移出律と移入律

論理式 A,B,C について、A と B がともに真である場合に C が真であることを示すことができれば、A が真である場合に B→C が真であることも示されたものとみなすことができます。これを移出律と呼びます。また、その逆の関係も成立しますが、それを移入律と呼びます。移出律は含意導入と呼ばれる推論規則の土台になります。
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移出律と移入律

以下の命題中の\(\Rightarrow \)は移出律(law of exportation)と呼ばれる性質であり、\(\Leftarrow \)は移入律(law of importation)と呼ばれる性質です。

命題(移出律と移入律)
任意の論理式\(A,B,C\)に対して以下が成り立つ。\begin{equation*}
\left( A\wedge B\right) \rightarrow C\ \Leftrightarrow \ A\rightarrow \left( B\rightarrow C\right)
\end{equation*}
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\(A\)と\(B\)がともに真である場合に\(C\)が真であることを示すことができれば、移出律より、\(A\)が真である場合に\(B\rightarrow C\)が真であることも示されたものとみなすことができます。この考え方は含意導入と呼ばれる推論規則の土台になることを後に解説します。

含意導入について学ぶ

 

移出律と移入律の一般化

移出律と移入律において論理式\(A\)を有限個の論理式\(A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}\)へ増やす形で一般化したものが以下の命題です。

命題(移出律と移入律)
任意の論理式\(A_{1},\cdots ,A_{n},B,C\)に対して以下が成り立つ。\begin{equation*}
\left( \bigwedge_{i=1}^{n}A_{i}\right) \wedge B\rightarrow C\ \Leftrightarrow \ \bigwedge_{i=1}^{n}A_{i}\rightarrow \left( B\rightarrow C\right)
\end{equation*}
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この命題より、\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)と\(B\)がいずれも真である場合に\(C\)が真であることを示すことができれば、\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)が真である場合に\(B\rightarrow C\)が真であることも示されたものとみなすことができます。

次回は対偶律について学びます。

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