命題論理における同等

同等の値

論理式の定義より、論理式$A,B$に論理演算子$\leftrightarrow $を作用させることにより得られる、\begin{equation*}A\leftrightarrow B
\end{equation*}もまた論理式です。$\leftrightarrow $は同等（biconditional）と呼ばれる論理演算子であり、論理式$A\leftrightarrow B$を$A$と$B$の同等（biconditional of $A$ and $B$）と呼びます。これは「$A$のとき、かつそのときに限り$B$である（$B$ if and only if $A$）」という表現に対応する論理式です。

例（同等）

「彼が私に連絡をしてくるとき、そしてその場合にのみ私は彼に連絡する」という主張を定式化します。命題変数$P,Q$をそれぞれ、\begin{eqnarray*}P &:&\text{私が彼に連絡をする} \\
Q &:&\text{彼が私に連絡をする}
\end{eqnarray*}とおくと、与えられた言明は、\begin{equation*}
P\leftrightarrow Q
\end{equation*}と定式化されます。

例（同等）

「2つの実数$x,y$がともに$0$であるとき、そしてその場合にのみそれらの積は$0$になる」という主張を定式化します。命題変数$P,Q,R$をそれぞれ、\begin{eqnarray*}P &:&x=0 \\
Q &:&y=0 \\
R &:&xy=0
\end{eqnarray*}とおくと、与えられた言明は、\begin{equation*}
P\wedge Q\leftrightarrow R
\end{equation*}と定式化されます。

例（同等）

以下の2つの命題変数\begin{eqnarray*}
P &:&\text{試験に受かる} \\
Q &:&\text{単位をもらう}
\end{eqnarray*}が与えられたとき、含意$P\rightarrow Q$は、\begin{equation*}\text{試験に受かれば単位がもらえる}
\end{equation*}という主張に対応する一方で、同等$P\leftrightarrow Q$は、\begin{equation*}\text{試験に受かる場合、そしてその場合にのみ単位がもらえる}
\end{equation*}という主張に対応します。

例（同等）

「期末試験で優または良をとった場合、そしてその場合にのみ単位が与えられる」という主張を定式化します。命題変数$P,Q,R$をそれぞれ、\begin{eqnarray*}P &:&\text{期末試験で優をとる} \\
Q &:&\text{期末試験で良をとる} \\
R &:&\text{単位が与えられる}
\end{eqnarray*}とおくと、与えられた言明は、\begin{equation*}
P\vee Q\leftrightarrow R
\end{equation*}と定式化されます。

同等の解釈

同等$A\leftrightarrow B$の値は$A$と$B$の値に依存しますが、その対応規則を以下の真理値表によって定義します。

$$\begin{array}{ccc}
\hline
A & B & A\leftrightarrow B \\ \hline
1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

つまり、同等$\leftrightarrow $は入力された論理式$A,B$に対して、$A$と$B$の値が一致する場合にのみ$1$を値としてとる論理式$A\leftrightarrow B$を出力する論理演算です。$A$と$B$の値が異なる場合、$A\leftrightarrow B$の値は$0$です。

例（命題変数どうしの同等）

論理式の定義より、命題変数$P,Q$もまた論理式であるため、これらもまた同等$\leftrightarrow $を作用させる対象となります。同等の定義より以下が得られます。

$$\begin{array}{ccc}
\hline
P & Q & P\leftrightarrow Q \\ \hline
1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

例（命題変数どうしの同等）

論理式の定義より、命題変数$P$や命題定数$T,F$もまた論理式であるため、これらもまた同等$\leftrightarrow $を作用させる対象となります。同等の定義より以下が得られます。

$$\begin{array}{cccccc}
\hline
P & T & F & P\leftrightarrow T & P\leftrightarrow F & T\leftrightarrow F \\ \hline
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

例（同等の解釈）

命題変数$P,Q$が与えられたとき、その同等$P\leftrightarrow Q$は論理式であるため、さらにそれと命題変数$R$の同等$\left(P\leftrightarrow Q\right) \leftrightarrow R$もまた論理式です。それらの真理値について以下の関係

$$\begin{array}{ccccc}
\hline
P & Q & R & P\leftrightarrow Q & \left( P\leftrightarrow Q\right) \leftrightarrow R \\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

