1変数の命題関数の解釈
論理式の定義より、1つの変数を持つ任意の命題関数\begin{equation*}
P\left( x\right)
\end{equation*}は論理式です。
命題関数\(P\left( x\right) \)は変数\(x \)の自由な現れを持つ開論理式であるため、その真理値を特定するためには以下の3つの要素\begin{eqnarray*} &&\left( a\right) \ \text{議論領域（変数}x\text{の定義域}X\text{）} \\
&&\left( b\right) \ \text{命題関数}P\left( x\right)
\text{が表す条件} \\
&&\left( c\right) \ \text{変数}x\text{の自由な現れに代入する値}\overline{x}
\end{eqnarray*}を具体的に指定する必要があります。上の3つの要素の中の少なくとも1つが変われば命題関数\(P\left( x\right) \)から得られる命題の真偽は変わり得るということです。つまり、以上の3つの要素が命題関数\(P\left( x\right) \)の解釈です。
\end{equation*}と定めます。変数\(x\)の自由な現れに値\(1\)を代入すると、以下の命題\begin{equation*} 1^{2}=1
\end{equation*}が得られます。これは真です。一方、値\(2\)を代入すると、以下の命題\begin{equation*} 2^{2}=1
\end{equation*}が得られます。これは偽です。
\end{equation*}と定めます。変数\(x\)の自由な現れに値「東京都」を代入すると以下の命題\begin{equation*} \text{東京都の人口は}800\text{万人以上}
\end{equation*}が得られます。これは真です。一方、値「沖縄県」を代入すると以下の命題\begin{equation*}
\text{沖縄県の人口は}800\text{万人以上}
\end{equation*}が得られます。これは偽です。
命題関数\(P\left( x\right) \)が与えられたとき、議論領域（変数\(x\)の定義域\(X\)）と関数が表す条件\(\overline{P}\left( x\right) \)を具体的に指定すれば、変数\(x\)の自由な現れを持つ開論理式\begin{equation*} \overline{P}\left( x\right) \quad \left( x\in X\right)
\end{equation*}が得られます。あとは変数\(x\)の自由な現れに代入する値\(\overline{x}\)を指定すれば命題\begin{equation*} \overline{P}\left( \overline{x}\right)
\end{equation*}が得られます。命題\(\overline{P}\left( \overline{x}\right) \)が真になるような値\(\overline{x}\)からなる集合が開論理式\(\overline{P}\left( x\right) \)の真理集合であり、これを、\begin{equation*} \phi \left( \overline{P}\right)
\end{equation*}で表記します。つまり、任意の値\(\overline{x}\in X\)に対して、以下の関係\begin{equation*} \overline{x}\in \phi \left( \overline{P}\right) \Leftrightarrow \text{命題}\overline{P}\left( \overline{x}\right) \text{が真}
\end{equation*}を満たすものとして開論理式\(\overline{P}\left( x\right) \)の真理集合\(\phi \left( \overline{P}\right) \)は定義されます。
\end{equation*}と定めます。\(x^{2}=1\)を満たす自然数\(x\)は\(1\)だけであるため、\(\overline{P}\left( x\right) \)の真理集合は、\begin{equation*} \phi \left( \overline{P}\right) =\left\{ 1\right\}
\end{equation*}です。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
1 &\in &\phi \left( \overline{P}\right) \\
2 &\not\in &\phi \left( \overline{P}\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\end{equation*}と定めます。\(800\)万人以上の都道府県は「東京、神奈川、大阪」だけであるため、\(\overline{P}\left( x\right) \)の真理集合は、\begin{equation*} \phi \left( \overline{P}\right) =\left\{ \text{東京都},\text{神奈川県},\text{大阪府}\right\}
\end{equation*}です。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\text{東京都} &\in &\phi \left( \overline{P}\right) \\
\text{沖縄県} &\not\in &\phi \left( \overline{P}\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
多変数の命題関数の解釈
論理式の定義より、2つの変数を持つ任意の命題関数\begin{equation*}
P\left( x,y\right)
\end{equation*}は論理式です。
命題関数\(P\left( x,y\right) \)は変数\(x,y\)の自由な現れを持つ開論理式であるため、その真理値を特定するためには以下の3つの要素\begin{eqnarray*} &&\left( a\right) \ \text{議論領域（変数}x,y\text{の定義域}X,Y\text{）} \\
&&\left( b\right) \ \text{命題関数}P\left(
x,y\right) \text{が表す条件} \\
&&\left( c\right) \ \text{変数}x,y\text{の自由な現れに代入する値}\overline{x},\overline{y}
\end{eqnarray*}を具体的に指定する必要があります。上の3つの要素の中の少なくとも1つが変われば命題関数\(P\left( x,y\right) \)から得られる命題の真偽は変わり得るということです。つまり、以上の3つの要素が命題関数\(P\left( x,y\right) \)の解釈です。
\end{equation*}と定めます。変数\(x,y\)の自由な現れに値\(1,2\)をそれぞれ代入すると以下の命題\begin{equation*} 1+2\leq 3
\end{equation*}が得られます。これは真です。また、変数\(x,y\)の自由な現れに値\(2,1\)をそれぞれ代入すると以下の命題\begin{equation*} 2+1\leq 3
\end{equation*}が得られます。これも真です。一方、変数\(x,y\)の自由な現れに値\(2,2\)をそれぞれ代入すると以下の命題\begin{equation*} 2+2\leq 3
\end{equation*}が得られますが、これは偽です。
有限\(n\)個の変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)を持つ命題関数\(P\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)についても同様に考えます。
\end{equation*}と定めます。変数\(x,y,z\)の自由な現れに値\(1,2,3\)をそれぞれ代入すると以下の命題\begin{equation*} 1+2+3=6
\end{equation*}が得られますが、これは真です。また、変数\(x,y,z\)の自由な現れに値\(1,1,1\)をそれぞれ代入すると以下の命題\begin{equation*} 1+1+1=6
