全称除去
論理式\(A\)が変数\(x\in X\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x\right) \)であるものとします。このとき、変数\(x\)に関する全称命題\begin{equation} \forall x\in X:A\left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられた解釈のもとで真であることとは、その解釈のもとで、\(X\)のすべての値\(x \)について\(A\left( x\right) \)が真であることを意味します。ただ、同じことをもう少し一般的な形で表現することもできます。具体的には、まず、変数\(x\)がとり得る個々の具体的な値\(\overline{x}\)とは異なる記号\(c\)を導入します。この記号\(c\)は定義域\(X\)に属する任意の対象を表す記号であり、変数\(x\)そのものや、変数\(x\)がとり得る個々の具体的な値\(\overline{x}\)とは区別されます。その上で、\(X\)のすべての値\(x \)について\(A\left( x\right) \)が真であることを、\begin{equation*} A\left( c\right)
\end{equation*}と表記します。以上を踏まえた上で、以下の推論規則\begin{equation*}
\forall x\in X:A\left( x\right) \ \models \ A\left( c\right)
\end{equation*}が成り立つものと定め、これを全称除去（universal elimination）や\(\forall \)除去（\(\forall \) elimination）、全称例化（universal instantiation）、普遍例化（universal instantiation）などと呼びます。
繰り返しになりますが、全称除去中の\(c\)は変数\(x\)がとり得る「任意の対象」を代表的な形で表す記号です。したがって、\(c\)が変数\(x\)がとり得る「何らかの値」を代表的な形で表す記号である場合においても、全称除去のもとでは、\begin{equation*} \forall x\in X:A\left( x\right) \ \models \ A\left( c\right)
\end{equation*}が明らかに成り立ちます。また、変数\(x\)がとり得る具体的な値\(\overline{x}\in X\)を任意に選んだ場合にも、全称除去のもとでは、\begin{equation*} \forall x\in X:A\left( x\right) \ \models \ A\left( \overline{x}\right)
\end{equation*}が明らかに成り立ちます。
例（全称除去）
命題関数\(P\left( x\right) ,Q\left( x\right) \)に関する論理式\begin{equation*} P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right)
\end{equation*}について考えます。変数\(x\)がとり得る「すべての値」を代表的な形で表す記号\(c\)について、全称除去より、\begin{equation*} \forall x\in X:\left( P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right) \
\models \ P\left( c\right) \wedge Q\left( c\right)
\end{equation*}が成り立ちます。変数\(x\)がとり得る「何らかの値」を代表的な形で表す記号\(c\)についても、全称除去より、\begin{equation*} \forall x\in X:\left( P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right) \
\models \ P\left( c\right) \wedge Q\left( c\right)
\end{equation*}が成り立ちます。具体的な値\(\overline{x}\in X\)に関しても、全称除去より、\begin{equation*} \forall x\in X:\left( P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right) \
\models \ P\left( \overline{x}\right) \wedge Q\left( \overline{x}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}について考えます。変数\(x\)がとり得る「すべての値」を代表的な形で表す記号\(c\)について、全称除去より、\begin{equation*} \forall x\in X:\left( P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right) \
\models \ P\left( c\right) \wedge Q\left( c\right)
\end{equation*}が成り立ちます。変数\(x\)がとり得る「何らかの値」を代表的な形で表す記号\(c\)についても、全称除去より、\begin{equation*} \forall x\in X:\left( P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right) \
\models \ P\left( c\right) \wedge Q\left( c\right)
\end{equation*}が成り立ちます。具体的な値\(\overline{x}\in X\)に関しても、全称除去より、\begin{equation*} \forall x\in X:\left( P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right) \
\models \ P\left( \overline{x}\right) \wedge Q\left( \overline{x}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
例（全称除去）
命題関数\(P\left( x,y\right) ,Q\left( x\right) \)に関する論理式\begin{equation*} P\left( x,y\right) \rightarrow Q\left( x\right)
\end{equation*}について考えます。変数\(y\)がとり得る「すべての値」を代表的な形で表す記号\(c\)について、全称除去より、\begin{equation*} \forall y\in Y:\left( P\left( x,y\right) \rightarrow Q\left( x\right)
\right) \ \models \ P\left( x,c\right) \rightarrow Q\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。変数\(y\)がとり得る「何らかの値」を代表的な形で表す記号\(c\)についても、全称除去より、\begin{equation*} \forall y\in Y:\left( P\left( x,y\right) \rightarrow Q\left( x\right)
