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ベクトル

実ベクトル空間における線型従属・線型独立なベクトル

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ベクトル集合上で線型従属・線型独立なベクトル

実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の要素である有限\(m\in \mathbb{N} \)個のベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられたとき、これらのベクトルの線型結合とは、何らかのスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}という形で表されるベクトルです。

ベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\)の線型結合\(a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots+a_{m}\boldsymbol{x}_{m}\)がどのようなベクトルになるかはスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)の選び方に依存します。したがって、ベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\)の線型結合をすべて集めることにより得られる集合は、\begin{equation*}\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right) =\left\{ a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}となります。これをベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)の線型スパンと呼びます。

ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、それをベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\)の何らかの線型結合として表現できるならば、すなわち、\begin{equation*}\exists a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}
\end{equation*}が成り立つならば、ベクトル\(\boldsymbol{x}\)はベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)上で線型従属である(linearly dependent on \(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \))であると言います。線型「従属」と呼ばれる理由は、\(\boldsymbol{x}\)は\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)の線型結合として表現されるという意味において\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)の従属下にあるからです。

線型スパンの定義を踏まえると、ベクトル\(\boldsymbol{x}\)がベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)上で線型従属であることと、\begin{equation*}\boldsymbol{x}\in \mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つことは必要十分です。つまり、ベクトル\(\boldsymbol{x}\)がベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)上で線型従属であることとは、\(\boldsymbol{x}\)が線型スパン\(\mathrm{span}\left(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right) \)の要素であることを意味します。

例(1次元ベクトル空間上の線型従属なベクトル)
実ベクトル空間\(\mathbb{R} \)上に存在するベクトル\begin{equation*}x\in \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選んだとき、\begin{equation*}
x=x1
\end{equation*}という関係が成り立ちます。\(\mathbb{R} \)上においてベクトルとスカラーはともに実数であるため、右辺をベクトル\(1\)のスカラー\(x\)倍とみなすことができます。以上の事実は、\begin{equation*}x\in \mathrm{span}\left( \left\{ 1\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(\mathbb{R} \)上に存在する任意のベクトル\(x\)はベクトル集合\begin{equation*}\left\{ 1\right\}
\end{equation*}上で線型従属です。

例(2次元ベクトル空間上の線型従属なベクトル)
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在するベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{x} &=&\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) \\
&=&x_{1}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) +x_{2}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。以上の事実は、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}\in \mathrm{span}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) \right\} \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する任意のベクトル\(\boldsymbol{x}\)はベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}上で線型従属です。

例(3次元ベクトル空間上の線型従属なベクトル)
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在するベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{x} &=&\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \\
&=&x_{1}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) +x_{2}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) +x_{3}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。以上の事実は、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}\in \mathrm{span}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\} \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する任意のベクトル\(\boldsymbol{x}\)はベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}上で線型従属です。

例(原点を通過する直線)
空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する直線\(L\)が原点を通過する場合、それは何らかの非ゼロベクトル\(\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)を用いて、\begin{equation*}L=\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=t\boldsymbol{v}\right\}
\end{equation*}と表されます。ただし、\(\boldsymbol{v}\)は直線\(L\)の方向ベクトルです。したがって、この直線\(L\)上に存在する点\(\boldsymbol{x}\in L\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\exists t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=t\boldsymbol{v}
\end{equation*}が成り立ちますが、以上の事実は、原点を通過する直線上に存在するそれぞれの点の位置ベクトル\(\boldsymbol{x}\)は、その直線の方向ベクトル\(\boldsymbol{v}\)の何らかの線型結合として表現可能であることを意味します。さらにこれは、\begin{equation*}\boldsymbol{x}\in \mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{v}\right\}
\right)
\end{equation*}を意味します。つまり、原点を通過する直線上に存在する任意の点の位置ベクトル\(\boldsymbol{x}\)は、その直線の方向ベクトルを要素として持つベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{v}\right\}
\end{equation*}上で線型従属です。

例(原点を通過する平面)
空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する平面\(P\)が原点を通過する場合、それは何らかの非ゼロかつ線型独立なベクトル\(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)を用いて、\begin{equation*}P=\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}\right\}
\end{equation*}と表されます。ただし、\(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\)は平面\(P\)の方向ベクトルです。したがって、この平面\(P\)上に存在する点\(\boldsymbol{x}\in P\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\exists s,t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}
\end{equation*}が成り立ちますが、以上の事実は、原点を通過する平面上に存在するそれぞれの点の位置ベクトル\(\boldsymbol{x}\)は、その平面の方向ベクトル\(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\)の何らかの線型結合として表現可能であることを意味します。さらにこれは、\begin{equation*}\boldsymbol{x}\in \mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\} \right)
\end{equation*}を意味します。つまり、原点を通過する平面上に存在する任意の点の位置ベクトル\(\boldsymbol{x}\)は、その平面の方向ベクトルを要素として持つベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\}
\end{equation*}上で線型従属です。

ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)がベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}\)上で線型従属であることとは、\(\boldsymbol{x}\)を\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\)の何らかの線型結合として表現できること、すなわち、\begin{equation*}\exists a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。逆に、\(\boldsymbol{x}\)が\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)上で線型従属ではない場合には、すなわち、上の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}\forall a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}\not=a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}
\end{equation*}が成り立つ場合には、ベクトル\(\boldsymbol{x}\)はベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)上で線型独立である(linearly independent on \(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \))と言います。これは、\(\boldsymbol{x}\)を\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\)のいかなる線型結合としても表現できないことを意味します。線型「独立」と呼ばれる理由は、\(\boldsymbol{x}\)は\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)の線型結合として表現できないという意味において\(\boldsymbol{x}\)が\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)から独立しているからです。

線型スパンの定義を踏まえると、ベクトル\(\boldsymbol{x}\)がベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)上で線型独立であることは、\begin{equation*}\boldsymbol{x}\not\in \mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots
,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です。つまり、ベクトル\(\boldsymbol{x}\)がベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)上で線型独立であることとは、\(\boldsymbol{x}\)が線型スパン\(\mathrm{span}\left(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right) \)の要素ではないことを意味します。

例(1次元ベクトル空間上の線型独立なベクトル)
実ベクトル空間\(\mathbb{R} \)上に存在するベクトル\begin{equation*}1\in \mathbb{R} \end{equation*}は、以下のベクトル集合\begin{equation*}
\left\{ 0\right\}
\end{equation*}上で線型独立です。実際、スカラー\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}a0 &=&0 \\
&\not=&1
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、これは、\begin{equation*}
1\not\in \mathrm{span}\left( \left\{ 0\right\} \right)
\end{equation*}であることを意味します。

例(2次元ベクトル空間上の線型独立なベクトル)
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{2}\)上のベクトル\begin{equation}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2} \quad \cdots (1)
\end{equation}は、以下のベクトル集合\begin{equation}
\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) \right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}上で線型独立です。実際、スカラー\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}a\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
a \\
0\end{array}\right) \\
&\not=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、これは、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \not\in \mathrm{span}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) \right\} \right)
\end{equation*}であることを意味します。

例(3次元ベクトル空間上の線型独立なベクトル)
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在するベクトル\begin{equation}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3} \quad \cdots (1)
\end{equation}は、以下のベクトル集合\begin{equation}
\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) \right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}上で線型独立です。実際、スカラー\(a_{1},a_{2}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}a_{1}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) +a_{2}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2} \\
0\end{array}\right) \\
&\not=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、これは、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) \not\in \mathrm{span}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) \right\} \right)
\end{equation*}であることを意味します。

例(原点を通過する直線)
空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する直線\(L\)が原点を通過する場合、それは何らかの非ゼロベクトル\(\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)を用いて、\begin{equation*}L=\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=t\boldsymbol{v}\right\}
\end{equation*}と表されます。ただし、\(\boldsymbol{v}\)は直線\(L\)の方向ベクトルです。この直線\(L\)に属さない点、すなわち、\begin{equation*}\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash L
\end{equation*}を満たす任意の点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)はベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{v}\right\}
\end{equation*}上で線型独立です。実際、スカラー\(t\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}t\boldsymbol{v}\in L
\end{equation*}ゆえに、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}\not=t\boldsymbol{v}
\end{equation*}が成り立ちますが、これは、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}\not\in \mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{v}\right\}
\right)
\end{equation*}であることを意味します。

例(原点を通過する平面)
空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する平面\(P\)が原点を通過する場合、それは何らかの非ゼロかつ線型独立なベクトル\(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)を用いて、\begin{equation*}P=\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}\right\}
\end{equation*}と表されます。ただし、\(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\)は平面\(P\)の方向ベクトルです。この平面\(P\)に属さない点、すなわち\begin{equation*}\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash P
\end{equation*}を満たす任意の点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)はベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\}
\end{equation*}上で線型独立です。実際、スカラー\(s,t\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}\in P
\end{equation*}ゆえに、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}\not=s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}
\end{equation*}が成り立ちますが、これは、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}\not\in \mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\} \right)
\end{equation*}であることを意味します。

 

