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PREDICATE LOGIC

量化記号と否定

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量化記号と否定

論理式\(A\)と変数\(x\in X\)がそれぞれ任意に与えられたとき、\begin{eqnarray*}
\lnot \left( \forall x\in X:A\right) &\Leftrightarrow &\lnot \left(
\bigwedge\limits_{x\in X}A\right) \quad \because \forall \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\bigvee\limits_{x\in X}\lnot A\quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &\exists x\in X:\lnot A\quad \because \exists \text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left( a\right) \ \lnot \left( \forall x\in X:A\right) \Leftrightarrow
\exists x\in X:\lnot A
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、全称命題の否定は否定の存在命題と論理的に同値です。同様にして、\begin{equation*}
\left( b\right) \ \lnot \left( \exists x\in X:A\right) \Leftrightarrow
\forall x\in X:\lnot A
\end{equation*}が成り立つことも示されます。つまり、存在命題の否定は否定の全称命題と論理的に同値です。

命題(量化記号と否定)
任意の論理式\(A\)と変数\(x\in X\)に対して以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lnot \left( \forall x\in X:A\right) \Leftrightarrow
\exists x\in X:\lnot A \\
&&\left( b\right) \ \lnot \left( \exists x\in X:A\right) \Leftrightarrow
\forall x\in X:\lnot A
\end{eqnarray*}
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例(量化記号と否定)
変数\(x\in X\)に関する命題関数\(P\left( x\right) \)に対して、先の命題より、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lnot \left( \forall x\in X:P\left( x\right) \right)
\Leftrightarrow \exists x\in X:\lnot P\left( x\right) \\
&&\left( b\right) \ \lnot \left( \exists x\in X:P\left( x\right) \right)
\Leftrightarrow \forall x\in X:\lnot P\left( x\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。
例(量化記号と否定)
変数\(x\in X\)に関する命題関数\(P\left( x\right) \)が与えられたとき、別の変数\(y\in Y\)を任意に選ぶと、先の命題より、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lnot \left( \forall y\in Y:P\left( x\right) \right)
\Leftrightarrow \exists y\in Y:\lnot P\left( x\right) \\
&&\left( b\right) \ \lnot \left( \exists y\in Y:P\left( x\right) \right)
\Leftrightarrow \forall y\in Y:\lnot P\left( x\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つはずです。実際、量化記号\(\forall ,\exists \)の定義より、\begin{eqnarray*}
\lnot \left( \forall y\in Y:P\left( x\right) \right) &\Leftrightarrow
&\lnot P\left( x\right) \quad \because \forall \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists y\in Y:\lnot P\left( x\right) \quad \because
\exists \text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため\(\left( a\right) \)が成り立ちます。\(\left( b\right) \)についても同様です。
例(量化記号と否定)
変数\(x\in X\)と\(y\in Y\)に関する命題関数\(P\left( x,y\right) \)に対して、先の命題より、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lnot \left( \forall x\in X:P\left( x,y\right) \right)
\Leftrightarrow \exists x\in X:\lnot P\left( x,y\right) \\
&&\left( b\right) \ \lnot \left( \exists x\in X:P\left( x,y\right) \right)
\Leftrightarrow \forall x\in X:\lnot P\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。
例(量化記号と否定)
変数\(x\in X\)と\(y\in Y\)に関する命題関数\(P\left( x,y\right) \)に関する以下の論理式\begin{equation*}
\forall x\in X,\ \exists y\in Y:P\left( x,y\right)
