正規直交系

正規直交系

実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の要素である有限\(m\in \mathbb{N} \)個のベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられたとき、この中の異なる任意の2つのベクトル直交しているならば、すなわち、\begin{equation*}
\forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :\left( i\not=j\Rightarrow
\boldsymbol{x}_{i}\cdot \boldsymbol{x}_{j}=0\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、これらのベクトルからなる集合\begin{equation*}
\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を直交系（orthogonal）と呼びます。

ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}\)が直交系であるとともに、その要素がいずれも単位ベクトルである場合には、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :\left(
i\not=j\Rightarrow \boldsymbol{x}_{i}\cdot \boldsymbol{x}_{j}=0\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :\left\Vert
\boldsymbol{x}_{i}\right\Vert =1
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)を正規直交系（orthogonal）と呼びます。

正規直交系の代替的な定義

ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\begin{eqnarray*}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert =1 &\Leftrightarrow &\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}=1\quad \because \text{ノルムの定義} \\
&\Leftrightarrow &\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}=1 \\
&\Leftrightarrow &\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{x}=1\quad \because \text{内積の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert =1\Leftrightarrow \boldsymbol{x}\cdot
\boldsymbol{x}=1
\end{equation*}が成り立つことを踏まえると、正規直交系を以下のように定義することもできます。

正規直交系は線型独立

正規直交系は線型独立です。

線型独立なベクトル集合は正規直交系であるとは限らない

正規直交系は線型独立であることが明らかになりましたが、逆は成り立つとは限りません。線型独立なベクトル集合は正規直交系であるとは限らないということです。以下の例より明らかです。

線型独立なベクトル集合から生成される正規直交系（シュミットの直交化法）

線型独立なベクトル集合は正規直交系であるとは限らないことが明らかになりましたが、線型独立なベクトル集合から正規直交系を生成することはできます。

以上の命題の証明では、線型独立なベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)から正規直交系\(\left\{ \boldsymbol{y}_{1},\cdots ,\boldsymbol{y}_{m}\right\} \)を生成するための具体的な手続きを提示しました。これをシュミットの直交化法（Gram-Schmidt orthogonalization procedure）と呼びます。改めて手順を整理すると以下のようになります。

1. ベクトル\(\boldsymbol{x}_{1}\)を単位ベクトル化した上で、\begin{equation*}\boldsymbol{y}_{1}=\frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{x}_{1}\right\Vert }\boldsymbol{x}_{1}\end{equation*}と定める。
2. 以下のベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{z}_{2}=\boldsymbol{x}_{2}+b_{1}\boldsymbol{y}_{1}
   \end{equation*}が\(\boldsymbol{y}_{1}\)と直交するようなスカラー\(b_{1}\in \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}b_{1}=-\boldsymbol{x}_{2}\cdot \boldsymbol{y}_{1}
   \end{equation*}であるため、これを特定した上で\(\boldsymbol{z}_{2}\)を求める。その上で、\(\boldsymbol{z}_{2}\)を単位ベクトル化した上で、\begin{equation*}\boldsymbol{y}_{2}=\frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{z}_{2}\right\Vert }\boldsymbol{z}_{2}
   \end{equation*}と定める。
3. 以下のベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{z}_{3}=\boldsymbol{x}_{3}+b_{1}\boldsymbol{y}_{1}+b_{2}\boldsymbol{y}_{2}
   \end{equation*}が\(\boldsymbol{y}_{1},\boldsymbol{y}_{2}\)と直交するようなスカラー\(b_{1},b_{2}\in \mathbb{R} \)は、\begin{eqnarray*}b_{1} &=&-\boldsymbol{x}_{3}\cdot \boldsymbol{y}_{1} \\
   b_{2} &=&-\boldsymbol{x}_{3}\cdot \boldsymbol{y}_{2}
   \end{eqnarray*}であるため、これらを特定した上で\(\boldsymbol{z}_{3}\)を求める。その上で、\(\boldsymbol{z}_{3}\)を単位ベクトル化した上で、\begin{equation*}\boldsymbol{y}_{3}=\frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{z}_{3}\right\Vert }\boldsymbol{z}_{3}
   \end{equation*}と定める。
4. 同様のプロセスを繰り返す。

演習問題