全称命題
論理式の定義より、論理式\(A\)と変数\(x\in X\)に対して量化記号\(\forall \)を作用させることで得られる、\begin{equation} \forall x\in X\ A \quad \cdots (1)
\end{equation}もまた論理式です。\(\forall \)は全称記号（universal quantifier）と呼ばれる量化記号であり、論理式\(A\)に全称記号\(\forall \)を作用させることにより得られる論理式\(\left( 1\right) \)を全称命題（universal proposition）と呼びます。これは「\(X\)の任意の値\(x\)について\(A\)（for any \(x\) in \(X\), \(A\)）」や「\(X\)のそれぞれの値\(x\)について\(A\)（for every \(x\) in \(X\), \(A\)）」などの表現に対応する論理式です。全称命題\(\left( 1\right) \)において変数\(x\)の定義域\(X\)が文脈から明らかであるとき、それを省略して、\begin{equation*} \forall x\ A
\end{equation*}と表記できるものとします。また、見やすさを考慮して、\(\left( 1\right) \)を、\begin{equation*} \forall x\in X:A
\end{equation*}と表記できるものとします。
\end{equation}と表現できます。もとの主張は「\(\left( 1\right) \)が任意の実数\(x\)に関して成り立つ」という主張に相当するため、それを、\begin{equation*} \forall x\in \mathbb{R} :x^{2}\geq 0
\end{equation*}と表現できます。
\end{equation}と表現できます。もとの主張は「\(\left( 1\right) \)が任意の人間\(x\)に関して成り立つ」という主張に相当するため、それを、\begin{equation*} \forall x\in X:\left( x\text{は日本生まれ}\rightarrow x\text{は日本人}\right)
\end{equation*}と表現できます。一方、「日本生まれではない人はいずれも日本人ではない」という主張は、\begin{equation*}
\forall x\in X:\left( \lnot \left( x\text{は日本生まれ}\right) \rightarrow \lnot \left( x\text{は日本人}\right) \right)
\end{equation*}と定式化されます。
\end{equation}と表現できます。もとの主張は「\(\left( 1\right) \)が任意のモノ\(y\)に関して成り立つ」という主張に相当するため、それを、\begin{equation*} \forall y\in Y:\left( \text{加藤は}y\text{を持っている}\rightarrow \text{鈴木は}y\text{を持っている}\right)
\end{equation*}と表現できます。一方、「鈴木さんが持っていないモノはすべて山田が持っている」という主張は、\begin{equation*}
\forall y\in Y:\left( \lnot \left( \text{鈴木は}y\text{を持っている}\right) \rightarrow \text{山田は}y\text{を持っている}\right)
\end{equation*}と定式化され、「車を持っている人は誰しもが免許を持っている」という主張は、すべての人からなる集合\(X\)を定義域とする変数\(x\)を用いて、\begin{equation*} \forall x\in X:\left( x\text{は車を持っている}\rightarrow x\text{は免許を持っている}\right)
\end{equation*}と定式化されます。
\end{equation}と定式化されます。もとの主張は「\(\left( 1\right) \)が特定の住人\(\overline{y}\)についてだけではなく、任意の住人\(y\in X\)について成立する」という主張に相当するため、それは、\begin{equation*} \forall y\in X:\left( \forall x\in X:x\text{は}y\text{と知り合いである}\right)
\end{equation*}と定式化されます。
開論理式に関する全称命題の解釈
論理式\(A\)が変数\(x\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x\right) \)であるものとします。このとき、変数\(x\)に関する全称命題\begin{equation} \forall x\in X:A\left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を、変数の自由な現れを持たない閉論理式とみなします。閉論理式の値を特定するためには「解釈」に相当する以下の2つの要素\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \text{議論領域} \\
&&\left( b\right) \ \text{論理式}A\text{を構成するすべての命題関数が定める条件}
\end{eqnarray*}を具体的に特定する必要があります。解釈が与えられたとき、\(X\)のすべての値\(x\)について\(A\left( x\right) \)が真である場合には、その解釈のもとで\(\left( 1\right) \)は真であるものと定めます。逆に、\(X\)に属する少なくとも1つの値\(x\)について\(A\left( x\right) \)が偽である場合には、その解釈のもとで\(\left( 1\right) \)は偽です。
\end{equation}と定式化されます。任意の整数\(x\in \mathbb{Z} \)について\(x^{2}\geq x\)は真であるため\(\left( 1\right) \)は真です。