線型従属・線型独立なベクトル集合

複数かつ有限\(m\in \mathbb{N} \)個のベクトルを要素として持つベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられたとき、この中の少なくとも1つのベクトルが他の\(m-1\)個のベクトルの線型結合として表される場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} ,\ \exists a_{1},\cdots
,a_{i-1},a_{i+1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}_{i}=a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{i-1}\boldsymbol{x}_{i-1}+a_{i+1}\boldsymbol{x}_{i+1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}
\end{equation*}が成り立つならば、ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)は線型従属である(linearly dependent)とか、ベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\)は線型従属であるなどと言います。

線型スパンの定義を踏まえると、ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)が線型従属であることは、\begin{equation*}\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :\boldsymbol{x}_{i}\in \mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{i-1},\boldsymbol{x}_{i+1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つこと必要十分です。つまり、ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)が線型従属であることとは、その中の少なくとも1つのベクトルが残りのベクトルからなるベクトル集合の線型スパンの要素であることを意味します。

繰り返しになりますが、2つ以上のベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\)に関して、これらが線型従属であることとは、その中の少なくとも1つがその他のベクトルの線型結合として表すことができることを意味します。このことは\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\)の間に線型結合という演算による相互の結びつきが存在すること、すなわち従属関係があることを意味します。「線型従属」という用語の由来は以上の通りです。

例(1次元ベクトル空間上の線型従属なベクトル集合)
実ベクトル空間\(\mathbb{R} \)上におけるベクトル集合\begin{equation*}\left\{ 1,x\right\} \subset \mathbb{R} \end{equation*}に注目します。ただし、\(x\in \mathbb{R} \)は任意のベクトルです。このベクトル集合は線型従属です。実際、先の集合の要素であるベクトル\begin{equation*}x\in \mathbb{R} \end{equation*}に注目したとき、\begin{equation*}
x=x1
\end{equation*}が成り立ちますが、これは、\begin{equation*}
x\in \mathrm{span}\left( \left\{ 1\right\} \right)
\end{equation*}であることを意味します。

例(2次元ベクトル空間上の線型従属なベクトル集合)
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{2}\)上におけるベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) ,\boldsymbol{x}\right\} \subset \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}に注目します。ただし、\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{2}\)は任意のベクトルです。このベクトル集合は線型従属です。実際、先の集合の要素であるベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}に注目したとき、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{x} &=&\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) \\
&=&x_{1}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) +x_{2}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、これは、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}\in \mathrm{span}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) \right\} \right)
\end{equation*}であることを意味します。

例(3次元ベクトル空間上の線型従属なベクトル集合)
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上におけるベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) ,\boldsymbol{x}\right\} \subset \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}に注目します。ただし、\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\)は任意のベクトルです。このベクトル集合は線型従属です。実際、先の集合の要素であるベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}に注目したとき、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{x} &=&\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \\
&=&x_{1}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) +x_{2}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) +x_{3}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、これは、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}\in \mathrm{span}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\} \right)
\end{equation*}であることを意味します。

例(原点を通過する直線)
空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する直線\(L\)が原点を通過する場合、それは何らかの非ゼロベクトル\(\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)を用いて、\begin{equation*}L=\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=t\boldsymbol{v}\right\}
\end{equation*}と表されます。ただし、\(\boldsymbol{v}\)は直線\(L\)の方向ベクトルです。この直線上の点\(\boldsymbol{x}\in L\)を任意に選んだ上でベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x},\boldsymbol{v}\right\}
\end{equation*}を構成すると、これは線型従属になります。実際、\(\boldsymbol{x}\in L\)および\(L\)の定義より、\begin{equation*}\exists t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=t\boldsymbol{v}
\end{equation*}が成り立ちますが、これは、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}\in \mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{v}\right\}
\right)
\end{equation*}であることを意味します。

例(原点を通過する平面)
空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する平面\(P\)が原点を通過する場合、それは何らかの非ゼロかつ線型独立なベクトル\(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)を用いて、\begin{equation*}P=\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}\right\}
\end{equation*}と表されます。ただし、\(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\)は平面\(P\)の方向ベクトルです。この平面上の点\(\boldsymbol{x}\in P\)を任意に選んだ上でベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\}
\end{equation*}を構成すると、これは線型従属になります。実際、\(\boldsymbol{x}\in P\)および\(P\)の定義より、\begin{equation*}\exists s,t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}
\end{equation*}が成り立ちますが、これは、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}\in \mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\} \right)
\end{equation*}であることを意味します。

