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PROPOSITIONAL LOGIC

消去法

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消去法

論理式\(A_{1},\cdots ,A_{n},B,C\)に関する以下の推論\begin{equation*}
A_{1},\cdots ,\ A_{n}\ \therefore \ B\vee C
\end{equation*}の妥当性を示す方法の1つは、以下の論理式\begin{equation*}
\left( \bigwedge_{i=1}^{n}A_{i}\right) \rightarrow \left( B\vee C\right)
\end{equation*}が恒真式であることを示すというものです。ただ、これは以下の論理式\begin{equation*}
\left( \left( \bigwedge_{i=1}^{n}A_{i}\right) \wedge \lnot B\right)
\rightarrow C
\end{equation*}と論理的に同値です(演習問題にします)。したがって以下の命題を得ます。

命題(消去法)
論理式\(A_{1},\cdots ,A_{n},B,C\)について、以下の2つの命題はお互いに必要十分である。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ A_{1},\cdots ,A_{n}\ \models \ B\vee C \\
&&\left( b\right) \ A_{1},\cdots ,\ A_{n},\lnot B\ \Rightarrow \ C
\end{eqnarray*}
証明を見る(プレミアム会員限定)

上の命題より、前提が\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)であり、結論が\(B\vee C\)であるような推論の妥当性を示すためには、結論に含まれる\(B\)の否定\(\lnot B\)を前提に加えた上で、そこから推論規則を適用して\(C\)を導けばよいことになります。このような証明法法を消去法(proof by elimination)と呼びます。

例(消去法)
命題変数\(P,Q,R\)に関する以下の推論規則\begin{equation*}
P\ \models \ Q\vee R
\end{equation*}が成り立つことを示すためには、消去法より、以下の推論規則\begin{equation*}
P,\ \lnot Q\ \models \ R
\end{equation*}が成り立つことを示せばよいということになります。
例(消去法)
何らかの実数\(x\)を任意に選んだとき、\(x=x^{2}\)が成り立つ場合には\(x=0\)と\(x=1\)の少なくとも一方が成り立つことを証明します。実数\(x\)を任意に選んだ上で、命題変数\(P,Q,R\)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}
P &:&x=x^{2} \\
Q &:&x=0 \\
R &:&x=1
\end{eqnarray*}とおくと、以下の推論規則\begin{equation*}
P\ \models \ Q\vee R
\end{equation*}が成り立つことを示すことが目標になります。ただ、消去法より、上の推論規則を示す代わりに、以下の推論規則\begin{equation*}
P,\ \lnot Q\ \models \ R
\end{equation*}が成り立つことを示しても構いません。つまり、\(x=x^{2}\)と\(x\not=0\)がともに真である場合には\(x=1\)が真であることを示すということです。\(x\not=0\)の場合、\(x=x^{2}\)の両辺を\(x\)で割ることができるため\(1=x\)を得ます。したがって証明が完了しました。

次回は場合分けについて学びます。

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