\right) \ \models \ P\left( x,c\right) \rightarrow Q\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。具体的な値\(\overline{y}\in Y\)に関しても、全称除去より、\begin{equation*} \forall y\in Y:\left( P\left( x,y\right) \rightarrow Q\left( x\right)
\right) \ \models \ P\left( x,\overline{y}\right) \rightarrow Q\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}について考えます。変数\(y\)がとり得る「すべての値」を代表的な形で表す記号\(c\)について、全称除去より、\begin{equation*} \forall y\in Y:\left( P\left( x,y\right) \rightarrow Q\left( x\right)
\right) \ \models \ P\left( x,c\right) \rightarrow Q\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。変数\(y\)がとり得る「何らかの値」を代表的な形で表す記号\(c\)についても、全称除去より、\begin{equation*} \forall y\in Y:\left( P\left( x,y\right) \rightarrow Q\left( x\right)
\right) \ \models \ P\left( x,c\right) \rightarrow Q\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。具体的な値\(\overline{y}\in Y\)に関しても、全称除去より、\begin{equation*} \forall y\in Y:\left( P\left( x,y\right) \rightarrow Q\left( x\right)
\right) \ \models \ P\left( x,\overline{y}\right) \rightarrow Q\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
例（全称除去）
全称除去より、以下の推論規則\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :x^{2}\geq 0\ \models \ c^{2}\geq 0
\end{equation*}は妥当です。ただし、\(c\)は「すべての実数」を代表的な形で表す記号です。また、例えば、具体的な実数\(1\in \mathbb{R} \)についても、\begin{equation*} \forall x\in \mathbb{R} :x^{2}\geq 0\ \models \ 1^{2}\geq 0
\end{equation*}は妥当です。
\forall x\in \mathbb{R} :x^{2}\geq 0\ \models \ c^{2}\geq 0
\end{equation*}は妥当です。ただし、\(c\)は「すべての実数」を代表的な形で表す記号です。また、例えば、具体的な実数\(1\in \mathbb{R} \)についても、\begin{equation*} \forall x\in \mathbb{R} :x^{2}\geq 0\ \models \ 1^{2}\geq 0
\end{equation*}は妥当です。
例（全称除去）
以下の推論について考えます。\begin{eqnarray*}
&&\text{すべての人間はDNAを持っている。} \\
&&\text{太郎は人間である。} \\
&&\text{したがって、太郎はDNAを持っている。}
\end{eqnarray*}変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての人間からなる集合であるものとします。以下の命題関数\begin{eqnarray*} P\left( x\right) &:&x\text{は人間である}
\\
Q\left( x\right) &:&x\text{はDNAを持っている}
\end{eqnarray*}を定義すると、与えられた推論は、\begin{equation*}
\forall x\in X:\left( P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right) \right)
,\ P\left( \text{太郎}\right) \ \therefore \ Q\left( \text{太郎}\right)
\end{equation*}と定式化されます。「太郎」は変数\(x\)がとり得る具体的な値の1つであるため、前提の1つである、\begin{equation*} \forall x\in X:\left( P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}に対して全称除去を適用すると、\begin{equation}
P\left( \text{太郎}\right) \rightarrow Q\left( \text{太郎}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。もう一つの前提より、\begin{equation}
P\left( \text{太郎}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)および含意の定義より、\begin{equation*} Q\left( \text{太郎}\right)
\end{equation*}が得られるため、与えられた推論が妥当であることが示されました。
&&\text{すべての人間はDNAを持っている。} \\
&&\text{太郎は人間である。} \\
&&\text{したがって、太郎はDNAを持っている。}
\end{eqnarray*}変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての人間からなる集合であるものとします。以下の命題関数\begin{eqnarray*} P\left( x\right) &:&x\text{は人間である}
\\
Q\left( x\right) &:&x\text{はDNAを持っている}
\end{eqnarray*}を定義すると、与えられた推論は、\begin{equation*}
\forall x\in X:\left( P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right) \right)
,\ P\left( \text{太郎}\right) \ \therefore \ Q\left( \text{太郎}\right)
\end{equation*}と定式化されます。「太郎」は変数\(x\)がとり得る具体的な値の1つであるため、前提の1つである、\begin{equation*} \forall x\in X:\left( P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}に対して全称除去を適用すると、\begin{equation}