複数かつ有限\(m\in \mathbb{N} \)個のベクトルを要素として持つベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が線型従属であることとは、その中の少なくとも1つのベクトルが他の\(m-1\)個のベクトルの線型結合として表現できること、すなわち、\begin{equation*}\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} ,\ \exists a_{1},\cdots
,a_{i-1},a_{i+1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}_{i}=a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{i-1}\boldsymbol{x}_{i-1}+a_{i+1}\boldsymbol{x}_{i+1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。逆に、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)が線型従属ではない場合には、すなわち、上の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} ,\ \forall a_{1},\cdots
,a_{i-1},a_{i+1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}_{i}\not=a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{i-1}\boldsymbol{x}_{i-1}+a_{i+1}\boldsymbol{x}_{i+1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}
\end{equation*}が成り立つ場合には、ベクトル集合は線型独立である(linearly independent )と言います。これは、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)の中のどのベクトルも他の\(m-1\)個のベクトルの線型結合として表現できないことを意味します。

線型スパンの定義を踏まえると、ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)が線型独立であることは、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :\boldsymbol{x}_{i}\not\in \mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{i-1},\boldsymbol{x}_{i+1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つこと必要十分です。つまり、ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)が線型独立であることとは、その中のどのベクトルも残りのベクトルからなるベクトル集合の線型スパンの要素ではないことを意味します。

繰り返しになりますが、2つ以上のベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\)に関して、これらが線型独立であることとは、その中からどのベクトルを選んだ場合でも、それは他のベクトルの線型結合として表すことができないことを意味します。このことは\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\)の間に線型結合という演算による相互の結びつきが存在しないこと、すなわち互いに独立していることを意味します。「線型独立」という用語の由来は以上の通りです。

例(1次元ベクトル空間上の線型独立なベクトル集合)
実ベクトル空間\(\mathbb{R} \)上におけるベクトル集合\begin{equation*}\left\{ x,y\right\} \subset \mathbb{R} \end{equation*}に注目します。ただし、\(x\not=y\)です。この場合、\(x,y\)の少なくとも一方が非ゼロです。\(x\not=0\)の場合、\begin{equation*}y=\left( \frac{y}{x}\right) x
\end{equation*}となるため、\begin{equation*}
y\in \mathrm{span}\left( \left\{ x\right\} \right)
\end{equation*}であり、したがって\(\left\{ x,y\right\} \)は線型独立ではありません。\(y\not=0\)の場合も同様です。以上より、\(\mathbb{R} \)上のベクトル集合が複数の異なるベクトルを要素として持つ場合、それは線型独立になり得ないことが明らかになりました。
例(2次元ベクトル空間上の線型独立なベクトル集合)
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{2}\)上におけるベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}に注目します。このベクトル集合は線型独立です。実際、スカラー\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}a\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
a\end{array}\right) \\
&\not=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}ゆえに、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) \not\in \mathrm{span}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) \right\} \right)
\end{equation*}であり、\begin{eqnarray*}
a\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
a \\
0\end{array}\right) \\
&\not=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}ゆえに、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) \not\in \mathrm{span}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) \right\} \right)
\end{equation*}であるからです。

例(3次元ベクトル空間上の線型独立なベクトル集合)
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上におけるベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}に注目します。このベクトル集合は線型独立です。実際、スカラー\(a_{1},a_{2}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}a_{1}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) +a_{2}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
a_{1} \\
a_{2}\end{array}\right) \\
&\not=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}ゆえに、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) \not\in \mathrm{span}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\} \right)
\end{equation*}であり、\begin{eqnarray*}
a_{1}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) +a_{2}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2} \\
0\end{array}\right) \\
&\not=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}ゆえに、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \not\in \mathrm{span}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) \right\} \right)
\end{equation*}であり、\begin{eqnarray*}
a_{1}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) +a_{2}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
0 \\
a_{2}\end{array}\right) \\
&\not=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}ゆえに、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) \not\in \mathrm{span}\left( \left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\} \right)
\end{equation*}だからです。

例(原点を通過する直線)
空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する直線\(L\)が原点を通過する場合、それは何らかの非ゼロベクトル\(\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)を用いて、\begin{equation*}L=\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=t\boldsymbol{v}\right\}
\end{equation*}と表されます。ただし、\(\boldsymbol{v}\)は直線\(L\)の方向ベクトルです。この直線に属さない点\(\boldsymbol{x}\in L\)を任意に選んだ上でベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x},\boldsymbol{v}\right\}
\end{equation*}を構成すると、これは線型独立になります。実際、\(\boldsymbol{x}\not\in L\)および\(L\)の定義より、\begin{equation}\forall t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}\not=t\boldsymbol{v} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちますが、これは、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}\not\in \mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{v}\right\}
\right)
\end{equation*}であることを意味します。また、\(\boldsymbol{0}\in L\)かつ\(\boldsymbol{x}\not\in L\)ゆえに\(\boldsymbol{x}\not=\boldsymbol{0}\)であるとともに\(\boldsymbol{v}\not=\boldsymbol{0}\)であるため、\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}\forall t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{v}\not=t\boldsymbol{x}
\end{equation*}が導かれますが、これは、\begin{equation*}
\boldsymbol{v}\not\in \mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}\right\}
\right)
\end{equation*}であることを意味します。

