開論理式の解釈と真理集合
論理式\(A\)は変数\(x\)の自由な現れを持つ開論理式であるものとし、そのことを、\begin{equation*} A\left( x\right)
\end{equation*}で表記します。開論理式\(A\left( x\right) \)の真偽を特定するためには以下の3つの要素\begin{eqnarray*} &&\left( a\right) \ \text{議論領域} \\
&&\left( b\right) \ \text{論理式}A\text{を構成するすべての命題関数が表す条件} \\
&&\left( c\right) \ \text{変数}x\text{の自由な現れに代入する値}\overline{x}
\end{eqnarray*}を具体的に指定する必要があります。形式的には同一の開論理式でも、以上の3つの要素の中の少なくとも1つが変われば真偽は変わり得るということです。そこで、以上の3つの要素を開論理式\(A\left( x\right) \)の解釈（interpretation）と呼びます。
開論理式\(A\left( x\right) \)が与えられたとき、解釈を構成する3つの要素の中でも\(\left( a\right) \)と\(\left( b\right) \)を具体的に指定することにより得られる開論理式を、\begin{equation*} \overline{A}\left( x\right)
\end{equation*}で表記し、さらに\(\left( c\right) \)を具体的に指定することにより得られる命題を、\begin{equation*} \overline{A}\left( \overline{x}\right)
\end{equation*}で表記します。開論理式\(A\left( x\right) \)に解釈を与えれば真または偽を値としてとる命題\(\overline{A}\left( \overline{x}\right) \)が得られるということです。
P\left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}は変数\(x\)の自由な現れを持つ開論理式です。したがって、命題関数の真偽を特定するためには議論領域\(D\)を指定し（変数\(x\)の定義域\(X\)を特定し）、命題関数\(P\left( x\right) \)が表す条件を特定するとともに、変数\(x\)の自由な現れに代入する値を指定する必要があります。解釈の具体例を挙げると、変数\(x\)の定義域\(X\)が、\begin{equation*} X:\text{すべての自然数からなる集合}
\end{equation*}であり、命題関数\(P\left( x\right) \)が表す条件が、\begin{equation*} P\left( x\right) :x\text{は}2\text{で割り切れる}
\end{equation*}であり、なおかつ、変数\(x\)の自由な現れに代入する値が、\begin{equation*} x:4
\end{equation*}である場合、論理式\(\left( 1\right) \)から以下の命題\begin{equation*} 4\text{は}2\text{で割り切れる}
\end{equation*}が得られます。これは真です。議論領域\(D\)と命題関数\(P\left( x\right) \)が表す条件はそのままで、変数\(x\)の自由な現れに代入する値だけを、\begin{equation*} x:3
\end{equation*}に変更すると、この新たな解釈のもとでは、論理式\(\left( 1\right) \)から以下の命題\begin{equation*} 3\text{は}2\text{で割り切れる}
\end{equation*}が得られます。これは偽です。さらに別の解釈の例として、\begin{eqnarray*}
X &:&\text{すべての都道府県からなる集合} \\
P\left( x\right) &:&x\text{は関東地方にある} \\
x &:&\text{東京都}
\end{eqnarray*}を採用する場合、論理式\(\left( 1\right) \)から以下の命題\begin{equation*} \text{東京都は関東地方にある}
\end{equation*}が得られます。これは真です。議論領域\(D\)と関数\(P\left( x\right) \)はそのままで、変数\(x\)の自由な現れに代入する値だけを、\begin{equation*} x:\text{沖縄県}
\end{equation*}に変更すると、この新たな解釈のもとでは、論理式\(\left( 1\right) \)から以下の命題\begin{equation*} \text{沖縄県は関東地方にある}
\end{equation*}が得られます。これは偽です。
\end{equation}は変数\(x\)の自由な現れを持つ開論理式です。したがって、この開論理式の真偽を特定するためには議論領域\(D\)を指定し（変数\(x \)の定義域\(X\)を特定し）、命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)が表す条件を特定するとともに、変数\(x\)の自由な現れに代入する値を指定する必要があります。解釈の具体例を挙げると、変数\(x\)の定義域は、\begin{equation*} X:\text{すべての整数からなる集合}
\end{equation*}であり、命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)が表す条件が、\begin{eqnarray*} P\left( x\right) &:&x^{2}>0 \\
Q\left( x\right) &:&x>0
\end{eqnarray*}であり、なおかつ、変数\(x\)の自由な現れに以下の値\begin{equation*} x:1
\end{equation*}を代入する状況を想定します。以上の解釈のもとでは、論理式\(\left( 1\right) \)から以下の命題\begin{equation*} 1^{2}>0\rightarrow 1>0
\end{equation*}が得られます。議論領域\(D\)と関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)はそのままで、変数\(x\)の自由な現れに代入する値だけを、\begin{equation*} x:-1
\end{equation*}に変更すると、この新たな解釈のもとでは、論理式\(\left( 1\right) \)から以下の命題\begin{equation*} \left( -1\right) ^{2}>0\rightarrow -1>0
