爆発律
論理式\(A\)と恒偽式\(\bot \)をそれぞれ任意に選んだとき、以下の恒真式\begin{equation*}\bot \Rightarrow A
\end{equation*}が成り立つことが示されるため、以下の推論規則\begin{equation*}
\bot \ \models \ A
\end{equation*}を得ます。つまり、恒偽式のもとでは任意の論理式\(A\)が必ず真になります。これは爆発律（principle of explosion）や\(\bot \)除去（\(\bot \) elimination）などと呼ばれる推論規則です。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}は論理式であるため、爆発律より、任意の恒偽式\(\bot \)について、\begin{equation*}\bot \ \models \ P\rightarrow Q
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}が与えられているものとします。\(P\)と\(\lnot P\)が真である場合、否定除去より恒偽式\(\bot \)が得られます。恒偽式\(\bot \)が得られれば、爆発律より\(Q\)は真です。したがって、以下の推論規則\begin{equation*}P\wedge \lnot P\ \models \ Q
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。
爆発律は他の推論規則で代用できる
爆発律は他の推論規則で代用可能です。後ほど証明について学んでから以下を読み返してください。
任意の論理式\(A\)と恒偽式\(\bot \)に関する以下の推論規則\begin{equation*}\bot \ \models \ A
\end{equation*}は、以下の形でも証明可能です。
$$\begin{array}{clcl}
\hline
\left( 1\right) & \bot & & 前提 \\ \hline
\left( 2\right) & \lnot A & \left[ 2\right] & 仮定 \\
\hline
\left( 3\right) & \bot & \left[ 2\right] & \left( 1\right),\left( 2\right) \\
\hline
\left( 4\right) & \lnot A\rightarrow \bot & & \left( 2\right),\left( 3\right) と\rightarrow 導入 \\ \hline
\left( 5\right) & \lnot \lnot A & & \left( 4\right) と\lnot 導入 \\ \hline
\left( 6\right) & A & & \left( 5\right) と二重否定除去 \\ \hline
\end{array}$$
ただし、\(\left( 1\right) \)において恒偽式\(\bot \)が前提として置かれているため、\(\left( 2\right) \)の仮定\(\lnot A\)のもとでも\(\bot \)が導かれることが自明であり、ゆえに\(\left( 3\right) \)では\(\left(2\right) \)の仮定から\(\bot \)を導いています。
以上より、爆発律は他の推論規則から導出可能であることが明らかになりました。したがって、爆発律を独立した推論規則として定める必要はないのですが、恒偽式から任意の論理式を導く際に先のような証明を繰り返すのは面倒であるため、本稿では、爆発律を独立した推論規則と位置づけます。
演習問題
\end{equation*}が妥当であることを証明してください。
\end{equation*}が妥当であることを証明してください。
&&\text{もし明日雨が降るなら、私は傘を持っていく。} \\
&&\text{明日は雨が降る。} \\
&&\text{しかし私は傘を持って行かない。} \\
&&\text{したがって、私は宇宙飛行士である。}
\end{eqnarray*}
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