零元・単位元としての命題定数

論理演算において命題定数は零元や単位元としての性質を備えます。
命題定数
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命題定数どうしの関係

命題定数の間には以下の関係が成り立ちます。

命題(命題定数どうしの関係)
命題定数\(F,T\)に関して以下が成り立つ。\begin{align*}
& \left( a\right) \ \lnot T\Leftrightarrow F \\
& \left( b\right) \ \lnot F\Leftrightarrow T
\end{align*}
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命題定数\(T\)は恒真式\(\top \)と同値であり、命題定数\(F\)は恒偽式\(\bot \)と同値ですので、上の命題を一般化して、\begin{align*}
& \left( a\right) \ \lnot \top \Leftrightarrow \bot \\
& \left( b\right) \ \lnot \bot \Leftrightarrow \top
\end{align*}とすることができます。つまり、恒真式の否定は恒偽式であり、恒偽式の否定は恒真式となります。

例(恒真式と恒偽式の関係)
論理式\(A\)に関する論理式\(A\wedge \lnot A\)は恒真式です。この恒真式の否定は、ド・モルガンの法則より、\begin{equation*}
\lnot A\vee \lnot \left( \lnot A\right)
\end{equation*}となりますが、先の命題よりこれは恒偽式です。

 

零元としての命題定数

論理式と命題定数の間には以下の関係が成り立ちます。

命題(零元としての命題定数)
任意の論理式\(A\)と命題定数\(F,T\)の間には以下が成り立つ。\begin{align*}
& \left( a\right) \ A\wedge F\Leftrightarrow F \\
& \left( b\right) \ A\vee T\Leftrightarrow T
\end{align*}
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命題定数\(T\)は恒真式\(\top \)と同値であり、命題定数\(F\)は恒偽式\(\bot \)と同値ですので、上の命題を一般化して、\begin{align*}
& \left( a\right) \ A\wedge \bot \Leftrightarrow \bot \\
& \left( b\right) \ A\vee \top \Leftrightarrow \top
\end{align*}とすることができます。つまり、任意の論理式と恒偽式の論理積をとると恒偽式になり、任意の論理式と恒真式の論理和をとると恒真式になります。

例(零元としての恒偽式)
論理式\(A,B\)に関する論理式\begin{equation*}
\left( A\wedge B\right) \wedge \lnot B
\end{equation*}が恒偽式であることを示します。実際、\begin{eqnarray*}
\left( A\wedge B\right) \wedge \lnot B &\Leftrightarrow &A\wedge \left( B\wedge \lnot B\right) \quad \because \text{結合律} \\
&\Leftrightarrow &A\wedge \bot \quad \because A\wedge \lnot A\Leftrightarrow \bot \\
&\Leftrightarrow &\bot
\end{eqnarray*}となるため証明できました。

 

単位元としての命題定数

論理式と命題定数の間には以下が成り立ちます。

命題(単位元としての命題定数)
任意の論理式\(A\)と命題定数\(F,T\)の間には以下が成り立つ。\begin{align*}
& \left( a\right) \ A\vee F\Leftrightarrow A \\
& \left( b\right) \ A\wedge T\Leftrightarrow A
\end{align*}
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命題定数\(T\)は恒真式\(\top \)と同値であり、命題定数\(F\)は恒偽式\(\bot \)と同値ですので、上の命題を一般化して、\begin{align*}
& \left( a\right) \ A\vee \bot \Leftrightarrow A \\
& \left( b\right) \ A\wedge \top \Leftrightarrow A
\end{align*}とすることができます。つまり、任意の論理式と恒偽式の論理和をとるともとの論理式に戻り、任意の論理式と恒真式の論理積をとるともとの論理式にもどります。

例(単位元としての恒真式)
論理式\(A,B\)に関する論理式\begin{equation*}
\left( A\wedge B\right) \vee \left( A\wedge \lnot B\right)
\end{equation*}が\(A\)と同値であることを示します。実際、分配律より、\begin{eqnarray*}
\left( A\wedge B\right) \vee \left( A\wedge \lnot B\right) &\Leftrightarrow &A\wedge \left( B\vee \lnot B\right) \quad \because \text{分配律} \\
&\Leftrightarrow &A\quad \because B\vee \lnot B\text{は恒真式}
\end{eqnarray*}となるため証明できました。

次回は矛盾律について学びます。

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