命題論理では、命題変数\(P,Q,\cdots \)に対して行う操作を表す様々な記号\(\lnot ,\wedge ,\vee ,\veebar ,\rightarrow ,\leftrightarrow \)を導入した上で、これらを命題変数に作用させることで新たな論理式を作り出します。

2019年1月7日:全体的に記述を改良。
2018年11月12日:公開

命題変数の論理演算

命題論理では命題変数\(P,Q,\cdots \)に対して行う操作を表す記号\(\lnot ,\wedge ,\vee ,\veebar ,\rightarrow ,\leftrightarrow \)を導入した上で、これらを命題変数に作用させることで新たな論理式を作り出します。

具体的には、\(P\)に\(\lnot \)を作用させることで得られる論理式を\(\lnot P\)で表し、\(P\)と\(Q\)に\(\wedge \)を作用させることで得られる論理式を\(P\wedge Q\)で表します。また、\(P\)と\(Q\)に\(\vee \)を作用させることで得られる論理式を\(P\vee Q\)で表し、\(P\)と\(Q\)に\(\veebar \)を作用させることで得られる論理式を\(P\veebar Q\)で表します。さらに、\(P\)と\(Q\)に\(\rightarrow \)を作用させることで得られる論理式を\(P\rightarrow Q\)で表し、\(P\)と\(Q\)に\(\leftrightarrow \)を作用させて得られる論理式を\(P\leftrightarrow Q\)で表します。

命題論理において使われるこれらの記号\(\lnot ,\wedge ,\vee ,\veebar ,\rightarrow ,\leftrightarrow \)を論理演算子(logical operators)や論理結合子(logical connectives)などと呼び、論理演算子が表す操作を論理演算(logical operation)と呼びます。

論理演算子は命題変数に作用することで新たな論理式を生成しますが、それぞれの論理演算子の性質は、それを作用させる命題変数の値に応じて生成された論理式の値がどのように決まるかを包括的に定めることにより記述されます。それぞれの論理演算子の性質については後述します。

 

論理式の論理演算

命題論理では命題変数\(P,Q,\cdots \)に対して論理演算子を作用させることで論理式を生成するだけでなく、そのようにして生成された論理式\(A,B,\cdots \)に対して再び論理演算子を作用させて得られる式もまた論理式とみなします。

具体的には、論理式\(A\)に\(\lnot \)を作用させることで得られる論理式を\(\lnot A\)で表し、論理式\(A,B\)に\(\wedge \)を作用させることで得られる論理式を\(A\wedge B\)で表します。さらに、\(A\)と\(B\)に\(\vee \)を作用させることで得られる論理式を\(A\vee B\)で表し、\(A\)と\(B\)に\(\veebar \)を作用させることで得られる論理式を\(A\veebar B\)で表します。また、\(A\)と\(B\)に\(\rightarrow \)を作用させることで得られる論理式を\(A\rightarrow B\)で表し、\(A\)と\(B\)に\(\leftrightarrow \)を作用させることで得られる論理式を\(A\leftrightarrow B\)で表します。

論理演算子は論理式に作用することで新たな論理式を生成しますが、それぞれの論理演算子の性質は、それを作用させる論理式の値に応じて生成された論理式の値がどのように決まるかを包括的に定めることにより記述されます。

命題変数は特別な論理式ですから、論理演算子を論理式に作用させる際のルールを定めれば、それはそのまま論理演算子を命題変数に作用させる際のルールとしても継承されます。そこで以降では、論理式という概念を厳密に定義した上で、論理演算子を論理式に作用させる際のルールを解説します。

次回は論理式という概念を定義します。

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