\end{equation*}が得られます。さらに別の解釈の例として、\begin{eqnarray*}
X &:&\text{すべての人間からなる集合} \\
P\left( x\right) &:&x\text{はアテナイ人である} \\
Q\left( x\right) &:&x\text{はアテナイ生まれである} \\
x &:&\text{ソクラテス}
\end{eqnarray*}を採用する場合、論理式\(\left( 1\right) \)から以下の命題\begin{equation*} \text{ソクラテスはアテナイ人}\rightarrow \text{ソクラテスはアテナイ生まれ}
\end{equation*}という命題が得られます。議論領域\(D\)と関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)はそのままで、変数\(x\)の自由な現れに代入する値だけを、\begin{equation*} x:\text{アリストテレス}
\end{equation*}に変更すると、この新たな解釈のもとでは、論理式\(\left( 1\right) \)から以下の命題\begin{equation*} \text{アリストテレスはアテナイ人}\rightarrow \text{アリストテレスはアテナイ生まれ}
\end{equation*}が得られます。
変数\(x\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x\right) \)が与えられたとき、議論領域\(D\)および論理式\(A\left( x\right) \)を構成するすべての命題関数が表す条件を具体的に指定すれば開論理式\(\overline{A}\left( x\right) \)が得られます。あとは変数\(x\)の自由な現れに代入する値\(\overline{x}\)を指定すれば命題\(\overline{A}\left( \overline{x}\right) \)が得られますが、\(\overline{A}\left( \overline{x}\right) \)が真になるような値\(\overline{x}\)からなる集合を開論理式\(\overline{A}\left( x\right) \)の真理集合（truth set）と呼び、これを、\begin{equation*} \phi \left( \overline{A}\right)
\end{equation*}で表記します。その上で、値\(\overline{x}\)が\(\phi \left( \overline{A}\right) \)に含まれること、すなわち開論理式\(\overline{A}\left( x\right) \)に値\(\overline{x}\)を代入することにより得られる命題\(\overline{A}\left( \overline{x}\right) \)が真であることを、\begin{equation*} \overline{x}\in \phi \left( \overline{A}\right)
\end{equation*}と表記します。逆に、値\(\overline{x}\)が\(\phi \left( \overline{A}\right) \)に含まれないこと、すなわち開論理式\(\overline{A}\left( x\right) \)に値\(\overline{x}\)を代入することにより得られる命題\(\overline{A}\left( \overline{x}\right) \)が偽であることを、\begin{equation*} \overline{x}\not\in \phi \left( \overline{A}\right)
\end{equation*}と表記します。
P\left( x\right)
\end{equation*}は変数\(x\)の自由な現れを持つ開論理式です。議論領域と命題関数が、\begin{eqnarray*} X &:&\text{すべての自然数からなる集合} \\
P\left( x\right) &:&x\text{は}2\text{で割り切れる}
\end{eqnarray*}である場合、真理集合は、\begin{equation*}
\phi \left( P\right) :\text{すべての正の偶数からなる集合}
\end{equation*}となります。すると、\begin{eqnarray*}
2 &\in &\phi \left( P\right) \\
3 &\not\in &\phi \left( P\right) \\
4 &\in &\phi \left( P\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。また、議論領域と命題関数が、\begin{eqnarray*}
X &:&\text{すべての都道府県からなる集合} \\
P\left( x\right) &:&x\text{は関東地方にある}
\end{eqnarray*}である場合、真理集合は、\begin{equation*}
\phi \left( P\right) :\text{関東地方にある都道府県からなる集合}
\end{equation*}となります。すると、\begin{eqnarray*}
\text{東京都} &\in &\phi \left( P\right) \\
\text{大阪府} &\not\in &\phi \left( P\right) \\
\text{千葉県} &\in &\phi \left( P\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
複数の変数を持つ開論理式の解釈と真理集合
複数の変数を持つ開論理式についても、1つの変数を持つ開論理式と同様に真理集合を考えることができます。
論理式\(A\)は変数\(x,y\)の自由な現れを持つ開論理式であるものとし、そのことを、\begin{equation*} A\left( x,y\right)
\end{equation*}で表記します。開論理式\(A\left( x,y\right) \)の真偽を特定するためには以下の3つの要素\begin{eqnarray*} &&\left( a\right) \ \text{議論領域} \\
&&\left( b\right) \ \text{論理式}A\text{を構成するすべての命題関数が表す条件} \\
&&\left( c\right) \ \text{変数}x,y\text{の自由な現れに代入する値}\overline{x},\overline{y}
\end{eqnarray*}を具体的に指定する必要があります。
