確認テスト III（命題論理）

命題変数\(P,Q,R\)に関する以下の論理式が恒真式、恒偽式、事実式のどれであるか判定してください（各10点）。

1. \(\left( P\leftrightarrow Q\right) \leftrightarrow \left( \lnot P\leftrightarrow \lnot Q\right) \)
2. \(\left( P\rightarrow \left( Q\wedge R\right) \right) \vee \left( \left( P\wedge Q\right) \rightarrow R\right) \)

命題変数\(P,Q,R\)に関する以下の4つの論理式\begin{gather*} P\vee Q \\
P\vee \lnot Q \\
\lnot P\vee Q \\
\lnot P\vee \lnot Q\vee \lnot R
\end{gather*}がすべて真になるような解釈は存在するでしょうか。議論してください。

\(A,B,C\)の3人はそれぞれ正直者か嘘つきのどちらか一方です。正直者は嘘をつかず、嘘つきの発言はすべて嘘であるものとします。3人はお互いに誰が正直者であり、誰が嘘つきであるかを知っているものとします。3人がそれぞれ以下のように発言しました。\begin{eqnarray*} A &:&\text{私が正直者であるか、}C\text{が嘘つきであるか、その少なくとも一方が真実です} \\
B &:&A\text{は嘘つきです} \\
C &:&A\text{と}B\text{はともに嘘つきです}
\end{eqnarray*}以上を踏まえたとき、誰が正直者であり、誰が嘘つきであるか判定できますか。議論してください。

整数\(z\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだとき、以下の主張\begin{equation*} 5z^{2}+2\text{が偶数ならば}z\text{は偶数である}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

\(a<b<c\)を満たすとともに、隣り合う3つの整数\(a,b,c\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだとき、以下の主張\begin{equation*} a\not=-1\text{かつ}a\not=3\text{の場合には}a^{2}+b^{2}\not=c^{2}\text{である}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、以下の主張\begin{equation*} 1\leq n\leq 5\text{の場合には}n^{2}-n+11\text{が素数である}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。