平面上に存在する以下の2つのベクトル\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{x} &=&\left( 2,1\right) \\
\boldsymbol{y} &=&\left( 1,-2\right)
\end{eqnarray*}から定義される以下のベクトル\(\boldsymbol{z}\)を成分表示した上で、そのノルム\(\left\Vert \boldsymbol{z}\right\Vert \)を求めてください（各5点）。

1. \(\boldsymbol{z}=-\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\)
2. \(\boldsymbol{z}=\boldsymbol{y}+3\boldsymbol{x}\)
3. \(\boldsymbol{z}=2\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\)

平面上に存在する以下のベクトル\begin{equation*}
\boldsymbol{x}=\left( \sqrt{3},-3\right)
\end{equation*}とスカラー\(a\in \mathbb{R} \)から定義される以下のベクトル\begin{equation*}a\boldsymbol{x}
\end{equation*}のノルムの大きさが\(1\)になるような\(a\)の値を求めてください。

平面上に存在する以下の2つのベクトル\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{x} &=&\left( 5,3\right) \\
\boldsymbol{y} &=&\left( 2,0\right)
\end{eqnarray*}から以下の2つのベクトル\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{p} &=&\boldsymbol{x}-2\boldsymbol{y} \\
\boldsymbol{q} &=&-\boldsymbol{x}+7\boldsymbol{y}
\end{eqnarray*}を定義します。以下の問いに答えてください（各5点）。

1. ノルム\(\left\Vert \boldsymbol{p}\right\Vert,\left\Vert \boldsymbol{q}\right\Vert \)をそれぞれ求めてください。
2. 内積\(\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{q}\)を求めてください。
3. \(\boldsymbol{p}\)と\(\boldsymbol{q}\)のなす角\(\theta \)について、その余弦\(\cos \left( \theta \right) \)を求めてください。

空間上に存在する以下の3つのベクトル\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{x} &=&\left( 1,2,3\right) \\
\boldsymbol{y} &=&\left( 2,-1,1\right) \\
\boldsymbol{z} &=&\left( 3,1,-2\right)
\end{eqnarray*}から定義される以下のベクトルを具体的に特定してください（各5点）。

1. \(\boldsymbol{x}\times \left( \boldsymbol{y}\times \boldsymbol{z}\right) \)
2. \(\left( \boldsymbol{x}\times \boldsymbol{y}\right) \times \boldsymbol{z}\)
3. \(\left( \boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{z}\right) \boldsymbol{y}-\left( \boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}\right) \boldsymbol{z}\)

空間上に存在する以下の2つのベクトル\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{x} &=&\left( 3,0,1\right) \\
\boldsymbol{y} &=&\left( 1,2,2\right)
\end{eqnarray*}の双方と直交する単位ベクトルを求めてください。

平面上に存在する以下の2つのベクトル\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{x} &=&\left( 3,4\right) \\
\boldsymbol{y} &=&\left( 2,-1\right)
\end{eqnarray*}について、以下の問いに答えてください（各5点）。

1. \(\boldsymbol{x}\)の\(\boldsymbol{y}\)へのベクトル射影を求めてください。
2. \(\boldsymbol{x}\)の\(\boldsymbol{y}\)へのスカラー射影を求めてください。

空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する平面\(P\)が以下の点\begin{equation*}\boldsymbol{a}=\left( 1,2,-1\right)
\end{equation*}を通るとともに、その法線ベクトルが、\begin{equation*}
\boldsymbol{n}=\left( 2,-1,1\right)
\end{equation*}であるものとします。以下の問いに答えてください。

1. 以下のベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{b}=\left( 3,0,1\right)
   \end{equation*}を平面\(P\)に射影することにより得られる点の位置ベクトルを求めてください（15点）。
2. 先のベクトル\(\boldsymbol{b}\)から平面\(P\)への距離を求めてください（10点）。