \forall a_{1},\cdots
,a_{i-1},a_{i+1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} :x_{i}\not=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{i-1}x_{i-1}+a_{i+1}x_{i+1}+\cdots
+a_{m}x_{m}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

線型スパンの定義を踏まえると、ベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)が線型独立であることは、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :x_{i}\not\in \mathrm{span}\left(
\left\{ x_{1},\cdots ,x_{i-1},x_{i+1},\cdots ,x_{m}\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つこと必要十分です。つまり、ベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots,x_{m}\right\} \)が線型独立であることとは、その中のどのベクトルも残りのベクトルからなるベクトル集合の線型スパンの要素ではないことを意味します。

繰り返しになりますが、2つ以上のベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)に関して、これらが線型独立であることとは、その中からどのベクトルを選んだ場合でも、それは他のベクトルの線型結合として表すことができないことを意味します。このことは\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)の間に線型結合という演算による相互の結びつきが存在しないこと、すなわち互いに独立していることを意味します。「線型独立」という用語の由来は以上の通りです。

線型従属・線型独立であることの判定方法

繰り返しになりますが、有限\(m\ \left( \geq 2\right) \)個のベクトルを要素として持つベクトル集合\begin{equation*}\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が線型従属であることとは、この中の少なくとも1つのベクトルについて、それを他の\(m-1\)個のベクトルの線型結合として表現できることを意味します。逆に、この中の任意のベクトルについて、それを他の\(n-1\)個のベクトルの線型結合として表現できない場合、先のベクトル集合は線型独立です。

ただし、以上の定義にもとづいてベクトル集合が線型従属ないし線型独立であることを確認する作業は煩雑になりがちです。実際、3個の異なるベクトルを要素として持つベクトル集合\begin{equation*}
\left\{ x_{1},x_{2},x_{3}\right\}
\end{equation*}を対象とした場合でさえ、これが線型独立であることを示すためには、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ x_{1}\text{を}x_{2},x_{3}\text{の線型結合として表現できない} \\
&&\left( b\right) \ x_{2}\text{を}x_{1},x_{3}\text{の線型結合として表現できない} \\
&&\left( c\right) \ x_{3}\text{を}x_{1},x_{2}\text{の線型結合として表現できない}
\end{eqnarray*}が成り立つことをすべて確認する必要があります。より扱いやすい判定条件が存在すれば、より望ましいということになります。

ベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots,x_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、その要素であるベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)の線型結合は何らかのスカラーの組\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と表現されるベクトルです。では、この線型結合がゼロベクトルと一致するようなスカラーの組、すなわち、変数\(a_{1},\cdots ,a_{m}\)に関する以下の方程式\begin{equation}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}に解\(a_{1},\cdots ,a_{m}\)は存在するでしょうか。すべてのスカラーがゼロである場合、すなわち、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :a_{i}=0
\end{equation*}である場合には\(\left( 1\right) \)は明らかに成り立ちます。一方、ゼロではないスカラーを含む何らかのスカラーの組のもとで\(\left( 1\right) \)が成り立つ場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :a_{i}\not=0
\end{equation*}を満たす何らかの組\(a_{1},\cdots ,a_{m}\)のもとで\(\left( 1\right) \)が成り立つ場合には、ベクトル集合\(\left\{x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)が線型従属になることが保証されます。逆の議論も成立するため以下を得ます。

ベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots,x_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、そこから変数\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)に関する方程式\begin{equation*}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
a_{1}\left(
\begin{array}{c}
x_{11} \\
\vdots \\
x_{1n}\end{array}\right) +\cdots +a_{m}\left(
\begin{array}{c}
x_{m1} \\
\vdots \\
x_{mn}\end{array}\right) =0
\end{equation*}を定義します。これは連立方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{1}x_{11}+\cdots +a_{m}x_{m1}=0 \\
\vdots \\
a_{1}x_{1n}+\cdots +a_{m}x_{mn}=0\end{array}\right.
\end{equation*}に他ならず、したがって、この連立方程式に、\begin{equation*}
\left( a_{1},\cdots ,a_{m}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\backslash \left\{ 0\right\}
\end{equation*}を満たす解が存在する場合、先の命題より、ベクトル集合\(\left\{x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)は線型従属です。

