非負値をとる多変数のルベーグ可測関数のルベーグ積分の加法性

非負値をとるルベーグ可測関数のルベーグ積分の加法性

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)に加えてルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)からなる測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義され、非負値をとる多変数の拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in X:0\leq f\left( \boldsymbol{x}\right) \leq +\infty
\end{equation*}が成り立つということです。

ルベーグ可測集合上に定義された非負値をとるルベーグ可測関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられた状況において、\(X\)の部分集合であるような互いに素な2つのルベーグ可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}X=A\sqcup B
\end{equation*}が成り立つということです。\(f\)の定義域を\(A\)ないし\(B\)へ制限することにより得られる拡大実数値関数を、\begin{eqnarray*}f_{A} &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
f_{B} &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}とそれぞれ表記します。\(f\)は非負値をとるため\(f_{A}\)および\(f_{B}\)もまた非負値をとることに注意してください。このとき、これらの関数のルベーグ積分の間には以下の関係\begin{equation*}\int_{X}fd\mu =\int_{A}f_{A}d\mu +\int_{B}f_{B}d\mu
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{A\sqcup B}fd\mu =\int_{A}f_{A}d\mu +\int_{B}f_{B}d\mu
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(f_{A}\)の\(A\)上のルベーグ積分は\(f\)の\(A\)上のルベーグ積分と一致し、\(f_{B}\)の\(B\)上のルベーグ積分は\(f\)の\(B\)上のルベーグ積分と一致するため、すなわち、\begin{eqnarray*}\int_{A}f_{A}d\mu &=&\int_{A}fd\mu \\
\int_{B}f_{B}d\mu &=&\int_{B}fd\mu
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の関係を、\begin{equation*}
\int_{A\sqcup B}fd\mu =\int_{A}fd\mu +\int_{B}fd\mu
\end{equation*}と表現できます。つまり、ルベーグ可測集合を2つのルベーグ可測集合に分割した場合、個々の集合におけるルベーグ積分の和をとればもとの集合におけるルベーグ積分の値が得られるということです。以上の性質を非負値をとる関数のルベーグ積分に関する加法性（additivity）と呼びます。

零集合の補集合上でのルベーグ積分

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。\(X\)の部分集合であるような零集合\(A\)を任意に選びます。零集合はルベーグ可測集合であるため\(A\in \mathfrak{M}_{\mu }\)であるとともに、零集合の定義より、\begin{equation*}\mu \left( A\right) =0
\end{equation*}です。\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)かつ\(A\in \mathfrak{M}_{\mu }\)であるため\(X\backslash A\in \mathfrak{M}_{\mu }\)ですが、\(f\)の\(X\backslash A\)上におけるルベーグ積分は\(X\)上におけるルベーグ積分と一致します。つまり、\begin{equation*}\int_{X}fd\mu =\int_{X\backslash A}fd\mu
\end{equation*}が成り立ちます。\(X\)上のルベーグ積分を導出する際、\(X\)から零集合を除いてもルベーグ積分の値は変化しないということです。