\end{equation*}が得られますが、これは偽です。
命題関数\(P\left( x,y\right) \)が与えられたとき、議論領域（変数\(x,y\)の定義域\(X,Y\)）と命題関数が表す条件\(\overline{P}\left( x,y\right) \)を具体的に指定すれば、開論理式\begin{equation*} \overline{P}\left( x,y\right) \quad \left( \left( x,y\right) \in X\times
Y\right)
\end{equation*}が得られます。あとは変数\(x,y\)の自由な現れに代入する値\(\overline{x},\overline{y}\)をそれぞれ指定すれば命題\begin{equation*} \overline{P}\left( \overline{x},\overline{y}\right)
\end{equation*}が得られます。命題\(\overline{P}\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)が真になるような値の組\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \)からなる集合が開論理式\(\overline{P}\left( x,y\right) \)の真理集合であり、これを、\begin{equation*} \phi \left( \overline{P}\right)
\end{equation*}で表記します。つまり、任意の値の組\(\left( \overline{x},\overline{y}\right) \in X\times Y\)に対して、以下の関係\begin{equation*} \left( \overline{x},\overline{y}\right) \in \phi \left( \overline{P}\right)
\Leftrightarrow \text{命題}\overline{P}\left( \overline{x},\overline{y}\right) \text{が真}
\end{equation*}を満たすものとして開論理式\(\overline{P}\left( x,y\right) \)の真理集合\(\phi \left( \overline{P}\right) \)は定義されます。
\end{equation*}と定めます。\(x+y\leq 3\)を満たす自然数の組\(\left( x,y\right) \)は\(\left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 2,1\right) \)の3つであるため、\(\overline{P}\left( x,y\right) \)の真理集合は、\begin{equation*} \phi \left( \overline{P}\right) =\left\{ \left( 1,1\right) ,\left(
1,2\right) ,\left( 2,1\right) \right\}
\end{equation*}です。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\left( 1,1\right) &\in &\phi \left( \overline{P}\right) \\
\left( 2,2\right) &\not\in &\phi \left( \overline{P}\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
有限\(n\)個の変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)を持つ命題関数\(P\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)についても同様に考えます。
\end{equation*}と定義します。\(x+y+z=1\)を満たす自然数の組\(\left( x,y,z\right) \)は存在しないため、\(\overline{P}\left( x,y,z\right) \)の真理集合は、\begin{equation*} \phi \left( \overline{P}\right) =\phi
\end{equation*}です。ただし、\(\phi \)は要素を1つも含まない集合（空集合と呼ぶ）を表す記号です。
演習問題
\end{equation*}と定めます。\(x\)の定義域\(X\)がすべての自然数からなる集合である場合の\(\overline{P}\left( x\right) \)の真理集合と、\(X\)がすべての整数からなる集合である場合の\(\overline{P}\left( x\right) \)の真理集合をそれぞれ求めてください。
\end{equation*}であり、これはある組織のメンバーからなる集合であるものとします。変数\(y\)の定義域は、\begin{equation*} Y=\left\{ y_{1},y_{2},y_{3}\right\}
\end{equation*}であり、これは別の組織のメンバーからなる集合であるものとします。命題関数\(P\left( x,y\right) \)を、\begin{equation*} x\text{と}y\text{は知り合いである}
\end{equation*}と定めます。\(x_{1}\)は\(y_{1}\)と知り合いであり、\(x_{3}\)は\(y_{1}\)および\(y_{3}\)と知り合いです。\(\overline{P}\left( x,y\right) \)の真理集合を求めてください。
\overline{Q}\left( x\right) &:&x^{2}=2 \\
\overline{R}\left( x\right) &:&\left\vert x\right\vert =x
\end{eqnarray*}と定めた場合、それぞれの真理集合をそれぞれ求めてください。
\end{equation*}であるものとします。命題関数\(P\left( x,y\right) \)を、\begin{equation*} \overline{P}\left( x,y\right) :x<y
\end{equation*}と定めた場合、その真理集合を求めてください。また、値の組\(\left( 1,2\right) \)と\(\left( 2,1\right) \)がそれぞれ真理集合に含まれるかどうかを確認してください。
\end{equation*}であり、これは3人の学生からなる集合であるものとします。変数\(y\)の定義域は、\begin{equation*} Y=\left\{ m,e,h\right\}
\end{equation*}であり、これは数学、英語、歴史の3科目からなる集合であるものとします。命題関数\(P\left( x,y\right) \)を、\begin{equation*} \overline{P}\left( x,y\right) :x\text{は}y\text{の試験に合格した}
\end{equation*}と定めます。学生\(a\)は数学と英語、学生\(b\)は英語、学生\(c\)は数学と歴史の試験に合格したものとします。\(\overline{P}\left( x,y\right) \)の真理集合を求めてください。
\end{equation*}であるものとします。命題関数\(P\left( x,y\right) \)を、\begin{equation*} \overline{P}\left( x,y\right) :x+y=5
\end{equation*}と定めた場合の真理集合を求めてください。
Y &=&\left\{ 1,2,3\right\}
\end{eqnarray*}とします。命題関数\(P\left( x,y\right) \)を、\begin{equation*} \overline{P}\left( x,y\right) :y\text{は}x\text{の約数である}
\end{equation*}と定めた場合の真理集合を求めてください。
\end{equation*}であるものとします。命題関数\(P\left( x,y,z\right) \)を、\begin{equation*} \overline{P}\left( x,y,z\right) :x+y=z
\end{equation*}と定めた場合の真理集合を求めてください。