有限\(m\ \left( \geq 2\right) \)個のベクトルを要素として持つベクトル集合\begin{equation*}\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられたとき、そこから変数\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)に関する方程式\begin{equation}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を定義します。以下の条件\begin{equation}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :a_{i}=0 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たすスカラーの組\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)は明らかに方程式\(\left(1\right) \)の解です。加えて、先の命題より、以下の条件\begin{equation}\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :a_{i}\not=0 \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たす解\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)が存在することは、ベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots,x_{m}\right\} \)が線型従属であるための必要十分条件です。であるならば、方程式\(\left( 1\right) \)に対して\(\left( 3\right) \)を満たす解が存在しないことは、すなわち方程式\(\left(1\right) \)の解が\(\left( 2\right) \)を満たすものに限定されることは、ベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)が線型従属ではないこと（線型独立であること）でないことと必要十分です。ゆえに以下を得ます。

ベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots,x_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、そこから変数\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)に関する方程式\begin{equation*}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
a_{1}\left(
\begin{array}{c}
x_{11} \\
\vdots \\
x_{1n}\end{array}\right) +\cdots +a_{m}\left(
\begin{array}{c}
x_{m1} \\
\vdots \\
x_{mn}\end{array}\right) =0
\end{equation*}を定義します。これは連立方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{1}x_{11}+\cdots +a_{m}x_{m1}=0 \\
\vdots \\
a_{1}x_{1n}+\cdots +a_{m}x_{mn}=0\end{array}\right.
\end{equation*}に他ならず、したがって、この連立方程式の解が、\begin{equation*}
\left( a_{1},\cdots ,a_{m}\right) =\left( 0,\cdots ,0\right)
\end{equation*}だけである場合、先の命題より、ベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)は線型独立です。

線型従属・線型独立なベクトル

これまでは有限かつ複数個のベクトルを要素として持つベクトル集合\begin{equation*}
\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}について、それが線型従属ないし線型独立であることの意味を定義するとともに、それを判定する方法を解説してきました。

では、1つのベクトルだけを要素として持つベクトル集合\begin{equation*}
\left\{ x\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}について、それが線型従属ないし線型独立であることをどのように定義すべきでしょうか。この集合\(\left\{ x\right\} \)にはベクトルが1つだけしか含まれていないため、その中の1つが他のベクトルの線型結合として表現できるか判定することさえできません。ただ、変数\(a\in \mathbb{R} \)に関する方程式\begin{equation*}ax=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
a\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =0
\end{equation*}を定義したとき、これが\(0\)とは異なる解\(a\)を持つかどうかは判定できます。

ベクトル集合\(\left\{ x\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}\)から方程式\begin{equation}ax=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を定義したとき、\begin{equation*}
a\not=0\Leftrightarrow x=0
\end{equation*}という関係が成り立つため、方程式\(\left( 1\right) \)が非ゼロの解\(a\)を持つことと\(x\)がゼロベクトルであることは必要十分です。同時に、\begin{equation*}a=0\Leftrightarrow x\not=0
\end{equation*}という関係も成り立つため、方程式\(\left( 1\right) \)がゼロ解\(a\)だけを持つことと\(x\)が非ゼロベクトルであることは必要十分です。

以上の事情を踏まえた上で、ゼロベクトルだけを要素として持つベクトル集合\begin{equation*}
\left\{ 0\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}については、これを線型従属であるものと定義します。一方、非ゼロベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、それだけを要素としてベクトル集合\begin{equation*}\left\{ x\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}については、これを線型独立であるものと定義します。

線型従属・線型独立なベクトル集合の部分集合

ベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots,x_{m}\right\} \)が線型独立である場合、その任意の部分集合もまた線型独立になることが保証されます。

先の命題の対偶をとることにより以下を得ます。

線型従属なベクトル集合の生成

有限\(m\ \left( \geq 1\right) \)個のベクトルを要素として持つベクトル集合\begin{equation*}\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられているものとします。このベクトル集合の要素であるベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\)の線型結合を\(m+1\)個任意に選び、それらを、\begin{equation*}y_{1},\cdots ,y_{m+1}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}で表記します。つまり、\begin{equation*}
y_{1},\cdots ,y_{m+1}\in \mathrm{span}\left( \left\{ x_{1},\cdots
,x_{m}\right\} \right)
\end{equation*}であるということです。このとき、ベクトル集合\begin{equation*}
\left\{ y_{1},\cdots ,y_{m+1}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が線型従属になることが保証されます。有限\(m\)個のベクトルの線型結合を\(m+1\)個選ぶと、それらのベクトルは線型従属になるということです。

有限\(m\)個のベクトルから\(m+1\)個の線型結合を作るとそれらは必ず線型従属になることが明らかになりました。では、\(m+1\)個より多くの個数\(k\ \left( \geq k+1\right) \)の線型結合を作る場合にはどうでしょうか。その場合にも、得られた\(k\)個の線型結合は線型従属になります。

演習問題