例(原点を通過する平面)
空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する平面\(P\)が原点を通過する場合、それは何らかの非ゼロかつ線型独立なベクトル\(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)を用いて、\begin{equation*}P=\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}\right\}
\end{equation*}と表されます。ただし、\(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\)は平面\(P\)の方向ベクトルです。この平面に属さない点\(\boldsymbol{x}\not\in P\)を任意に選んだ上でベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\}
\end{equation*}を構成すると、これは線型独立になります。実際、\(\boldsymbol{x}\not\in P\)および\(P\)の定義より、\begin{equation}\forall s,t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}\not=s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちますが、これは、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}\not\in \mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\} \right)
\end{equation*}であることを意味します。また、\(\boldsymbol{0}\in P\)かつ\(\boldsymbol{x}\not\in P\)ゆえに\(\boldsymbol{x}\not=\boldsymbol{0}\)であるとともに\(\boldsymbol{v}\not=\boldsymbol{0}\)かつ\(\boldsymbol{w}\not=\boldsymbol{0}\)であるため、\(\left(1\right) \)より、\begin{eqnarray*}\forall s,t &\in &\mathbb{R} :\boldsymbol{v}\not=s\boldsymbol{x}+t\boldsymbol{w} \\
\forall s,t &\in &\mathbb{R} :\boldsymbol{w}\not=s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{x}
\end{eqnarray*}が導かれますが、これは、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{v} &\not\in &\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x},\boldsymbol{w}\right\} \right) \\
\boldsymbol{w} &\not\in &\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x},\boldsymbol{v}\right\} \right)
\end{eqnarray*}であることを意味します。

 

線型従属・線型独立であることの判定方法

繰り返しになりますが、有限\(m\ \left( \geq 2\right) \)個のベクトルを要素として持つベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が線型従属であることとは、この中の少なくとも1つのベクトルについて、それを他の\(m-1\)個のベクトルの線型結合として表現できることを意味します。逆に、この中の任意のベクトルについて、それを他の\(n-1\)個のベクトルの線型結合として表現できない場合、先のベクトル集合は線型独立です。

ただし、以上の定義にもとづいてベクトル集合が線型従属ないし線型独立であることを確認する作業は煩雑になりがちです。実際、3個の異なるベクトルを要素として持つベクトル集合\begin{equation*}
\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{x}_{3}\right\}
\end{equation*}を対象とした場合でさえ、これが線型独立であることを示すためには、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \boldsymbol{x}_{1}\text{を}\boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{x}_{3}\text{の線型結合として表現できない} \\
&&\left( b\right) \ \boldsymbol{x}_{2}\text{を}\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{3}\text{の線型結合として表現できない} \\
&&\left( c\right) \ \boldsymbol{x}_{3}\text{を}\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\text{の線型結合として表現できない}
\end{eqnarray*}が成り立つことをすべて確認する必要があります。より扱いやすい判定条件が存在すれば、より望ましいということになります。

ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、その要素であるベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\)の線型結合は何らかのスカラーの組\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と表現されるベクトルです。では、この線型結合がゼロベクトルと一致するようなスカラーの組、すなわち、変数\(a_{1},\cdots ,a_{m}\)に関する以下の方程式\begin{equation}a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}=\boldsymbol{0}
\quad \cdots (1)
\end{equation}に解\(a_{1},\cdots ,a_{m}\)は存在するでしょうか。すべてのスカラーがゼロである場合、すなわち、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :a_{i}=0
\end{equation*}である場合には\(\left( 1\right) \)は明らかに成り立ちます。一方、ゼロではないスカラーを含む何らかのスカラーの組のもとで\(\left( 1\right) \)が成り立つ場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :a_{i}\not=0
\end{equation*}を満たす何らかの組\(a_{1},\cdots ,a_{m}\)のもとで\(\left( 1\right) \)が成り立つ場合には、ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)が線型従属になることが保証されます。逆の議論も成立するため以下を得ます。