\end{equation}と定式化されます。実数\(\frac{1}{2}\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*} \left( \frac{1}{2}\right) ^{2}\geq \frac{1}{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{1}{4}\geq \frac{1}{2}
\end{equation*}は偽であるため\(\left( 1\right) \)は偽です。
\end{equation}と定式化されます。実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*} x>2\rightarrow x^{2}>2
\end{equation*}は真であるため\(\left( 1\right) \)は真です。
\end{equation}と定式化されます。日本は出生地主義ではなく血統主義を採用しているため、出生は日本だが国籍が日本ではない人が存在します。そのような人\(\overline{x}\in X\)について、\begin{equation*} \overline{x}\text{は日本生まれ}\rightarrow \overline{x}\text{は日本人}
\end{equation*}は偽であるため\(\left( 1\right) \)は偽です。
論理式\(A\)が変数\(x,y\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x,y\right) \)であるものとします。このとき、変数\(x\)に関する全称命題\begin{equation} \forall x\in X:A\left( x,y\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を、変数\(y\)の自由な現れを持つ開論理式とみなします。開論理式の値を特定するためには「解釈」に相当する以下の3つの要素\begin{eqnarray*} &&\left( a\right) \ \text{議論領域} \\
&&\left( b\right) \ \text{論理式}A\text{を構成するすべての命題関数が定める条件} \\
&&\left( c\right) \ \text{変数の自由な現れに代入する値}\overline{y}
\end{eqnarray*}を具体的に特定する必要があります。解釈が与えられたとき、\(X\)のすべての値\(x\)について\(A\left( x,\overline{y}\right) \)が真である場合には、その解釈のもとで\(\left( 1\right) \)は真であるものと定めます。したがってそのとき、値\(\overline{y}\)は\(\left( 1\right) \)の真理集合に属します。逆に、\(X\)に属する少なくとも1つの値について\(A\left( x,\overline{y}\right) \)が偽である場合には、その解釈のもとで\(\left( 1\right) \)は偽です。したがってそのとき、値\(\overline{y}\)は\(\left( 1\right) \)の真理集合に属しません。
ここでは論理式\(A\)が変数\(x,y\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x,y\right) \)である状況を想定した上で、そのうちの一方の変数\(x\)に関する全称命題\(\forall x\in X:A\left( x,y\right) \)をとりましたが、\(y\)に相当する変数の自由な現れが複数存在する場合にも同様に考えます。
\end{equation*}であるものとします。以下の全称命題\begin{equation}
\forall x\in X:x\leq y \quad \cdots (1)
\end{equation}は変数\(y\)の自由な現れを持つ開論理式であり、\(y=1\)の場合、\begin{equation*} \forall x\in X:x\leq 1
\end{equation*}となりますが、これは偽であるため\(y=1\)は\(\left( 1\right) \)の真理集合に属しません。\(y=2\)の場合、\begin{equation*} \forall x\in X:x\leq 2
\end{equation*}となりますが、これは偽であるため\(y=2\)は\(\left( 1\right) \)の真理集合に属しません。\(y=3\)の場合、\begin{equation*} \forall x\in X:x\leq 3
\end{equation*}となりますが、これは真であるため\(y=3\)は\(\left( 1\right) \)の真理集合に属します。したがって、\(\left( 1\right) \)の真理集合は、\begin{equation*} \left\{ 3\right\}
\end{equation*}です。
論理式\(A\)が変数\(x\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x\right) \)であるとき、\(A\left( x\right) \)において自由な現れが存在しない変数\(y\in Y\)を任意に選んだ上で全称命題\begin{equation} \forall y\in Y:A\left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を作ることもできますが、これをもとの開論理式\begin{equation}
A\left( x\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}と同一視します。開論理式の値を特定するためには「解釈」に相当する以下の3つの要素\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \text{議論領域} \\
&&\left( b\right) \ \text{論理式}A\text{を構成するすべての命題関数が定める条件} \\
&&\left( c\right) \ \text{変数の自由な現れに代入する値}\overline{x}