\end{equation*}について考えます。この論理式の否定は、\begin{eqnarray*}
\lnot \left( \forall x\in X,\ \exists y\in Y:P\left( x,y\right) \right)
&\Leftrightarrow &\exists x\in X\ \lnot \left( \exists y\in Y:P\left(
x,y\right) \right) \quad \because \text{量化記号と否定} \\
&\Leftrightarrow &\exists x\in X\ \forall y\in Y:\lnot P\left( x,y\right)
\quad \because \text{量化記号と否定}
\end{eqnarray*}と同値変形が可能です。
例(量化記号と否定)
「\(x^{2}=1\)を満たす実数\(x\)は存在しない」という主張について考えます。変数\(x\)の定義域はすべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)です。主張を定式化すると、\begin{equation*}
\lnot \left( \exists x\in \mathbb{R} :x^{2}=1\right)
\end{equation*}となりますが、量化記号の否定に関する先の命題より、この論理式は、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :x^{2}\not=1
\end{equation*}と論理的に同値です。したがって、もとの主張は「任意の実数\(x\)について\(x^{2}\not=1\)が成り立つ」と言い換え可能です。
例(量化記号と否定)
「任意の実数\(x\)について\(x^{2}\geq x\)が成り立つ」という主張の否定について考えます。変数\(x\)の定義域はすべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)です。主張を定式化すると、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :x^{2}\geq x
\end{equation*}となります。量化記号の否定に関する先の命題より、この論理式の否定は、\begin{equation*}
\exists x\in \mathbb{R} :x^{2}<x
\end{equation*}と論理的に同値です。したがって、もとの主張の否定は「\(x^{2}<x\)を満たす実数\(x\)が存在する」です。
例(量化記号と否定)
「実数\(x\)を任意に選んだとき、それに対して\(y^{3}=x\)を満たす実数\(y\)が存在する」という主張の否定について考えます。変数\(x,y\)の定義域はともにすべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)です。主張を定式化すると、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} ,\ \exists y\in \mathbb{R} :y^{3}=x
\end{equation*}となります。この論理式の否定は、\begin{eqnarray*}
\lnot \left( \forall x\in \mathbb{R} ,\ \exists y\in \mathbb{R} :y^{3}=x\right) &\Leftrightarrow &\exists x\in \mathbb{R} :\lnot \left( \exists y\in \mathbb{R} :y^{3}=x\right) \quad \because \text{量化記号と否定} \\
&\Leftrightarrow &\exists x\in \mathbb{R} ,\ \forall y\in \mathbb{R} :\lnot \left( y^{3}=x\right) \quad \because \text{量化記号と否定} \\
&=&\exists x\in \mathbb{R} ,\ \forall y\in \mathbb{R} :y^{3}\not=x
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\exists x\in \mathbb{R} ,\ \forall y\in \mathbb{R} :y^{3}\not=x
\end{equation*}と論理的に同値です。したがって、もとの主張の否定は「ある実数\(x\)が存在して、それと任意の実数\(y\)の間には\(y^{3}\not=x\)が成り立つ」となります。
例(量化記号と否定)
「任意の実数に対して、それよりも大きい自然数が存在する」という主張の否定について考えます。変数\(x\)の定義域はすべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)であり、変数\(n\)の定義域はすべての自然数からなる集合\(\mathbb{N} \)であるものとします。主張を定式化すると、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :x<n
\end{equation*}となります。ちなみにこれをアルキメデスの性質と呼びます。この論理式の否定は、\begin{eqnarray*}
\lnot \left( \forall x\in \mathbb{R} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :x<n\right) &\Leftrightarrow &\exists x\in \mathbb{R} :\lnot \left( \exists n\in \mathbb{N} :x<n\right) \quad \because \text{量化記号と否定} \\
&\Leftrightarrow &\exists x\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\lnot \left( x<n\right) \quad \because \text{量化記号と否定} \\
&\Leftrightarrow &\exists x\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :x\geq n
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\exists x\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :x\geq n
\end{equation*}となりますが、これは「ある実数は任意の自然数以上である」もしくは「任意の自然数以上であるような実数が存在する」という主張に相当します。

