排中律

論理式\(A\)と恒真式\(\top \)がそれぞれ任意に与えられたとき、解釈を任意に選んだ上で、その場合に\(A\)から得られる命題を\(\overline{A}\)で、\(\top \)から得られる命題を\(\overline{\top }\)でそれぞれ表記します。すると命題論理における排中律より、\begin{equation*}\overline{A}\vee \lnot \overline{A}\Leftrightarrow \overline{\top }
\end{equation*}が成り立ちます。任意の解釈において同様の議論が成立するため、\begin{equation*}
A\vee \lnot A\Leftrightarrow \top
\end{equation*}が成り立つことが示されました。つまり、述語論理においても排中律（law of excluded middle）が成り立つということです。

論理式\(A\)が任意に与えられたとき、解釈を任意に選んだ上で、その場合に\(A\)から得られる命題を\(\overline{A}\)で表記します。排中律は\(\overline{A}\vee \lnot \overline{A}\)が任意の解釈において真であること、すなわち\(\overline{A}\)と\(\lnot \overline{A}\)の少なくとも一方が真であることを意味しますが、否定の定義より\(\overline{A}\)と\(\lnot \overline{A}\)の真理値は常に逆転しているため、これは\(\overline{A}\)が真もしくは偽のどちらか一方であることを意味します。ゆえに排中律とは、論理式から生成される命題が真か偽のどちらか一方であり、真と偽の中間の状態は起こり得ないという主張です。以上が排中律と呼ばれる理由です。

排中律とラッセルの例

命題論理における排中律について解説した際に、イギリスの哲学者であるバートランド・ラッセル（Bertrand Russell）が提示した以下の主張\begin{equation*}
P:\text{The present king of France is bald}
\end{equation*}について触れました。日本語に訳すと、\begin{equation*}
P:\text{現在のフランス国王はハゲである}
\end{equation*}となります。

現在、フランスでは王政が採用されていないため、現在のフランス国王は存在しません。そのため、この文を日常言語のまま読むと、存在しない人物について何かを述べているように見え、真偽の判定に違和感が生じます。しかし、命題論理では、命題変数\(P\)の内部構造までは分析しません。いったん\(P\)を1つの命題変数として扱うならば、排中律により、\begin{equation*}P\vee \lnot P
\end{equation*}は常に真です。命題論理が述べているのは、\(P\)が真であっても偽であっても、\(P\vee \lnot P\)は必ず真になるという形式的事実です。したがって、「現在のフランス国王はハゲである」という文を命題論理の範囲で扱う限り、それは真または偽のどちらかである命題変数\(P\)として扱われ、排中律は満たされます。この文の違和感は、命題論理だけでは「現在のフランス国王が存在するのか」「存在するとすれば一人なのか」「その人物がハゲであるのか」といった内部構造を表現できないことに由来します。この内部構造を分析するためには、命題論理の拡張理論である述語論理を用いる必要があります。

では、述語論理のもとで先の文を定式化するとどうなるでしょうか。すべての人間を値として取り得る変数\(x\in X\)に関する命題関数を、\begin{eqnarray*}P\left( x\right) &:&x\text{はフランス国王である} \\
Q\left( x\right) &:&x\text{はハゲである}
\end{eqnarray*}とそれぞれ定義します。その上で、「現在のフランス国王はハゲである」という主張を、\begin{equation*}
\forall x\in X:\left( P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}という全称命題として定式化します。これを論理式\(A\)と呼びます。現在、フランス国王は存在しないため、任意の人間\(x\)について\(P\left( x\right) \)は偽です。したがって、先の全称命題、すなわち論理式\(A\)は真です。一方、論理式\(A\)の否定\(\lnot A\)に相当する「現在のフランス国王はハゲではない」という主張は、先の全称命題の否定に相当する、\begin{equation*}\exists x\in X:\left( P\left( x\right) \wedge \lnot Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}という存在命題として定式化されます。現在、フランス国王は存在しないため、\(P\left( x\right) \)が真になるような人間\(x\)は存在しません。したがって、先の存在命題、すなわち論理式\(\lnot A\)は偽です。論理式\(A\)が真でその否定\(\lnot A\)が偽であるため、この結果は排中律と整合的です。

ここで話を終えてもよいのですが、ラッセル自身の議論について少し掘り下げます。先の定式化\begin{equation*}
\forall x\in X:\left( P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}では、「現在のフランス国王である者はすべてハゲである」という主張を一般命題として簡略的に解釈しています。そのため、現在フランス国王が存在しない場合、この全称命題は必ず真になります。一方、ラッセル自身は、この文を一般命題として分析するのではなく、「the present king」という定冠詞 the に「唯一存在する」という意味が含まれていると考えました。つまり、「現在のフランス国王」という表現には、

1. 現在のフランス国王が存在すること
2. 現在のフランス国王はただ一人であること
3. その人物がハゲであること

という3つの主張が含まれているということです。この場合、命題関数\begin{eqnarray*}
P\left( x\right) &:&x\text{は現在のフランス国王である} \\
Q\left( x\right) &:&x\text{はハゲである}
\end{eqnarray*}を用いて、「現在のフランス国王はハゲである」という主張は、\begin{equation*}
\exists x\in X:\left( P\left( x\right) \wedge \left( \forall y\in X:P\left(
y\right) \rightarrow y=x\right) \wedge Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}と定式化されます。これを論理式\(B\)と呼びます。この論理式は、「現在のフランス国王である人が存在し、そのような人はただ一人であり、なおかつその人はハゲであること」を意味しています。現在のフランスには国王が存在しないため、最初の条件\(P\left( x\right) \)を満たす人は存在しません。したがって、この論理式\(B\)は偽です。一方、先の論理式の否定\(\lnot B\)をとると、\begin{eqnarray*}&&\lnot \left( \exists x\in X:\left( P\left( x\right) \wedge \left( \forall
y\in X:P\left( y\right) \rightarrow y=x\right) \wedge Q\left( x\right)
\right) \right) \\
&\Leftrightarrow &\forall x\in X:\lnot \left( P\left( x\right) \wedge \left(
\forall y\in X:P\left( y\right) \rightarrow y=x\right) \wedge Q\left(
x\right) \right) \\
&\Leftrightarrow &\forall x\in X:\left( \lnot P\left( x\right) \vee \lnot
\left( \forall y\in X:P\left( y\right) \rightarrow y=x\right) \vee \lnot
Q\left( x\right) \right) \\
&\Leftrightarrow &\forall x\in X:\left( \lnot P\left( x\right) \vee \exists
y\in X:\left( P\left( y\right) \wedge y\not=x\right) \vee \lnot Q\left(
x\right) \right)
\end{eqnarray*}となります。つまり、「任意の人間について、その人は現在のフランス国王ではないか、その人とは別に現在のフランス国王である人が存在するか、またはハゲではない」という主張です。現在のフランスには国王が存在しないため、すべての人が条件\(\lnot P\left( x\right) \)を満たします。したがって、この論理式\(\lnot B\)は真です。この結果は排中律と整合的です。

演習問題