P\left( \text{太郎}\right) \rightarrow Q\left( \text{太郎}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。もう一つの前提より、\begin{equation}
P\left( \text{太郎}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)および含意の定義より、\begin{equation*} Q\left( \text{太郎}\right)
\end{equation*}が得られるため、与えられた推論が妥当であることが示されました。
量化が入れ子になっている場合の全称除去
複数の全称記号が重なっている場合には、外側から順に全称除去を適用することにより、それぞれの量化変数に具体的な対象を代入できます。
例（全称除去）
以下の論理式\begin{equation*}
\forall x\in X,\ \forall y\in Y:P\left( x,y\right)
\end{equation*}が真であるものとします。\(c\in X\)を任意に選び、外側の全称記号に対して全称除去を適用すると、\begin{equation*} \forall y\in Y:P\left( c,y\right)
\end{equation*}を得ます。\(d\in Y\)を任意に選び、さらに全称除去を適用すると、\begin{equation*} P\left( c,d\right)
\end{equation*}を得ます。
\forall x\in X,\ \forall y\in Y:P\left( x,y\right)
\end{equation*}が真であるものとします。\(c\in X\)を任意に選び、外側の全称記号に対して全称除去を適用すると、\begin{equation*} \forall y\in Y:P\left( c,y\right)
\end{equation*}を得ます。\(d\in Y\)を任意に選び、さらに全称除去を適用すると、\begin{equation*} P\left( c,d\right)
\end{equation*}を得ます。
一般に、全称量化が複数重なっている場合には、外側から順に全称除去を適用することにより、それぞれの量化変数に具体的な対象を代入できます。
自由変数を含む論理式への全称除去
全称除去とは、全称記号によって量化されている変数に対してのみ対象を代入する操作であり、それ以外の自由変数の状態を変更するものではありません。
例（全称除去）
以下の論理式\begin{equation*}
\forall x\in X:P\left( x,y\right)
\end{equation*}が真であるものとします。この論理式では、\(x\)は全称記号によって束縛されていますが、\(y\)は自由変数です。\(c\in X\)を任意に選んで\(x\)について全称除去を適用すると、\begin{equation*} P\left( c,y\right)
\end{equation*}を得ます。この操作では、全称量化されていた変数\(x\)だけが\(c\)に置き換えられます。自由変数\(y\)には何も変更を加えません。
\forall x\in X:P\left( x,y\right)
\end{equation*}が真であるものとします。この論理式では、\(x\)は全称記号によって束縛されていますが、\(y\)は自由変数です。\(c\in X\)を任意に選んで\(x\)について全称除去を適用すると、\begin{equation*} P\left( c,y\right)
\end{equation*}を得ます。この操作では、全称量化されていた変数\(x\)だけが\(c\)に置き換えられます。自由変数\(y\)には何も変更を加えません。
例（全称除去）
以下の論理式\begin{equation*}
\forall x\in X:\left( P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x,y\right)
\right)
\end{equation*}が真であるものとします。この論理式では、\(x\)は全称記号によって束縛されていますが、\(y\)は自由変数です。\(c\in X\)を任意に選んで\(x\)について全称除去を適用すると、\begin{equation*} P\left( c,y\right)
\end{equation*}を得ます。この操作では、全称量化されていた変数\(x\)だけが\(c\)に置き換えられます。自由変数\(y\)には何も変更を加えません。
\forall x\in X:\left( P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x,y\right)
\right)
\end{equation*}が真であるものとします。この論理式では、\(x\)は全称記号によって束縛されていますが、\(y\)は自由変数です。\(c\in X\)を任意に選んで\(x\)について全称除去を適用すると、\begin{equation*} P\left( c,y\right)
\end{equation*}を得ます。この操作では、全称量化されていた変数\(x\)だけが\(c\)に置き換えられます。自由変数\(y\)には何も変更を加えません。
定義域に属さない対象には全称除去できない
全称除去を適用する際には、代入する対象が量化変数の定義域に属している必要があります。
例（全称除去）
以下の論理式\begin{equation*}
\forall x\in X:P\left( x\right)
\end{equation*}が真であるものとします。この論理式が主張しているのは、あくまで\(X\)に属する任意の対象について\(P\left( x\right) \)が成り立つということだからです。\(X\)に属さない対象については何も主張していません。したがって、この論理式に対して全称除去を適用して、\begin{equation*} P\left( c\right)
\end{equation*}を導くためには、\begin{equation*}
c\in X
\end{equation*}である必要があります。
\forall x\in X:P\left( x\right)
\end{equation*}が真であるものとします。この論理式が主張しているのは、あくまで\(X\)に属する任意の対象について\(P\left( x\right) \)が成り立つということだからです。\(X\)に属さない対象については何も主張していません。したがって、この論理式に対して全称除去を適用して、\begin{equation*} P\left( c\right)
\end{equation*}を導くためには、\begin{equation*}
c\in X
\end{equation*}である必要があります。
例（全称除去）
以下の論理式\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{Z} :P\left( x\right)
\end{equation*}が真であるものとします。ただし、\(\mathbb{Z} \)はすべての整数からなる集合です。したがって、\(3\in \mathbb{Z} \)に対して全称除去を適用して、\begin{equation*} P\left( 3\right)
