ベクトルによって張られる平行六面体の体積

3つのベクトルによって張られる平行六面体の体積

3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する3つの非ゼロベクトル\begin{eqnarray*}x &=&\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ 0\right\} \\
y &=&\left( y_{1},y_{2},y_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ 0\right\} \\
z &=&\left( z_{1},z_{2},z_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}が与えられたとき、これらがお互いに平行でない場合には、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}
y &=&ax \\
z &=&bx \\
y &=&cz
\end{eqnarray*}を満たすスカラー\(a,b,c\in \mathbb{R} \)が存在しない場合には、ベクトル\(x,y,z\)の始点を一致させることにより、それらを対辺とする平行六面体を作ることができます（下図）。これをベクトル\(x,y,z\)によって張られる平行六面体（parallelepiped spanned by vectors \(x,y,z\)）と呼びます。

この平行六面体の底面はベクトル\(x,y\)によって張られる平行四辺形であるため、その面積は外積を用いて、\begin{equation*}\left\Vert x\times y\right\Vert
\end{equation*}と表すことができます。ただし、外積は、\begin{eqnarray*}
x\times y &=&\left(
\begin{vmatrix}
x_{2} & x_{3} \\
y_{2} & y_{3}\end{vmatrix},-\begin{vmatrix}
x_{1} & x_{3} \\
y_{1} & y_{3}\end{vmatrix},\begin{vmatrix}
x_{1} & x_{2} \\
y_{1} & y_{2}\end{vmatrix}\right) \quad \because \text{外積の定義} \\
&=&\left( x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2},-\left( x_{1}y_{3}-x_{3}y_{1}\right)
,x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\right) \quad \because \text{行列式の定義}
\end{eqnarray*}として導出可能です。

一方、外積\(x\times y\)は2つのベクトル\(x,y\)の双方と垂直であるため、これは平行六面体の底面の法線ベクトルです。底面の法線ベクトル\(x\times y\)とベクトル\(z\)のなす角を\(\theta \)で表記し、平行六面体の高さを\(h\)で表記します（上図）。上図のように\(\theta \)が鋭角である場合、余弦の定義より、\begin{equation}\cos \left( \theta \right) =\frac{h}{\left\Vert z\right\Vert } \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。一方、法線ベクトル\(x\times y\)の方向が上図とは逆向きの場合、\(x\times y\)と\(z\)のなす角\(\theta \)は鈍角になるため、余弦の定義より、\begin{equation*}\cos \left( \pi -\theta \right) =\frac{h}{\left\Vert z\right\Vert }
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
-\cos \left( \theta \right) =\frac{h}{\left\Vert z\right\Vert } \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)をまとめて表記すると、\begin{equation*}\left\vert \cos \left( \theta \right) \right\vert =\frac{h}{\left\Vert
z\right\Vert }
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
h=\left\Vert z\right\Vert \left\vert \cos \left( \theta \right) \right\vert
\end{equation*}を得ます。したがって、平行六面体の体積は、\begin{equation*}
\left\Vert x\times y\right\Vert \cdot h=\left\Vert x\times y\right\Vert
\left\Vert z\right\Vert \left\vert \cos \left( \theta \right) \right\vert
\end{equation*}で与えられることが明らかになりました。

平行六面体の体積とスカラー三重積の関係

3つのベクトルによって張られる平行六面体について再び考えます。

上図から明らかであるように、平行六面体の高さはベクトル\(z\)のベクトル\(x\times y\)へのベクトル射影の大きさに他なりません。つまり、平行六面体の高さは、\begin{equation*}\left\Vert \mathrm{proj}_{x\times y}z\right\Vert
\end{equation*}として計算できます。先の議論より、平行六面体の底面積は、\begin{equation*}
\left\Vert x\times y\right\Vert
\end{equation*}であるため、平行六面体の体積は、\begin{equation*}
\left\Vert x\times y\right\Vert \cdot \left\Vert \mathrm{proj}_{x\times y}z\right\Vert
\end{equation*}となります。これを変形することにより以下を得ます。

先の命題とは異なり、この命題には外積\(x\times y\)とベクトル\(z\)のなす角\(\theta \)が登場しません。ベクトル\(x,y,z\)に関する情報が与えられれば、そこから直接、\begin{equation*}\left\vert \left( x\times y\right) \cdot z\right\vert
\end{equation*}として平行六面体の体積を特定できます。

