述語論理において議論の対象となる最小概念は原子論理式です。原子論理式は命題関数を内包する概念です。

命題関数は原子論理式

述語論理における最小概念である原子論理式(atomic formula)を以下で定義します。

議論領域\(D\)における変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)を任意に選び、それらの定義域を\(D_{1},\cdots ,D_{n}\)で表します。このとき、それぞれの値の組\(\left( \bar{x}_{1},\cdots ,\bar{x}_{n}\right) \in D_{1}\times \cdots \times D_{n}\)に対して命題\(P\left( \bar{x}_{1},\cdots ,\bar{x}_{n}\right) \in \{0,1\}\)を 1 つずつ定める規則を命題関数(proposition function)と呼び、これを\(P\)や\(P\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)などで表します。

ただし、\(P\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)という記号は命題関数\(P\)そのものを表すものとして使われるだけでなく、\(P\)が値の組\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)に対して定める命題を表すものとして使われるため、どちらの意味であるかは文脈から判断する必要があります。

複数の異なる命題関数が同じ変数を持つとは限りません。例えば、議論領域\(D\)における変数\(x,y,z\)を選んだとき、ある命題関数\(P\)は\(x,y\)を変数として持つ関数\(P\left( x,y\right) \)であり、別の命題関数\(Q\)は\(y,z\)を変数として持つ関数\(Q\left( y,z\right) \)であり、さらに別の関数は\(z\)を変数として持つ関数\(R\left( z\right) \)である、という状況は起こり得ます。

議論領域\(D\)における命題関数を\(D\)における原子論理式とみなします。

例(原子論理式)
実数を値として取り得る変数\(a,b\)に関する命題関数\begin{equation*}
P\left( a,b\right) :a,b>0\text{であるとき、方程式}x^{2}+ax+b=0\text{は実数解を持つ。}
\end{equation*}は原子論理式です。

 

命題関数から生成される原子論理式

議論領域\(D\)における命題関数\(P\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)が与えられたとき、その変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)の中から特定の変数\(x_{1},\cdots ,x_{m}\ \left( m\leq n\right) \)を任意に選んだ上で、それらの値の組\(\left( \bar{x}_{1},\cdots ,\bar{x}_{m}\right) \)を任意に選びます。これを命題関数\(P\)の該当する変数に代入して得られる\(P\left( \bar{x}_{1},\cdots ,\bar{x}_{m},x_{m+1},\cdots ,x_{n}\right) \)を便宜的に\(\bar{P}\)で表します。

\(m<n\)の場合、\(\bar{P}\)は値が代入されていない変数\(\left( x_{m+1},\cdots ,x_{n}\right) \)に関するそれぞれの値の組\(\left( \bar{x}_{m+1},\cdots ,\bar{x}_{n}\right) \)に対して命題\(P\left( \bar{x}_{1},\cdots ,\bar{x}_{m},\bar{x}_{m+1},\cdots ,\bar{x}_{n}\right) \)を1つずつ定める命題関数ですが、これを\(D\)における原子論理式とみなします。

\(m=n\)の場合、\(\bar{P}\)は変数を持たない命題\(P\left( \bar{x}_{1},\cdots ,\bar{x}_{n}\right) \)ですが、これも\(D\)における原子論理式とみなします。

例(原子論理式)
実数を値として取り得る変数\(a,b\)に関する命題関数\begin{equation*}
P\left( a,b\right) :a,b>0\text{であるとき、方程式}x^{2}+ax+b=0\text{は実数解を持つ。}
\end{equation*}が与えられたとき、例えば、\begin{eqnarray*}
P\left( 1,b\right) &:&b>0\text{であるとき、方程式}x^{2}+x+b=0\text{は実数解を持つ。} \\
P\left( a,2\right) &:&a>0\text{であるとき、方程式}x^{2}+ax+2=0\text{は実数解を持つ。} \\
P\left( 1,2\right) &:&\text{方程式}x^{2}+x+2=0\text{は実数解を持つ。}
\end{eqnarray*}などはいずれも原子論理式です。

 

命題定数は原子論理式

命題定数\(T,F\)を議論領域\(D\)における原子論理式とみなします。

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次回は論理演算について学びます。

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