全称命題の否定は否定の存在命題と同値であり、存在命題の否定は否定の全称命題と同値です。

量化 否定

2019年2月27日:公開

量化記号と否定

量化記号\(\forall ,\exists \)と否定\(\lnot \)の間には以下の関係が成り立ちます。

命題(量化記号の否定)
任意の論理式\(A\)と変数\(x\in X\)に対して以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lnot \left( \forall x\in X\ A\right) \ \Leftrightarrow \ \exists x\in X\ \lnot A \\
&&\left( b\right) \ \lnot \left( \exists x\in X\ A\right) \ \Leftrightarrow \ \forall x\in X\ \lnot A
\end{eqnarray*}
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\(\left( a\right) \)は、全称命題の否定は否定の存在命題と同値であること、\(\left( b\right) \)は、存在命題の否定は否定の全称命題と同値であることをそれぞれ表しています。

 

1変数の命題関数に関する特殊ケース

上の命題において論理式\(A\)を命題関数\(P\left( x\right)\)として特定することで、以下のような特殊ケースを得ます。

系(量化記号の否定)
任意の命題関数\(P\left( x\right) \)に対して以下が成り立つ。
\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lnot \left( \forall x\in X\ P\left( x\right) \right) \ \Leftrightarrow \ \exists x\in X\ \lnot P\left( x\right) \\
&&\left( b\right) \ \lnot \left( \exists x\in X\ P\left( x\right) \right) \ \Leftrightarrow \ \forall x\in X\ \lnot P\left( x\right)
\end{eqnarray*}
例(量化記号の否定)
「\(x^{2}=1\)を満たす実数\(x\)は存在しない」という命題について考えます。実数を値として取り得る変数\(x\)に関する命題関数\begin{equation*}
P\left( x\right) :x^{2}=1\text{を満たす}
\end{equation*}を導入すると、当初の命題は\begin{equation*}
\lnot \left( \exists x\in \mathbb{R}\ P\left( x\right) \right) :x^{2}=1\text{を満たす実数}x\text{は存在しない}
\end{equation*}と表現できます。先の命題より、これは、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R}\ \lnot P\left( x\right) :\text{すべての実数}x\text{は}x^{2}=1\text{を満たさない}
\end{equation*}と言い換え可能です。
例(量化記号の否定)
「任意の実数\(x\)について\(x^{2}\geq x\)が成り立つ」という命題の否定を考えます。当初の命題は以下の全称命題\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R}:x^{2}\geq x
\end{equation*}として定式化されます。この全称命題の否定は、\begin{equation*}
\lnot \left( \forall x\in \mathbb{R}:x^{2}\geq x\right)
\end{equation*}ですが、先の命題より、これは\begin{equation*}
\exists x\in \mathbb{R}:\lnot \left( x^{2}\geq x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists x\in \mathbb{R}:x^{2}<x
\end{equation*}と言い換え可能です。つまり、当初の命題の否定は「\(x^{2}<x\)を満たす実数\(x\)が存在する」となります。
例(量化記号の否定)
「\(x>2\)を満たす実数\(x\)は\(x^{2}\geq 4\)を満たす」という命題の否定を考えます。当初の命題は以下の全称命題\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R}:\left( x>2\ \rightarrow \ x^{2}\geq 4\right)
\end{equation*}として定式化されます。この全称命題の否定は、\begin{equation*}
\lnot \left( \forall x\in \mathbb{R}:\left( x>2\ \rightarrow \ x^{2}\geq 4\right) \right)
\end{equation*}ですが、先の命題より、これは\begin{equation*}
\exists x\in \mathbb{R}:\lnot \left( x>2\ \rightarrow \ x^{2}\geq 4\right)
\end{equation*}と言い換え可能です。さらに、\begin{eqnarray*}
\lnot \left( x>2\ \rightarrow \ x^{2}\geq 4\right) &\Leftrightarrow &\lnot
\left( \lnot \left( x>2\right) \vee x^{2}\geq 4\right) \quad \because
\rightarrow \text{の言い換え} \\
&\Leftrightarrow &x>2\wedge \lnot \left( x^{2}\geq 4\right) \quad \because
\text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &x>2\wedge x^{2}<4 \end{eqnarray*}という関係が成り立つため、上の存在命題はさらに、\begin{equation*} \exists x\in \mathbb{R}:\left( x>2\wedge x^{2}<4\right) \end{equation*}と言い換え可能です。つまり、当初の命題の否定は「\(x>2\)と\(x^{2}<4\)をともに満たす実数\(x\)が存在する」となります。

 

2変数の命題関数に関する特殊ケース

先の命題において論理式\(A\)を命題関数\(P\left( x,y\right) \)として特定することで、以下の特殊ケースを得ます。

系(量化記号の否定)
任意の命題関数\(P\left( x,y\right) \)に対して以下が成り立つ。
\begin{eqnarray*}
&&\left( c\right) \ \lnot \left( \forall x\in X\ P\left( x,y\right) \right) \ \Leftrightarrow \ \exists x\in X\ \lnot P\left( x,y\right) \\
&&\left( d\right) \ \lnot \left( \exists x\in X\ P\left( x,y\right) \right) \ \Leftrightarrow \ \forall x\in X\ \lnot P\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}
例(量化記号の否定)
「\(A\)さんは、\(B\)さんを好きではない人全員が好きだ」という命題の否定を考えます。すべての人間からなる集まり\(U\)を定義域とする変数\(x,y\)に関する命題関数\begin{equation*}
P\left( x,y\right) :x\text{は}y\text{を好きである}
\end{equation*}を用いると、もとの命題は、\begin{equation*}
\forall x\in U\ \left( \lnot P\left( x,B\right) \ \rightarrow \ P\left( A,x\right) \right)
\end{equation*}と定式化可能です。この全称命題の否定は、\begin{equation*}
\lnot \left( \forall x\in U\ \left( \lnot P\left( x,B\right) \ \rightarrow \ P\left( A,x\right) \right) \right)
\end{equation*}ですが、先の命題より、これは、\begin{equation*}
\exists x\in U\ \lnot \left( \lnot P\left( x,B\right) \ \rightarrow \ P\left( A,x\right) \right)
\end{equation*}と言い換え可能です。さらに、\begin{eqnarray*}
\lnot \left( \lnot P\left( x,B\right) \ \rightarrow \ P\left( A,x\right) \right) &\Leftrightarrow &\lnot \left( \lnot \lnot P\left( x,B\right) \vee P\left( A,x\right) \right) \quad \because \rightarrow \text{の言い換え} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \left( P\left( x,B\right) \vee P\left( A,x\right) \right) \quad \because \text{二重否定} \\
&\Leftrightarrow &\lnot P\left( x,B\right) \wedge \lnot P\left( A,x\right) \quad \because \text{ド・モルガンの法則}
\end{eqnarray*}という関係が成り立つため、上の存在命題はさらに、\begin{equation*}
\exists x\in U\ \left( \lnot P\left( x,B\right) \wedge \lnot P\left( A,x\right) \right)
\end{equation*}と言い換え可能です。つまり、当初の命題の否定は「\(A\)さんが好きではない人の中には\(B\)さんを好きではない人が存在する」となります。

次回は量化と論理積の関係について学びます。

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