多変数の有界関数の定数倍のルベーグ積分

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)に加えてルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)からなる測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}0\leq \mu \left( X\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つということです。その上で、\(X\)を定義域とする有界な多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\}
\end{equation*}が有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられた状況において、実数\(\lambda \in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\begin{equation*}\lambda f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。関数\(f\)がルベーグ積分可能である場合には関数\(\lambda f\)もまたルベーグ積分可能であるとともに、両者のルベーグ積分の間には以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\lambda fd\mu =\lambda \int_{X}fd\mu
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、関数\(f\)のルベーグ積分の\(\lambda \)倍をとれば、それは関数\(\lambda f\)のルベーグ積分と一致します。

命題（有界関数の定数倍のルベーグ積分）

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。実数\(\lambda \in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\(\lambda f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が\(X\)上においてルベーグ積分可能である場合には\(\lambda f\)もまた\(X\)上においてルベーグ積分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\lambda fd\mu =\lambda \int_{X}fd\mu
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例（有界なルベーグ可測関数の定数倍のルベーグ積分）

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界なルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界なルベーグ可測関数はルベーグ積分可能であるため\(f\)は\(X\)上においてルベーグ積分可能です。実数\(\lambda \in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\begin{equation*}\lambda f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。すると先の命題より\(\lambda f\)もまた\(X\)上においてルベーグ積分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\lambda fd\mu =\lambda \int_{X}fd\mu
\end{equation*}が成り立ちます。

例（有界関数の定数倍のルベーグ積分）

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。以下の関数\begin{equation*}
-f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(f\)が\(X\)上においてルベーグ積分可能である場合には、先の命題より\(-f\)もまた\(X\)上においてルベーグ積分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{X}-fd\mu =-\int_{X}fd\mu
\end{equation*}が成り立ちます。

演習問題

問題（有界関数の定数倍のルベーグ積分）

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(X\)上でルベーグ積分可能であるものとします。実数\(\lambda \in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\begin{equation*}\lambda f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、本文中で示した命題より、\(\lambda f\)もまた\(X\)上でルベーグ積分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\lambda fd\mu =\lambda \int_{X}fd\mu
\end{equation*}が成り立ちます。本文中の証明では、有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界関数がルベーグ積分可能であることと、その関数がルベーグ可測関数であることは必要十分であるという事実を利用しました。この事実を利用せず、同様の主張が成り立つことを示してください。

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