以上が開論理式\(A\left( x,y\right) \)の解釈です。議論領域\(D\)および論理式\(A\left( x,y\right) \)を構成するすべての命題関数が表す条件を具体的に指定すれば開論理式\(\overline{A}\left( x,y\right) \)が得られます。あとは変数\(x,y\)の自由な現れに代入する値\(\overline{x},\overline{y}\)を指定すれば命題\(\overline{A}\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)が得られますが、\(\overline{A}\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)が真になるような値の組\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)からなる集合を開論理式\(\overline{A}\left( x,y\right) \)の真理集合\(\phi \left( \overline{A}\right) \)です。その上で、値の組\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)が\(\phi \left( \overline{A}\right) \)に含まれること、すなわち開論理式\(\overline{A}\left( x,y\right) \)に\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)を代入することにより得られる命題\(\overline{A}\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)が真であることを、\begin{equation*} \left( \overline{x},\overline{y}\right) \in \phi \left( \overline{A}\right)
\end{equation*}と表記します。逆に、値の組\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)が\(\phi \left( \overline{A}\right) \)に含まれないこと、すなわち開論理式\(\overline{A}\left( x,y\right) \)に\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)を代入することにより得られる命題\(\overline{A}\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)が偽であることを、\begin{equation*} \left( \overline{x},\overline{y}\right) \not\in \phi \left( \overline{A}\right)
\end{equation*}と表記します。
論理式\(A\)がより多くの変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)である場合にも同様に考えます。
P\left( x,y\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}は変数\(x,y\)の自由な現れを持つ開論理式です。したがって、命題関数の真偽を特定するためには議論領域\(D\)を指定し（変数\(x,y\)の定義域\(X,Y\)を特定し）、命題関数\(P\left( x,y\right) \)が表す条件を特定するとともに、変数\(x,y\)の自由な現れに代入する値を指定する必要があります。解釈の具体例を挙げると、変数\(x,y\)の定義域\(X,Y\)が、\begin{eqnarray*} X &:&\text{すべての整数からなる集合} \\
Y &:&\text{すべての整数からなる集合}
\end{eqnarray*}であり、命題関数\(P\left( x,y\right) \)が表す条件が、\begin{equation*} P\left( x,y\right) :x+y=5
\end{equation*}であり、なおかつ、変数\(x,y\)の自由な現れに代入する値が、\begin{eqnarray*} x &:&1 \\
y &:&4
\end{eqnarray*}である場合、論理式\(\left( 1\right) \)から以下の命題\begin{equation*} 1+4=5
\end{equation*}が得られます。これは真です。議論領域\(D\)と命題関数\(P\left( x,y\right) \)が表す条件はそのままで、変数\(x,y\)の自由な現れに代入する値だけを、\begin{eqnarray*} x &:&1 \\
y &:&3
\end{eqnarray*}に変更すると、この新たな解釈のもとでは、論理式\(\left( 1\right) \)から以下の命題\begin{equation*} 1+3=5
\end{equation*}が得られます。これは偽です。真理集合は、\begin{equation*}
\phi \left( P\right) :x+y=5\text{を満たす整数の組}\left( x,y\right) \text{からなる集合}
\end{equation*}となります。すると、\begin{eqnarray*}
\left( 1,4\right) &\in &\phi \left( P\right) \\
\left( 1,3\right) &\not\in &\phi \left( P\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
閉論理式の解釈
論理式\(A\)は変数の自由な現れを持たない閉論理式であるものとし、そのことを、\begin{equation*} A
\end{equation*}で表記します。閉論理式\(A\)の真偽を特定するためには以下の2つの要素\begin{eqnarray*} &&\left( a\right) \ \text{議論領域} \\
&&\left( b\right) \ \text{論理式}A\text{を構成するすべての命題関数が表す条件}
\end{eqnarray*}を具体的に指定する必要があります。形式的には同一の閉論理式でも、以上の2つの要素の中の少なくとも1つが変われば真偽は変わり得るということです。そこで、以上の2つの要素を閉論理式\(A\)の解釈（interpretation）と呼びます。
閉論理式\(A\)が与えられたとき、解釈\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)を具体的に指定することにより得られる命題を、\begin{equation*} \overline{A}
\end{equation*}で表記します。閉論理式\(A\)に解釈を与えれば真または偽を値としてとる命題\(\overline{A}\)が得られるということです。
