確認テスト II（ベクトル）

空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する平面\(P\)の方程式が、係数である\(\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)および\(b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+b=0
\end{equation*}と表されるものとします。また、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する直線\(P\)の対称式が、係数である\(\left( p_{1},p_{2},p_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)および\(\left( v_{1},v_{2},v_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)を用いて、\begin{equation*}\frac{x_{1}-p_{1}}{v_{1}}=\frac{x_{2}-p_{2}}{v_{2}}=\frac{x_{3}-p_{3}}{v_{3}}
\end{equation*}と表されるものとします。以下の問いに答えてください（各5点）。

1. 平面\(P\)の法線ベクトルを求めてください。
2. 直線\(L\)の方向ベクトルを求めてください。
3. 平面\(P\)と直線\(L\)が1点で交わるための条件を特定してください。

集合\(X\subset \mathbb{R} ^{3}\)が以下のように与えられている場合、\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)が\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の部分空間であるかそれぞれ判定してください（各7点）。

1. \(X=\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{1}\text{は奇数}\right\} \)
2. \(X=\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{1}=x_{2}=1\right\} \)
3. \(X=\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{1},x_{2},x_{3}\text{の中の2つが整数}\right\} \)
4. \(X=\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{1}+x_{2}=1\right\} \)
5. \(X=\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ 9x_{1}-x_{2}=0\right\} \)

集合\(X,Y\subset \mathbb{R} ^{n}\)について、\(\left( \mathbb{R} ,X\right) \)と\(\left( \mathbb{R} ,Y\right) \)がともに\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の部分空間であるものとします。\(X\subset Y\)と\(Y\subset X\)がともに成り立たない場合には、\(\left( \mathbb{R} ,X\cup Y\right) \)は\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の部分空間ではないことを証明してください。

実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)において、以下のベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\left(
\begin{array}{c}
2 \\
13 \\
6\end{array}\right)
\end{equation*}を以下の3つのベクトル\begin{equation*}
\boldsymbol{x}_{1}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
5 \\
-1\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{x}_{2}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
2 \\
1\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{x}_{3}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
4 \\
3\end{array}\right)
\end{equation*}の線型結合として表してください。

実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)における以下の3つのベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{1}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{x}_{2}=\left(
\begin{array}{c}
c \\
1 \\
-c\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{x}_{3}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
2c \\
3c+1\end{array}\right)
\end{equation*}に注目します。ただし\(c\in \mathbb{R} \)です。ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{x}_{3}\right\} \)が線型独立であるために\(c\)が満たすべき条件を特定してください。

ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{x}_{3}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}\)について、\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{x}_{3}\)はいずれも非ゼロベクトルであるとともに、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{1}\cdot \boldsymbol{x}_{2}=\boldsymbol{x}_{1}\cdot
\boldsymbol{x}_{3}=\boldsymbol{x}_{2}\cdot \boldsymbol{x}_{3}=0
\end{equation*}が成り立つものとします。このとき、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{x}_{3}\right\} \)が線型独立であることを証明してください。