が成り立ちます。

例（同等の解釈）

命題変数$P,Q$が与えられたとき、否定$\lnot $や同等$\leftrightarrow $の定義より$P\leftrightarrow Q$や$\lnot P\leftrightarrow Q$や$P\leftrightarrow \lnot Q$はいずれも論理式であり、それらの真理値について以下の関係

$$\begin{array}{ccccccc}
\hline
P & Q & \lnot P & \lnot Q & P\leftrightarrow Q & \lnot P\leftrightarrow Q & P\leftrightarrow \lnot Q \\ \hline
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

が成り立ちます。

例（同等の値）

命題変数$P,Q,R$が与えられたとき、否定$\lnot $や論理積$\wedge $および同等$\leftrightarrow $の定義より$\left( \lnot P\wedge Q\right) \leftrightarrow \lnot R$は論理式であり、その真理値について以下の関係

$$\begin{array}{ccccccc}
\hline
P & Q & R & \lnot P & \lnot R & \lnot P\wedge Q & \left( \lnot P\wedge Q\right) \leftrightarrow \lnot R \\ \hline
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

が成り立ちます。

同等と否定・論理積・論理和の関係

論理式$A,B$を任意に選んだとき、以下の真理値表を得ます。

$$\begin{array}{cccccc}
\hline
A & B & A\rightarrow B & B\rightarrow A & \left( A\rightarrow B\right) \wedge \left( B\rightarrow A\right) & A\leftrightarrow B \\
\hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

上の真理値表より、同等$A\leftrightarrow B$の値は論理式\begin{equation*}\left( A\rightarrow B\right) \wedge \left( B\rightarrow A\right)
\end{equation*}の値と常に一致します。この事実は、同等$\leftrightarrow $は含意$\rightarrow $と論理積$\wedge $から間接的に定義可能であることを意味します。加えて、含意$A\rightarrow B$と論理式$\lnot A\vee B$の真理値は常に一致するため、含意$\rightarrow $は否定$\lnot $と論理和$\vee $から間接的に定義可能です。以上を踏まえると、否定と論理積と論理和さえ定義されていれば、同等を新たな論理演算として定義する必要はありません。とは言え、同等を独立した論理演算として定義しておくと何かと便利ですので、本稿ではこのまま$\leftrightarrow $を採用します。

演習問題

問題（同等）

以下の真理値表を完成させてください。

$$\begin{array}{ccccc}
\hline
P & Q & P\vee Q & P\wedge Q & P\vee Q\leftrightarrow P\wedge Q \\
\hline
1 & 1 & & & \\ \hline
1 & 0 & & & \\ \hline
0 & 1 & & & \\ \hline
0 & 0 & & & \\ \hline
\end{array}$$

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問題（同等）

以下の真理値表を完成させてください。

$$\begin{array}{cccccccc}
\hline
P & Q & P\wedge Q & \lnot \left( P\wedge Q\right) & \lnot P & \lnot Q & \lnot P\vee \lnot Q & \lnot \left( P\wedge Q\right) \leftrightarrow \lnot P\vee \lnot Q \\ \hline
1 & 1 & & & & & & \\ \hline
1 & 0 & & & & & & \\ \hline
0 & 1 & & & & & & \\ \hline
0 & 0 & & & & & & \\ \hline
\end{array}$$

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問題（同等）

命題変数$P,Q,R,S$について、$P$が偽で$\left( R\rightarrow S\right)\leftrightarrow \left( P\wedge Q\right) $が真であるものとします。この場合の$R$と$S$の真理値を特定してください。

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問題（同等）

「期末試験で優または良をとった場合、そしてその場合にのみ単位が与えられる」という主張が偽になるような状況として、どのようなケースが考えられるでしょうか。すべてのケースを列挙してください。ただし、試験の結果が優かつ良であるような状況は起こり得ないものとします。

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