\end{equation}について考えます。\(P\left( x\right) \)における変数\(x\)の現れは量化記号\(\forall \)によって束縛されているため、この論理式は閉論理式です。したがって、この論理式の真偽を特定するためには議論領域\(D\)を指定し（変数\(x\)の定義域\(X\)を特定し）、命題関数\(P\)が表す条件を特定する必要があります。以下の解釈\begin{eqnarray*} X &:&\text{すべての自然数からなる集合} \\
P\left( x\right) &:&x\text{は正の実数である}
\end{eqnarray*}のもとでは、論理式\(\left( 1\right) \)から以下の命題\begin{equation*} \forall x\in X:x\text{は正の実数である}
\end{equation*}が得られます。議論領域\(D\)はそのままで、命題関数だけを、\begin{equation*} P\left( x\right) :x\text{は}2\text{で割り切れる}
\end{equation*}に変更すると、この新たな解釈のもとでは、論理式\(\left( 1\right) \)から以下の命題\begin{equation*} \forall x\in X:x\text{は}2\text{で割り切れる}
\end{equation*}が得られます。
\quad \cdots (1)
\end{equation}について考えます。\(P\left( x\right) \)や\(Q\left( x\right) \)における変数\(x\)の現れはいずれも量化記号によって束縛されているため、この論理式は閉論理式です。したがって、この論理式の値を特定するためには議論領域\(D\)を指定し（変数\(x\)の定義域\(X\)を特定し）、関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)が表す条件を特定する必要があります。以下の解釈\begin{eqnarray*} X &:&\text{すべての整数からなる集合} \\
P\left( x\right) &:&x\text{は素数である}
\\
Q\left( x\right) &:&x\text{は偶数である}
\end{eqnarray*}のもとでは、論理式\(\left( 1\right) \)から以下の命題\begin{equation*} \forall x\in X:\left( x\text{が素数}\rightarrow x\text{は偶数}\right)
\end{equation*}が得られます。また、以下の解釈\begin{eqnarray*}
X &:&\text{すべての人間からなる集合} \\
P\left( x\right) &:&x\text{は日本人である} \\
Q\left( x\right) &:&x\text{の出生地は日本である}
\end{eqnarray*}のもとでは、論理式\(\left( 1\right) \)から以下の命題\begin{equation*} \forall x\in X:\left( x\text{が日本人}\rightarrow x\text{の出生地は日本}\right)
\end{equation*}が得られます。
述語論理における論理式の解釈
以上の議論を踏まえた上で、述語論理における論理式の解釈とは何であるかをまとめます。述語論理における論理式\(A\)の解釈とは、以下の3つの要素を具体的に特定することを意味します。
- 議論領域\(D\)を指定する。すなわち、論理式\(A\)に含まれるすべての変数の定義域を指定する。
- 論理式\(A\)に含まれるすべての命題関数が表す条件を指定する。
- 論理式\(A\)が開論理式である場合には、つまり\(A\)が変数の自由な現れを持つ場合には、そこに代入する値を定義域の中から指定する。
論理式\(A\)が命題定数などでない限り、論理式の真偽はそのままでは確定しません。論理式の真偽を確定するためには解釈を与える必要があります。形式的には同一の論理式でも、異なる解釈を与えればその論理式の値は変わり得るということです。
論理式の解釈という概念がどのようなものであるかが明らかになりました。続いて問題になるのは、論理式に対して何らかの解釈を与えたとき、その論理式の値をどのように定めるかという点です。論理式の値を特定する際のルールについては場を改めて解説します。
演習問題
P\left( x\right) &:&\left\vert x\right\vert =1
\end{eqnarray*}であるものとします。以下の開論理式\begin{equation*}
P\left( x\right)
\end{equation*}の真理集合を特定してください。
P\left( x\right) &:&x^{2}=2
\end{eqnarray*}であるものとします。以下の開論理式\begin{equation*}
P\left( x\right)
\end{equation*}の真理集合を特定してください。
P\left( x\right) &:&\left\vert x\right\vert =x
\end{eqnarray*}であるものとします。以下の開論理式\begin{equation*}
P\left( x\right)
\end{equation*}の真理集合を特定してください。
Y &:&\left\{ 0,1,2,3\right\} \\
P\left( x,y\right) &:&x+y=3
\end{eqnarray*}であるものとします。開論理式\begin{equation*}
P\left( x,y\right)
\end{equation*}の真理集合を特定してください。
Y &:&\left\{ 1,2,3,4\right\} \\
P\left( x,y\right) &:&x<y
\end{eqnarray*}であるものとします。開論理式\begin{equation*}
P\left( x,y\right)
\end{equation*}の真理集合を特定してください。
Y &:&\left\{ 1,2,3\right\} \\
P\left( x,y\right) &:&y\text{は}x\text{の約数である}
\end{eqnarray*}であるものとします。開論理式\begin{equation*}
P\left( x,y\right)
\end{equation*}の真理集合を特定してください。
Y &:&\left\{ 0,1,2\right\} \\
Z &:&\left\{ 0,1,2\right\} \\
P\left( x,y,z\right) &:&x+y=z
\end{eqnarray*}であるものとします。開論理式\begin{equation*}
P\left( x,y,z\right)
\end{equation*}の真理集合を特定してください。