命題(ベクトルが線型従属であるための必要十分条件)
有限\(m\ \left( \geq 2\right) \)個のベクトルを要素として持つベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられたとき、そこから変数\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)に関する方程式\begin{equation*}a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}=\boldsymbol{0}
\end{equation*}を定義する。この方程式に対して、以下の条件\begin{equation*}
\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :a_{i}\not=0
\end{equation*}を満たす解\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)が存在することは、ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)が線型従属であるための必要十分条件である。
証明

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ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、そこから変数\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)に関する方程式\begin{equation*}a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}=\boldsymbol{0}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
a_{1}\left(
\begin{array}{c}
x_{11} \\
\vdots \\
x_{1n}\end{array}\right) +\cdots +a_{m}\left(
\begin{array}{c}
x_{m1} \\
\vdots \\
x_{mn}\end{array}\right) =\boldsymbol{0}
\end{equation*}を定義します。これは連立方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{1}x_{11}+\cdots +a_{m}x_{m1}=0 \\
\vdots \\
a_{1}x_{1n}+\cdots +a_{m}x_{mn}=0\end{array}\right.
\end{equation*}に他ならず、したがって、この連立方程式に、\begin{equation*}
\left( a_{1},\cdots ,a_{m}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\}
\end{equation*}を満たす解が存在する場合、先の命題より、ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)は線型従属です。

例(ベクトルが線型従属であるための必要十分条件)
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上におけるベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
-2 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
2 \\
1 \\
-1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
7 \\
-4 \\
1\end{array}\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}に注目します。このベクトル集合が線型従属であることを示します。そこで、変数\(a_{1},a_{2},a_{3}\in \mathbb{R} \)に関する連立方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{r}
a_{1}+2a_{2}+7a_{3}=0 \\
-2a_{1}+a_{2}-4a_{3}=0 \\
a_{1}-a_{2}+a_{3}=0\end{array}\right.
\end{equation*}を解きます。これを簡約化すると、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{r}
a_{1}+2a_{2}+7a_{3}=0 \\
5a_{2}+10a_{3}=0 \\
-3a_{2}-6a_{3}=0\end{array}\right.
\end{equation*}さらに、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{r}
a_{1}+2a_{2}+7a_{3}=0 \\
a_{2}+2a_{3}=0\end{array}\right.
\end{equation*}となります。これは3つの変数に対して2つの方程式しか存在しない連立方程式であるため非ゼロを含む解を持ちます。例えば、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2} \\
a_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
3 \\
-2 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}は1つの例です。したがって、与えられたベクトル集合は線型従属であることが明らかになりました。

有限\(m\ \left( \geq 2\right) \)個のベクトルを要素として持つベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられたとき、そこから変数\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)に関する方程式\begin{equation}a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}=\boldsymbol{0}
\quad \cdots (1)
\end{equation}を定義します。以下の条件\begin{equation}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :a_{i}=0 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たすスカラーの組\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)は明らかに方程式\(\left(1\right) \)の解です。加えて、先の命題より、以下の条件\begin{equation}\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :a_{i}\not=0 \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たす解\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)が存在することは、ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)が線型従属であるための必要十分条件です。であるならば、方程式\(\left(1\right) \)に対して\(\left( 3\right) \)を満たす解が存在しないことは、すなわち方程式\(\left( 1\right) \)の解が\(\left( 2\right) \)を満たすものに限定されることは、ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)が線型従属ではないこと(線型独立であること)でないことと必要十分です。ゆえに以下を得ます。

命題(ベクトルが線型独立であるための必要十分条件)
有限\(m\ \left( \geq 2\right) \)個のベクトルを要素として持つベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられたとき、そこから変数\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)に関する方程式\begin{equation*}a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}=\boldsymbol{0}
\end{equation*}を定義する。この方程式の解が、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :a_{i}=0
\end{equation*}を満たす\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)だけであることは、ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)が線型独立であるための必要十分条件である。

ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、そこから変数\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)に関する方程式\begin{equation*}a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}=\boldsymbol{0}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
a_{1}\left(
\begin{array}{c}
x_{11} \\
\vdots \\
x_{1n}\end{array}\right) +\cdots +a_{m}\left(
\begin{array}{c}
x_{m1} \\
\vdots \\
x_{mn}\end{array}\right) =\boldsymbol{0}
\end{equation*}を定義します。これは連立方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
a_{1}x_{11}+\cdots +a_{m}x_{m1}=0 \\
\vdots \\
a_{1}x_{1n}+\cdots +a_{m}x_{mn}=0\end{array}\right.
\end{equation*}に他ならず、したがって、この連立方程式の解が、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
\vdots \\
a_{m}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}だけである場合、先の命題より、ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)は線型独立です。

