量化記号と論理積

全称命題の論理積は論理積に対する全称命題と同値です。一方、存在命題の論理積は論理積に関する存在命題と同値ではありません。
量化 論理積
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全称記号と論理積

論理式\(A,B\)と変数\(x\in X\)がそれぞれ任意に与えられたとき、解釈を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
\forall x\in X:\left( A\wedge B\right) &\Leftrightarrow
&\bigwedge\limits_{x\in X}\left( A\wedge B\right) \quad \because \forall
\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\left( \bigwedge\limits_{x\in X}A\right) \wedge \left(
\bigwedge\limits_{x\in X}B\right) \quad \because \text{結合律} \\
&\Leftrightarrow &\left( \forall x\in X:A\right) \wedge \left( \forall x\in
X:B\right) \quad \because \exists \text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in X:\left( A\wedge B\right) \Leftrightarrow \left( \forall x\in
X:A\right) \wedge \left( \forall x\in X:B\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

命題(全称記号と論理積)
任意の論理式\(A,B\)と変数\(x\in X\)に対して以下が成り立つ。\begin{equation*}
\forall x\in X:\left( A\wedge B\right) \Leftrightarrow \left( \forall x\in
X:A\right) \wedge \left( \forall x\in X:B\right)
\end{equation*}
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例(全称記号と論理積)
変数\(x\in X\)に関する命題関数\(P\left( x\right) \)と\(Q\left( x\right) \)に対して、先の命題より、\begin{equation*}
\forall x\in X:\left( P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right)
\Leftrightarrow \left( \forall x\in X:P\left( x\right) \right) \wedge \left(
\forall x\in X:Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}がともに成り立ちます。
例(全称記号と論理積)
変数\(x\in X\)と\(y\in Y\)に関する命題関数\(P\left( x,y\right) \)と\(Q\left( x,y\right) \)に対して、先の命題より、\begin{eqnarray*}
\forall x &\in &X:\left( P\left( x,y\right) \wedge Q\left( x,y\right)
\right) \Leftrightarrow \left( \forall x\in X:P\left( x,y\right) \right)
\wedge \left( \forall x\in X:Q\left( x,y\right) \right) \\
\forall y &\in &Y:\left( P\left( x,y\right) \wedge Q\left( x,y\right)
\right) \Leftrightarrow \left( \forall y\in Y:P\left( x,y\right) \right)
\wedge \left( \forall x\in X:Q\left( x,y\right) \right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例(全称記号と論理積)
変数\(x\in X\)に関する命題関数\(P\left( x\right) \)と\(Q\left( x\right) \)が与えられたとき、別の変数\(y\in Y\)を任意に選ぶと、先の命題より、\begin{equation*}
\forall y\in Y:\left( P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right)
\Leftrightarrow \left( \forall y\in Y:P\left( x\right) \right) \wedge \left(
\forall y\in Y:Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}がともに成り立つはずです。実際、全称記号\(\forall \)の定義より、\begin{eqnarray*}
\forall y\in Y:\left( P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right)
&\Leftrightarrow &P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \\
&\Leftrightarrow &\left( \forall y\in Y:P\left( x\right) \right) \wedge
\left( \forall y\in Y:Q\left( x\right) \right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
例(全称記号と論理積)
「任意の実数\(x\)について\(x^{2}\not=-1\)かつ\(x^{2}\geq 0\)が成り立つ」という主張について考えます。変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての実数からなる集合です。先の主張を定式化すると、\begin{equation*}
\forall x\in X:\left( x^{2}\not=-1\wedge x^{2}\geq 0\right)
\end{equation*}となりますが、全称記号と論理積の関係を規定する先の命題より、この論理式は、\begin{equation*}
\left( \forall x\in X:x^{2}\not=-1\right) \wedge \left( \forall x\in
X:x^{2}\geq 0\right)
\end{equation*}と論理的に同値です。したがって、「任意の実数\(x\)について\(x^{2}\not=-1\)かつ\(x^{2}\geq 0\)が成り立つ」という主張は「任意の実数\(x\)について\(x^{2}\not=-1\)が成り立ち、なおかつ任意の実数\(x\)について\(x^{2}\geq 0\)が成り立つ」と言い換え可能です。

 

存在記号と論理積

繰り返しになりますが、論理式\(A,B\)と変数\(x\in X\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}
\forall x\in X:\left( A\wedge B\right) \Leftrightarrow \left( \forall x\in
X:A\right) \wedge \left( \forall x\in X:B\right)
\end{equation*}が成り立ちます。上の主張において全称記号\(\forall \)を存在記号\(\exists \)に入れ替えると、\begin{equation*}
\exists x\in X:\left( A\wedge B\right) \Leftrightarrow \left( \exists x\in
X:A\right) \wedge \left( \exists x\in X:B\right)
\end{equation*}を得ますが、これもまた成り立つでしょうか。まず、\(\Rightarrow \)は成り立ちます。実際、解釈を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
\exists x\in X:\left( A\wedge B\right) &\Leftrightarrow
&\bigvee\limits_{x\in X}\left( A\wedge B\right) \quad \because \exists
\text{の定義} \\
&\Rightarrow &\left( \bigvee\limits_{x\in X}A\right) \wedge \left(
\bigvee\limits_{x\in X}B\right) \quad \because \text{結合律} \\
&\Leftrightarrow &\left( \exists x\in X:A\right) \wedge \left( \exists x\in
X:B\right) \quad \because \exists \text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。

命題(存在記号と論理積)
任意の論理式\(A,B\)と変数\(x\in X\)に対して以下が成り立つ。\begin{equation*}
\exists x\in X:\left( A\wedge B\right) \Rightarrow \left( \exists x\in
X:A\right) \wedge \left( \exists x\in X:B\right)
\end{equation*}
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一方、上の命題の逆は成り立つとは限りません。これは以下の例から明らかです。

例(存在記号と論理積)
変数\(x\in X\)に関する命題関数\(P\left( x\right) \)と\(Q\left( x\right) \)に関する以下の2つの論理式\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \left( \exists x\in X:P\left( x\right) \right) \wedge
\left( \exists x\in X:Q\left( x\right) \right) \\
&&\left( b\right) \ \exists x\in X:\left( P\left( x\right) \wedge Q\left(
x\right) \right)
\end{eqnarray*}について考えます。\(X=\left\{ x_{1},x_{2}\right\} \)であるとともに、\(P\left( x_{1}\right) \)と\(Q\left( x_{2}\right) \)は真で\(P\left( x_{2}\right) \)と\(Q\left(
x_{1}\right) \)が偽であるような解釈のもとでは、\(\left( a\right) \)は真である一方で\(\left( b\right) \)は偽です。したがって、\begin{equation*}
\left( \exists x\in X:P\left( x\right) \right) \wedge \left( \exists x\in
X:Q\left( x\right) \right) \Rightarrow \exists x\in X:\left( P\left(
x\right) \wedge Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立たないことが明らかになりました。

次回は量化記号と論理和の関係について解説します。

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