3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)における\(3\)つのベクトル\(x,y,z\)が与えられたとき、それらの2つの外積\(x\times y\)と残りの1つのベクトル\(z\)の内積\begin{equation*}\left( x\times y\right) \cdot z
\end{equation*}を\(x,y,z\)のスカラー三重積（scalar triple product）と呼びます。具体的には、\begin{eqnarray*}\left( x\times y\right) \cdot z &=&\left(
\begin{vmatrix}
x_{2} & x_{3} \\
y_{2} & y_{3}\end{vmatrix},-\begin{vmatrix}
x_{1} & x_{3} \\
y_{1} & y_{3}\end{vmatrix},\begin{vmatrix}
x_{1} & x_{2} \\
y_{1} & y_{2}\end{vmatrix}\right) \cdot \left( z_{1},z_{2},z_{3}\right) \quad \because \text{外積の定義} \\
&=&\begin{vmatrix}
x_{2} & x_{3} \\
y_{2} & y_{3}\end{vmatrix}z_{1}-\begin{vmatrix}
x_{1} & x_{3} \\
y_{1} & y_{3}\end{vmatrix}z_{2}+\begin{vmatrix}
x_{1} & x_{2} \\
y_{1} & y_{2}\end{vmatrix}z_{3}\quad \because \text{内積の定義} \\
&=&\left( x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}\right) z_{1}-\left(
x_{1}y_{3}-x_{3}y_{1}\right) z_{2}+\left( x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\right)
z_{3}\quad \because \text{行列式の定義}
\end{eqnarray*}となります。

以上の命題より、3つのベクトル\(x,y,z\)によって張られる平行六面体の体積は\(x,y,z\)のスカラー三重積の絶対値と一致することが明らかになりました。

ベクトルが負の成分を持つ場合にも同様に考えることができます。

3つのベクトルが同一平面上に存在するための条件

3つの非ゼロベクトル\(x,y,z\in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ 0\right\} \)が互いに平行ではない場合、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}y &=&ax \\
z &=&bx \\
y &=&cz
\end{eqnarray*}を同時に満たすスカラー\(a,b,c\in \mathbb{R} \)が存在しない場合、\(x,y,z\)によって張られる平行六面体の体積は、\begin{equation*}\left\vert \left( x\times y\right) \cdot z\right\vert
\end{equation*}として与えられることが明らかになりました。これは各辺の長さが正であるような平行六面体の体積であるため、正の実数として定まります。

対偶より、3つのベクトル\(x,y,z\in \mathbb{R} ^{3}\)のスカラー三重積の絶対値がゼロである場合には、すなわち、\begin{equation*}\left\vert \left( x\times y\right) \cdot z\right\vert =0
\end{equation*}が成り立つ場合には、少なくとも1つのベクトルがゼロベクトルであるか、以下の条件\begin{eqnarray*}
y &=&ax \\
z &=&bx \\
y &=&cz
\end{eqnarray*}の中の少なくとも1つを満たすスカラー\(a,b,c\in \mathbb{R} \)が存在するはずです。それぞれの場合について考えます。

まず、\(x,y,z\)の中の少なくとも1つがゼロベクトルである場合について考えます。\(x\)がゼロベクトルである場合、残りの2つのベクトル\(y,z\)によって張られる平行四辺形上にベクトル\(x\)が存在するため、3つのベクトル\(x,y,z\)が同一平面上に存在することになります。ベクトル\(y\)がゼロベクトルである場合や、ベクトル\(z\)がゼロベクトルである場合についても同様です。

続いて、\(x,y,z\)がいずれも非ゼロベクトルである一方で、以下の条件\begin{eqnarray*}y &=&ax \\
z &=&bx \\
y &=&cz
\end{eqnarray*}の中の少なくとも1つを満たすスカラー\(a,b,c\in \mathbb{R} \)が存在する場合について考えます。\(y=ax\)を満たすスカラー\(a\)が存在する場合、\(y\)は\(x\)と平行であるため、\(y\)は\(x\)と\(z\)によって張られる平行四辺形上に存在するため、3つのベクトル\(x,y,z\)が同一平面上に存在することになります。\(z=bx\)を満たすスカラー\(b\)が存在する場合や、\(y=cz\)を満たすスカラー\(c\)が存在する場合についても同様です。

結論を整理すると、3つのベクトル\(x,y,z\in \mathbb{R} ^{3}\)について、以下の条件\begin{equation}\left\vert \left( x\times y\right) \cdot z\right\vert =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つ場合には、\(x,y,z\)は同一平面上に存在することが保証されます。ちなみに、以下の条件\begin{equation*}\left( x\times y\right) \cdot z=0
\end{equation*}が成り立つ場合には\(\left( 1\right) \)が明らかに成立するため、この場合にも\(x,y,z\)は同一平面上に存在することが保証されます。

演習問題