 

含意の全称の否定

論理式\(A,B\)と変数\(x\in X\)がそれぞれ任意に与えられたとき、解釈を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
\lnot \left( \forall x\in X:\left( A\rightarrow B\right) \right)
&\Leftrightarrow &\lnot \left( \bigwedge\limits_{x\in X}\left( A\rightarrow
B\right) \right) \quad \because \forall \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \left( \bigwedge\limits_{x\in X}\left( \lnot A\vee
B\right) \right) \quad \because \rightarrow \text{の言い換え} \\
&\Leftrightarrow &\bigvee\limits_{x\in X}\lnot \left( \lnot A\vee B\right)
\quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &\bigvee\limits_{x\in X}\left( A\wedge \lnot B\right)
\quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &\exists x\in X:\left( A\wedge \lnot B\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lnot \left( \forall x\in X:\left( A\rightarrow B\right) \right)
\Leftrightarrow \exists x\in X:\left( A\wedge \lnot B\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

命題(含意の全称の否定)
任意の論理式\(A,B\)と変数\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
\lnot \left( \forall x\in X:\left( A\rightarrow B\right) \right)
\Leftrightarrow \exists x\in X:\left( A\wedge \lnot B\right)
\end{equation*}が成り立つ。
証明を見る(プレミアム会員限定)
例(含意の全称の否定)
変数\(x\in X\)に関する命題関数\(P\left( x\right) \)と\(Q\left( x\right) \)に対して、先の命題より、\begin{equation*}
\lnot \left( \forall x\in X:\left( P\left( x\right) \rightarrow Q\left(
x\right) \right) \right) \Leftrightarrow \exists x\in X:\left( P\left(
x\right) \wedge \lnot Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、「任意の\(x\)について\(P\left( x\right) \)ならば\(Q\left( x\right) \)が成り立つ」という主張の否定は「\(P\left( x\right) \)が成り立つが\(Q\left( x\right) \)は成り立たないような\(x\)が存在する」です。
例(含意の全称の否定)
「\(x>2\)を満たす任意の実数\(x\)は\(x^{2}\geq 4\)を満たす」という主張の否定を考えます。変数\(x\)の定義域はすべての実数からなる集合\(\mathbb{R}\)です。主張を定式化すると、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :\left( x>2\rightarrow x^{2}\geq 4\right)
\end{equation*}として定式化されます。この論理式の否定は、\begin{eqnarray*}
\lnot \left( \forall x\in \mathbb{R} :\left( x>2\rightarrow x^{2}\geq 4\right) \right) &\Leftrightarrow &\exists
x\in \mathbb{R} :\lnot \left( x>2\rightarrow x^{2}\geq 4\right) \quad \because \text{量化記号と否定} \\
&\Leftrightarrow &\exists x\in \mathbb{R} :\lnot \left( \lnot \left( x>2\right) \vee x^{2}\geq 4\right) \quad \because
\rightarrow \text{の言い換え} \\
&\Leftrightarrow &\exists x\in \mathbb{R} :\lnot \lnot \left( x>2\right) \wedge \lnot \left( x^{2}\geq 4\right) \quad
\because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &\exists x\in \mathbb{R} :\left( x>2\wedge x^{2}<4\right) \quad \because \text{二重否定}
\end{eqnarray*}となります。したがって、もとの主張の否定は「\(x>2\)かつ\(x^{2}<4\)を満たす実数\(x\)が存在する」です。
例(含意の全称の否定)
「\(A\)さんは、\(B\)さんを好きではない人全員が好きだ」という主張の否定について考えます。変数\(x\)の定義域\(X\)と変数\(y\)の定義域\(Y\)はともにすべての人間からなる集合であるものとし、\(x,y\)を変数とする命題関数\begin{equation*}
P\left( x,y\right) :x\text{は}y\text{を好きである}
\end{equation*}を導入すると、もとの主張は、\begin{equation*}
\forall x\in X:\left( \lnot P\left( x,B\right) \rightarrow P\left(
A,x\right) \right)
\end{equation*}という論理式として定式化されます。この論理式の否定は、\begin{eqnarray*}
\lnot \left( \forall x\in X:\left( \lnot P\left( x,B\right) \rightarrow
P\left( A,x\right) \right) \right) &\Leftrightarrow &\exists x\in X:\lnot
\left( \lnot P\left( x,B\right) \rightarrow P\left( A,x\right) \right) \quad
\because \text{量化記号と否定} \\
&\Leftrightarrow &\exists x\in X:\lnot \left( \lnot \lnot P\left( x,B\right)
\vee P\left( A,x\right) \right) \quad \because \rightarrow \text{の言い換え} \\
&\Leftrightarrow &\exists x\in X:\lnot \left( P\left( x,B\right) \vee
P\left( A,x\right) \right) \quad \because \text{二重否定} \\
&\Leftrightarrow &\exists x\in X:\left( \lnot P\left( x,B\right) \wedge
\lnot P\left( A,x\right) \right) \quad \because \text{ド・モルガンの法則}
\end{eqnarray*}となります。したがって、もとの主張の否定は、「\(A\)さんが好きではない人の中に\(B\)さんを好きではない人が存在する」となります。
次回は量化と論理積の関係について学びます。 質問・コメント(プレミアム会員限定) 演習問題(プレミアム会員限定) 次へ進む
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