例(ベクトルが線型独立であるための必要十分条件)
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上におけるベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
2 \\
-3\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-3 \\
2\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
2 \\
-1 \\
5\end{array}\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}に注目します。このベクトル集合が線型独立であることを示します。そこで、変数\(a_{1},a_{2},a_{3}\in \mathbb{R} \)に関する連立方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{r}
a_{1}+a_{2}+2a_{3}=0 \\
2a_{1}-3a_{2}-a_{3}=0 \\
-3a_{1}+2a_{2}+5a_{3}=0\end{array}\right.
\end{equation*}を解きます。これを簡約化すると、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{r}
a_{1}+a_{2}+2a_{3}=0 \\
-5a_{2}-5a_{3}=0 \\
5a_{2}+11a_{3}=0\end{array}\right.
\end{equation*}さらに、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{r}
a_{1}+a_{2}+2a_{3}=0 \\
-5a_{2}-5a_{3}=0 \\
6a_{3}=0\end{array}\right.
\end{equation*}となります。これを解くと、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2} \\
a_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}が唯一の解であるため、与えられたベクトル集合は線型独立であることが明らかになりました。

 

線型従属・線型独立なベクトル

これまでは有限かつ複数個のベクトルを要素として持つベクトル集合\begin{equation*}
\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}について、それが線型従属ないし線型独立であることの意味を定義するとともに、それを判定する方法を解説してきました。では、1つのベクトルだけを要素として持つベクトル集合\begin{equation*}
\left\{ \boldsymbol{x}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}について、それが線型従属ないし線型独立であることをどのように定義すべきでしょうか。

1点集合\(\left\{ \boldsymbol{x}\right\} \)にはベクトルが1つだけしか含まれていないため、その中の1つが他のベクトルの線型結合として表現できるか判定することはできません。ただ、変数\(a\in \mathbb{R} \)に関する方程式\begin{equation*}a\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}
\end{equation*}を定義したとき、これが\(0\)とは異なる解\(a\)を持つかを判定することはできます。

方程式\(\left( 1\right) \)が\(0\)とは異なる解\(a\)を持つ場合には、\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}
\end{equation*}が成り立ちます。そこで、ゼロベクトルだけからなる集合\begin{equation*}
\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}は線型従属であるものとみなします。一方、非ゼロベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)を任意に選んだとき、それだけを要素としてベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}については、これを線型独立であるものと定義します。

 

線型従属・線型独立なベクトル集合の部分集合

ベクトル集合が線型独立である場合、その任意の部分集合もまた線型独立になることが保証されます。

命題(線型独立なベクトル集合の部分集合)
有限\(m\ \left( \geq 2\right) \)個のベクトルを要素として持つベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が線型独立であるならば、その任意の非空な部分集合もまた線型独立になる。

証明

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例(線型独立なベクトル集合の部分集合)
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上におけるベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
2 \\
-3\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-3 \\
2\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
2 \\
-1 \\
5\end{array}\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}に注目します。先に示したようにこれは線型独立です。したがって、先の命題より、その部分集合の1つである、\begin{equation*}
\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
2 \\
-3\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-3 \\
2\end{array}\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}もまた線型独立であるはずです。実際、変数\(a_{1},a_{2}\in \mathbb{R} \)に関する連立方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{r}
a_{1}+a_{2}=0 \\
2a_{1}-3a_{2}=0 \\
-3a_{1}+2a_{2}=0\end{array}\right.
\end{equation*}を解くと、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{r}
a_{1}+a_{2}=0 \\
-5a_{2}=0\end{array}\right.
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}となるため、先の部分集合が線型独立であることが明らかになりました。

先の命題の対偶をとることにより以下を得ます。

命題(ベクトル集合が線型従属であるための十分条件)
有限\(m\ \left( \geq 2\right) \)個のベクトルを要素として持つベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}の非空な部分集合の中に線型従属なものが存在するならば、ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)もまた線型従属である。
例(ベクトル集合が線型従属であるための十分条件)
ゼロベクトルだけを要素として持つベクトル集合\begin{equation*}
\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}は線型従属であるため、先の命題より、ゼロベクトルを要素として持つ任意のベクトル集合\begin{equation*}
\left\{ \boldsymbol{0},\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\}
\subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}は線型従属です。