\end{equation*}を導ける一方で、\(\frac{1}{2}\notin \mathbb{Z} \)に対しては全称除去を適用できず、したがって、\begin{equation*} P\left( \frac{1}{2}\right)
\end{equation*}を全称除去から導くことはできません。
\forall x\in \mathbb{Z} :P\left( x\right)
\end{equation*}が真であるものとします。ただし、\(\mathbb{Z} \)はすべての整数からなる集合です。したがって、\(3\in \mathbb{Z} \)に対して全称除去を適用して、\begin{equation*} P\left( 3\right)
\end{equation*}を導ける一方で、\(\frac{1}{2}\notin \mathbb{Z} \)に対しては全称除去を適用できず、したがって、\begin{equation*} P\left( \frac{1}{2}\right)
\end{equation*}を全称除去から導くことはできません。
演習問題
問題（全称除去）
以下の論理式\begin{equation*}
\forall y\in Y:\left( P\left( x,y\right) \vee Q\left( y\right) \right)
\end{equation*}に対して全称除去を適用してください。
\forall y\in Y:\left( P\left( x,y\right) \vee Q\left( y\right) \right)
\end{equation*}に対して全称除去を適用してください。
問題（全称除去）
以下の推論が妥当であることを証明してください。\begin{eqnarray*}
&&\text{いかなる人間も空を飛ぶことはできない。} \\
&&\text{太郎は人間である。} \\
&&\text{したがって、太郎は空を飛ぶことはできない。}
\end{eqnarray*}
&&\text{いかなる人間も空を飛ぶことはできない。} \\
&&\text{太郎は人間である。} \\
&&\text{したがって、太郎は空を飛ぶことはできない。}
\end{eqnarray*}
問題（全称除去）
以下の推論が妥当であることを証明してください。\begin{eqnarray*}
&&\text{すべての偶数は整数である。} \\
&&12\text{は偶数である。} \\
&&\text{したがって、}12\text{は整数である。}
\end{eqnarray*}
&&\text{すべての偶数は整数である。} \\
&&12\text{は偶数である。} \\
&&\text{したがって、}12\text{は整数である。}
\end{eqnarray*}
問題（全称除去）
以下の論理式
\begin{equation*}
\forall x\in X:\left( P\left( x\right) \rightarrow R\left( x,y\right) \right)
\end{equation*}に対して、\(x\)について全称除去を適用してください。
\begin{equation*}
\forall x\in X:\left( P\left( x\right) \rightarrow R\left( x,y\right) \right)
\end{equation*}に対して、\(x\)について全称除去を適用してください。
問題（全称除去）
以下の論理式
\begin{equation*}
\forall x\in X:\forall y\in Y:P\left( x,y\right)
\end{equation*}に全称除去を順に適用し、任意の\(c\in X\)および\(d\in Y\)について\(P\left( c,d\right) \)を導いてください。
\begin{equation*}
\forall x\in X:\forall y\in Y:P\left( x,y\right)
\end{equation*}に全称除去を順に適用し、任意の\(c\in X\)および\(d\in Y\)について\(P\left( c,d\right) \)を導いてください。
問題（全称除去）
以下の推論が妥当であることを示してください。
\begin{eqnarray*}
&&\text{すべての正方形は長方形である。} \\
&&\text{図形}A\text{は正方形である。} \\
&&\text{したがって、図形}A\text{は長方形である。}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
&&\text{すべての正方形は長方形である。} \\
&&\text{図形}A\text{は正方形である。} \\
&&\text{したがって、図形}A\text{は長方形である。}
\end{eqnarray*}
問題（全称除去）
以下の論理式
\begin{equation*}
\forall x\in X:\left( P\left( x\right) \vee Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}が真であるものとします。\(\overline{x}\in X\)を任意に選んだとき、以下の論理式が導かれることを示してください。 \begin{equation*}
P\left( \overline{x}\right) \vee Q\left( \overline{x}\right)
\end{equation*}
\begin{equation*}
\forall x\in X:\left( P\left( x\right) \vee Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}が真であるものとします。\(\overline{x}\in X\)を任意に選んだとき、以下の論理式が導かれることを示してください。 \begin{equation*}
P\left( \overline{x}\right) \vee Q\left( \overline{x}\right)
\end{equation*}
問題（全称除去）
以下の推論が妥当であるか判定してください。
\begin{equation*}
\forall x\in X:P\left( x\right) \ \therefore\ P\left( a\right)
\end{equation*}ただし、\(a\)が\(X\)に属することは仮定されていないものとします。
\begin{equation*}
\forall x\in X:P\left( x\right) \ \therefore\ P\left( a\right)
\end{equation*}ただし、\(a\)が\(X\)に属することは仮定されていないものとします。
問題（全称除去）
以下の推論が妥当であることを示してください。
\begin{eqnarray*}
&&\text{すべての整数について、その2乗は0以上である。} \\
&&-3\text{は整数である。} \\
&&\text{したがって、}\left( -3\right)
^{2}\geq 0\text{である。}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
&&\text{すべての整数について、その2乗は0以上である。} \\
&&-3\text{は整数である。} \\
&&\text{したがって、}\left( -3\right)
^{2}\geq 0\text{である。}
\end{eqnarray*}
