述語論理において議論の対象となる最小概念は原子論理式です。原子論理式は命題関数を内包する概念です。

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原子論理式

述語論理における議論の最小単位は原子論理式(atomic formula)と呼ばれる概念です。以降では、この原子論理式を定義します。

議論領域\(D\)において定義されている変数の中から変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)を任意に選び、それらの定義域を\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)で表します。このとき、変数のそれぞれの値の組\(\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \)に対して命題\(P\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \)を 1 つずつ定める規則を命題関数(proposition function)と呼び、これを\(P\)や\(P\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)で表します。ただし、\(P\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)という記号は命題関数\(P\)そのものを表すものとして使われるだけでなく、命題関数\(P\)が値の組\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)に対して定める命題を表すものとしても使われるため、どちらの意味であるかは文脈から判断する必要があります。

異なる命題関数が同じ変数を持つとは限りません。例えば、議論領域\(D\)において定義されている変数\(x,y,z\)を選んだとき、ある命題関数\(P\)は\(x,y\)を変数として持つ関数\(P\left( x,y\right) \)であり、別の命題関数\(Q\)は\(y,z\)を変数として持つ関数\(Q\left( y,z\right) \)であり、さらに別の関数は\(z\)を変数として持つ関数\(R\left( z\right) \)である、という状況は起こり得ます。

議論領域\(D\)において定義されている変数を持つ命題関数はいずれも、\(D\)における原子論理式とみなされます。

例(原子論理式)
議論領域\(D\)において、任意の整数を値としてとり得る変数\(x\)が定義されているものとします。このとき、\begin{equation*}
P\left( x\right) :x\text{は偶数である}
\end{equation*}は\(D\)における原子論理式です。
例(原子論理式)
議論領域\(D\)において、任意の実数を値として取り得る変数\(a,b\)が定義されているものとします。このとき、\begin{equation*}
P\left( a,b\right) :a,b>0\text{であるとき、方程式}x^{2}+ax+b=0\text{は実数解を持つ}
\end{equation*}は\(D\)における原子論理式です。
例(原子論理式)
議論領域\(D\)において、任意の関数を値としてとり得る変数\(f,g\)が定義されているものとします。このとき、\begin{equation*}
P\left( f,g\right) :f\text{は}g\text{の導関数である}
\end{equation*}は\(D\)における原子論理式です。

 

命題関数から生成される原子論理式

議論領域\(D\)における命題関数\(P\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)が与えられたとき、その変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)の中から特定の変数\(x_{1},\cdots ,x_{m}\ \left( m\leq n\right) \)を任意に選んだ上で、それらの値の組\(\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{m}\right) \)を任意に選びます。これを命題関数\(P\)の該当する変数に代入して得られる\(P\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{m},x_{m+1},\cdots ,x_{n}\right) \)を便宜的に\(\bar{P}\)で表します。

\(m<n\)の場合、\(\bar{P}\)は値が代入されていない変数\(\left( x_{m+1},\cdots ,x_{n}\right) \)に関する命題関数\(P\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{m},x_{m+1},\cdots ,x_{n}\right) \)ですが、これもまた\(D\)における原子論理式とみなします。

\(m=n\)の場合、\(\bar{P}\)は変数を持たない命題\(P\left( \overline{x}_{1},\cdots ,\overline{x}_{n}\right) \)ですが、これも\(D\)における原子論理式とみなします。

例(原子論理式)
議論領域\(D\)において、任意の整数を値としてとり得る変数\(x\)が定義されているものとします。このとき、\begin{equation*} P\left( x\right) :x\text{は偶数である} \end{equation*}は\(D\)における原子論理式です。このとき、\(x\)に具体的な値を代入して得られる、\begin{eqnarray*} P\left( 1\right) &:&1\text{は偶数である} \\ P\left( 0\right) &:&0\text{は偶数である} \\ P\left( -1\right) &:&-1\text{は偶数である} \end{eqnarray*}などはいずれも\(D\)における原子論理式です。
例(原子論理式)
議論領域\(D\)において、任意の実数を値として取り得る変数\(a,b\)が定義されているものとします。このとき、\begin{equation*} P\left( a,b\right) :a,b>0\text{であるとき、方程式}x^{2}+ax+b=0\text{は実数解を持つ}
\end{equation*}は\(D\)における原子論理式です。このとき、\(a,b\)の少なくとも一方に具体的な値を代入して得られる、\begin{eqnarray*}
P\left( 1,b\right) &:&b>0\text{であるとき、方程式}x^{2}+x+b=0\text{は実数解を持つ} \\
P\left( a,2\right) &:&a>0\text{であるとき、方程式}x^{2}+ax+2=0\text{は実数解を持つ} \\
P\left( 1,2\right) &:&\text{方程式}x^{2}+x+2=0\text{は実数解を持つ}
\end{eqnarray*}などはいずれも\(D\)における原子論理式です。
例(原子論理式)
議論領域\(D\)において、任意の関数を値としてとり得る変数\(f,g\)が定義されているものとします。このとき、\begin{equation*}
P\left( f,g\right) :f\text{は}g\text{の導関数である}
\end{equation*}は\(D\)における原子論理式です。このとき、\(f,g\)の少なくとも一方に具体的な値を代入して得られる、\begin{eqnarray*}
P\left( f,x^{2}+1\right) &:&f\text{は}x^{2}+1\text{の導関数である} \\
P\left( 2x,g\right) &:&2x\text{は}g\text{の導関数である} \\
P\left( 2x,x^{2}+1\right) &:&2x\text{は}x^{2}+1\text{の導関数である}
\end{eqnarray*}などはいずれも\(D\)における原子論理式です。

 

命題定数は原子論理式

命題定数\(T,F\)を議論領域\(D\)における原子論理式とみなします。

命題定数について復習する

次回は論理式について学びます。

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