\end{eqnarray*}を具体的に特定する必要がありますが、解釈を任意に選んだとき、\(\left( 1\right) \)から得られる命題と\(\left( 2\right) \)から得られる命題の真理値が常に一致するものと定めるということです。
\end{equation*}を作ることができますが、これは\(P\left( x\right) \)と同一視されます。
\end{equation}は変数\(y\)の自由な現れを持つ開論理式であり、変数\(x\)の自由な現れを持ちません。したがって、以下の全称命題\begin{equation*} \forall x\in X:\left( \forall x\in X:P\left( x,y\right) \right)
\end{equation*}は\(\left( 1\right) \)と同一視されます。
閉論理式に関する全称命題の解釈
論理式\(A\)が閉論理式であるとき、すなわち変数の自由な現れを持たない場合にも、変数\(x\in X\)を任意に選んだ上で全称命題\begin{equation} \forall x\in X:A \quad \cdots (1)
\end{equation}を作ることができますが、これをもとの閉論理式\begin{equation}
A \quad \cdots (2)
\end{equation}と同一視します。閉論理式の値を特定するためには「解釈」に相当する以下の2つの要素\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \text{議論領域} \\
&&\left( b\right) \ \text{論理式}A\text{を構成するすべての命題関数が定める条件}
\end{eqnarray*}を具体的に特定する必要がありますが、解釈を任意に選んだとき、\(\left( 1\right) \)から得られる命題と\(\left( 2\right) \)から得られる命題の真理値が常に一致するものと定めるということです。
\end{equation}は変数の自由な現れを持たない閉論理式です。したがって、以下の全称命題\begin{equation*}
\forall x\in X:\left( \forall x\in X:P\left( x\right) \right)
\end{equation*}は\(\left( 1\right) \)と同一視されます。同様に、\begin{equation*} \forall y\in Y:\left( \forall x\in X:P\left( x\right) \right)
\end{equation*}もまた\(\left( 1\right) \)と同一視されます。
演習問題
\text{すべての犬は危険である}
\end{equation*}を論理式として定式化してください。
A\text{さんは、}B\text{さんを好きではない人全員が好きである}
\end{equation*}を論理式として定式化してください。
\end{equation*}と定義します。以下のそれぞれの論理式について、それが開論理式である場合には真理集合を明らかにし、閉論理式である場合にはその値を明らかにしてください。
- \(P\left( 3,4\right) \)
- \(P\left( 3,5\right) \)
- \(P\left( 2,6\right) \vee P\left( 3,7\right) \)
- \(\forall x\in \mathbb{N} :\left( \forall y\in \mathbb{N} :\left( P\left( x,y\right) \rightarrow P\left( y,x\right) \right) \right) \)
- \(\forall x\in \mathbb{N} :P\left( x,y\right) \)
- \(\forall y\in \mathbb{N} :P\left( x,y\right) \)
\end{equation*}とします。以下の全称命題の真偽をそれぞれ判定してください。
\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x\in X:x^{2}\geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in X:x^{2}\geq x+1 \\
&&\left( c\right) \ \forall x\in X:\left( x>0\rightarrow x^{2}\geq x\right)
\end{eqnarray*}
\end{equation*}とします。以下の開論理式\begin{equation*}
\forall x\in X:x+y\geq 5
\end{equation*}の真理集合を求めてください。
\end{equation*}とします。以下の開論理式\begin{equation*}
\forall x\in X:\left( x\text{は偶数}\rightarrow x\leq
y\right)
\end{equation*}の真理集合を求めてください。
\end{equation*}とし、変数\(y\)の定義域\(Y \)は任意の非空集合であるものとします。開論理式\begin{equation*} P\left( x\right) :x\text{は奇数}
\end{equation*}について、\begin{equation*}
\forall y\in Y:P\left( x\right)
\end{equation*}の真理集合を求めてください。
Y &=&\left\{ 2,3\right\}
\end{eqnarray*}とします。以下の全称命題の真偽をそれぞれ判定してください。
\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x\in X:\left( \forall y\in Y:x<y+1\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in X:\left( \forall y\in Y:x+y>4\right)
\end{eqnarray*}