ベクトル集合が線型従属である場合、その部分集合は線型従属であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(線型従属なベクトル集合の部分集合)
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上におけるベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
-2 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
2 \\
1 \\
-1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
7 \\
-4 \\
1\end{array}\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}が線型従属であることは先に示した通りです。このベクトル集合の部分集合\begin{equation*}
\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
-2 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
2 \\
1 \\
-1\end{array}\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}に注目すると、これは線型独立になります。実際、変数\(a_{1},a_{2}\in \mathbb{R} \)に関する連立方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{r}
a_{1}+2a_{2}=0 \\
-2a_{1}+a_{2}=0 \\
a_{1}-a_{2}=0\end{array}\right.
\end{equation*}を解くと、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}となるため、先の部分集合が線型独立であることが明らかになりました。

 

線型従属なベクトル集合の生成

有限\(m\ \left( \geq 1\right) \)個のベクトルを要素として持つベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられているものとします。このベクトル集合の要素であるベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\)の線型結合を\(m+1\)個任意に選び、それらを、\begin{equation*}\boldsymbol{y}_{1},\cdots ,\boldsymbol{y}_{m+1}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}で表記します。つまり、\begin{equation*}
\boldsymbol{y}_{1},\cdots ,\boldsymbol{y}_{m+1}\in \mathrm{span}\left(
\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right)
\end{equation*}であるということです。このとき、ベクトル集合\begin{equation*}
\left\{ \boldsymbol{y}_{1},\cdots ,\boldsymbol{y}_{m+1}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が線型従属になることが保証されます。有限\(m\)個のベクトルの線型結合を\(m+1\)個選ぶと、それらのベクトルは線型従属になるということです。

命題(線型従属なベクトルの生成)
有限\(m\ \left( \geq 1\right) \)個のベクトルを要素として持つベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を任意に選ぶ。その上で、\begin{equation*}
\boldsymbol{y}_{1},\cdots ,\boldsymbol{y}_{m+1}\in \mathrm{span}\left(
\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right)
\end{equation*}を満たす有限\(m+1\)個のベクトル\(\boldsymbol{y}_{1},\cdots ,\boldsymbol{y}_{m+1}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選ぶ。このとき、ベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{y}_{1},\cdots ,\boldsymbol{y}_{m+1}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}は線型従属になる。

証明

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有限\(m\)個のベクトルから\(m+1\)個の線型結合を作るとそれらは必ず線型従属になることが明らかになりました。では、\(m+1\)個より多くの個数\(k\ \left( \geq k+1\right) \)の線型結合を作る場合にはどうでしょうか。その場合にも、得られた\(k\)個の線型結合は線型従属になります。

命題(線型従属なベクトル集合の生成)
有限\(m\)個のベクトルを要素として持つベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を任意に選ぶ。\(k\geq m\)を満たす自然数\(k\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}\boldsymbol{y}_{1},\cdots ,\boldsymbol{y}_{k}\in \mathrm{span}\left(
\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right)
\end{equation*}を満たす有限\(k\)個のベクトル\(\boldsymbol{y}_{1},\cdots ,\boldsymbol{y}_{k}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選ぶ。このとき、ベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{y}_{1},\cdots ,\boldsymbol{y}_{k}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}は線型従属になる。

証明

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演習問題

問題(線型従属なベクトル集合)
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)のベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \left(
\begin{array}{c}
2 \\
3 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
2\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
7 \\
3 \\
8\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}が線型従属であることを示してください。

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問題(直交するベクトル集合は線型独立)
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の要素である3つの非ゼロベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)が以下の条件\begin{equation*}\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{z}=\boldsymbol{y}\cdot \boldsymbol{z}=\boldsymbol{0}
\end{equation*}を満たすものとします。つまり、\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\)の中の任意の2つは直交するということです。このとき、以下のベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right\}
\end{equation*}が線型独立であることを証明してください。

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問題(線型独立なベクトルはゼロベクトルを含まない)
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の要素であるベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。これらが線型独立であるならば、その中にゼロベクトルが存在しないことを示してください。
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問題(等しいベクトルが存在する場合には線型従属)
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の要素であるベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。これらの中に等しいベクトルが存在するならば、\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\)は線型従属であることを示してください。
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問題(線型独立なベクトルのスカラー)
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の要素であるベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。その上で、\begin{equation*}a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}=b_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +b_{m}\boldsymbol{x}_{m}
\end{equation*}を満たすスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m},b_{1},\cdots ,b_{m}\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\)が線型独立である場合には、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :a_{i}=b_{i}
\end{equation*}が成り立つことを示してください。

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問題(基本単位ベクトルは線型独立)
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の要素である\(n\)個のベクトルからなる集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} =\left\{
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) ,\cdots ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}を標準基底と呼びます。ただし、\(\boldsymbol{e}_{i}\)は第\(i\)成分が\(1\)であり他の任意の成分が\(0\)であるようなベクトルです。標準基底が線型独立であることを示してください。
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