多変数関数のルベーグ積分の加法性（有限加法性・可算加法性）

ルベーグ積分の加法性

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)に加えてルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)からなる測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。\(X\)の部分集合であるような互いに素な2つのルベーグ可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}X=A\sqcup B
\end{equation*}が成り立つということです。\(f\)の定義域を\(A\)ないし\(B\)へ制限することにより得られる関数を、\begin{eqnarray*}f_{A} &:&\mathbb{R} ^{n}\supset A\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
f_{B} &:&\mathbb{R} ^{n}\supset B\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}とそれぞれ表記します。\(f\)が\(X\)上においてルベーグ積分可能である場合には、\(f_{A}\)は\(A\)上においてルベーグ積分可能かつ\(f_{B}\)は\(B\)上においてルベーグ積分可能であるとともに、これらの関数のルベーグ積分の間には以下の関係\begin{equation*}\int_{X}fd\mu =\int_{A}f_{A}d\mu +\int_{B}f_{A}d\mu
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{A\sqcup B}fd\mu =\int_{A}f_{A}d\mu +\int_{B}f_{B}d\mu
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(f_{A}\)の\(A\)上でのルベーグ積分は\(f\)の\(A\)上でのルベーグ積分と一致し、\(f_{B}\)の\(B\)上でのルベーグ積分は\(f\)の\(B\)上でのルベーグ積分と一致するため、すなわち、\begin{eqnarray*}\int_{A}f_{A}d\mu &=&\int_{A}fd\mu \\
\int_{B}f_{B}d\mu &=&\int_{B}fd\mu
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の関係を、\begin{equation*}
\int_{A\sqcup B}fd\mu =\int_{A}fd\mu +\int_{B}fd\mu
\end{equation*}と表現できます。つまり、ルベーグ可測集合を2つのルベーグ可測集合に分割した場合、個々の集合におけるルベーグ積分の和をとればもとの集合におけるルベーグ積分の値が得られるということです。以上の性質をルベーグ積分に関する加法性（additivity）と呼びます。

ルベーグ積分の有限加法性

ルベーグ可測集合を有限個のルベーグ可測集合に分割する場合にも同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。\(X\)の部分集合であるような互いに素な有限個のルベーグ可測集合\(A_{1},\cdots,A_{n}\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}X=A_{1}\sqcup \cdots \sqcup A_{n}
\end{equation*}が成り立つということです。\(f\)が\(X\)上においてルベーグ積分可能である場合、\(f\)は\(A_{1},\cdots ,A_{n}\)上においてルベーグ積分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{A_{1}\sqcup \cdots \sqcup A_{n}}fd\mu =\int_{A_{1}}fd\mu +\cdots
+\int_{A_{n}}fd\mu
\end{equation*}が成り立ちます。

ルベーグ積分の可算加法性

ルベーグ可測集合を可算個のルベーグ可測集合に分割する場合にも同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。\(X\)の部分集合であるような互いに素な可算個のルベーグ可測集合\(A_{1},A_{2},\cdots\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}X=\bigsqcup_{k=1}^{+\infty }A_{k}
\end{equation*}が成り立つということです。\(f\)が\(X\)上においてルベーグ積分可能である場合、\(f\)は\(A_{1},A_{2},\cdots \)上においてルベーグ積分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{X}fd\mu =\sum_{k=1}^{+\infty }\int_{A_{k}}fd\mu
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{X}fd\mu =\lim_{K\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{K}\int_{A_{k}}fd\mu
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ルベーグ可測集合を可算個のルベーグ可測集合に分割した場合、個々の集合上でのルベーグ積分の無限級数の和をとればもとの集合におけるルベーグ積分が得られるということです。以上の性質をルベーグ積分に関する可算加法性（countable additivity）と呼びます。証明ではルベーグの支配収束定理を利用します。

演習問題