確認テスト III（命題論理）

命題変数\(P,Q\)に関する以下の論理式の否定を特定してください。ただし、最終的に得られた論理式において利用できる論理演算子は\(\lnot ,\wedge ,\vee \)だけです（各5点）。

1. \(P\rightarrow Q\)
2. \(P\leftrightarrow Q\)
3. \(\left( Q\rightarrow P\right) \wedge \lnot \left( P\rightarrow Q\right) \)
4. \(\lnot \left( Q\rightarrow P\right) \wedge \lnot \left( P\rightarrow Q\right) \)

命題変数\(P,Q,R\)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}P &:&\text{三角形}ABC\text{は二等辺三角形である} \\
Q &:&\text{三角形}ABC\text{は正三角形である} \\
R &:&\text{三角形}ABC\text{はの3つの角が等しい}
\end{eqnarray*}と定義します。以下の論理式をそれぞれ文章として表現した上で、その真偽を判定してください（各5点）。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ Q\rightarrow P \\
&&\left( b\right) \ \lnot P\rightarrow \lnot Q \\
&&\left( c\right) \ Q\leftrightarrow R \\
&&\left( d\right) \ P\wedge \lnot Q \\
&&\left( e\right) \ R\rightarrow P
\end{eqnarray*}

以下の問いに答えてください（各5点）。

1. 命題変数\(P,Q,R\)に関する以下の推論規則\begin{equation*}P\rightarrow Q,\ \lnot Q\rightarrow \lnot R\ \therefore \ P\rightarrow R\end{equation*}は妥当でしょうか。検証してください。
2. 命題変数\(P,Q\)に関する以下の推論規則\begin{equation*}P\vee Q,\ \lnot P\vee \lnot Q\ \therefore \ P\veebar Q\end{equation*}は妥当でしょうか。検証してください。
3. 命題変数\(P,Q\)に関する以下の推論規則\begin{equation*}P\rightarrow \lnot Q,\ P\wedge Q\ \therefore \ P\vee Q\end{equation*}は妥当でしょうか。検証してください。

以下の主張\begin{equation*}
\left( a\right) \ \text{試験勉強をし、なおかつ講義へ出席すれば、試験に合格する。}
\end{equation*}と論理的に同値であるような主張を以下の中から選んでください。\begin{eqnarray*}
&&\left( b\right) \ \text{試験に合格したならば、試験勉強をし、なおかつ講義へ出席した。} \\
&&\left( c\right) \ \text{試験に合格したならば、試験勉強をしたか、もしくは講義へ出席した。} \\
&&\left( d\right) \ \text{試験に合格しないならば、試験勉強をせず、なおかつ講義へ出席しなかった。} \\
&&\left( e\right) \ \text{試験に合格しないならば、試験勉強をしなかったか、もしくは講義へ出席しなかった。}
\end{eqnarray*}

以下の推論が与えられているものとします。以下の問いに答えてください。\begin{eqnarray*}
&&\text{圭介は警察官もしくはサッカー選手のどちらか一方である} \\
&&\text{もし圭介が警察官であるならば、彼の靴は大きい} \\
&&\text{圭介の靴は大きくない} \\
&&\text{したがって、圭介はサッカー選手である}
\end{eqnarray*}

1. 与えられた推論を定式化してください（5点）。
2. 推論が妥当であることを、推論規則を用いて形式的に証明してください（10点）。
3. 推論が妥当であることを、真理値表を用いて証明してください（10点）。