多変数関数に関するルベーグの支配収束定理（優収束定理）

ルベーグの支配収束定理

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)に加えてルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)からなる測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる多変数の拡大実数値ルベーグ可測関数からなる関数列\(\left\{ f_{i}\right\} \)が\(X\)上において拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)へ各点収束するとともに、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X:f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \leq
f_{2}\left( \boldsymbol{x}\right) \leq \cdots
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)もまた非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{X}fd\mu =\lim_{i\rightarrow +\infty }\int_{X}f_{i}d\mu
\end{equation*}が成り立ちます（単調収束定理）。では、非負値をとるとは限らない拡大実数値ルベーグ可測関数列について同様の主張が成り立つことを保証するためには、その間数列はどのような条件を満たしていればよいのでしょうか。順番に考えます。

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数からなる関数列\(\left\{ f_{i}\right\} \)が\(X\)上において拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)へ各点収束するものとします。つまり、この関数列\(\left\{ f_{i}\right\} \)の一般項は拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}であるとともに、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in X:\lim_{i\rightarrow +\infty }f_{i}\left(
\boldsymbol{x}\right) =f\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。ルベーグ可測関数列の各点極限はルベーグ可測であるため、\(f\)もまた拡大実数値ルベーグ可測関数であることに注意してください。

以上の関数列\(\left\{ f_{i}\right\} \)に対して、以下の3つの条件を満たす拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が存在する状況を想定します。

1つ目の条件は、関数\(g\)は\(X\)上において非負値をとること、すなわち、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X:0\leq g\left( \boldsymbol{x}\right) \leq +\infty
\end{equation*}すなわち、\(X\)上において、\begin{equation*}0\leq g\leq +\infty
\end{equation*}が成り立つということです。

2つ目の条件は、関数列\(\left\{ f_{i}\right\} \)の要素である任意の関数\(f_{i}\)について、\(g\)が定める値が\(\left\vert f_{i}\right\vert \)が定める値以上であること、すなわち、\begin{equation*}\forall i\in \mathbb{N} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:\left\vert f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right)
\right\vert \leq g\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}すなわち、\(X\)上において、\begin{equation*}\forall i\in \mathbb{N} :\left\vert f_{i}\right\vert \leq g
\end{equation*}が成り立つということです。このことを指して、\(X\)上において関数\(g\)は関数列\(\left\{ f_{i}\right\} \)を支配する（dominate）と言います。

3つ目の条件は、\(g\)が\(X\)上においてルベーグ積分可能であるということ、すなわち、\begin{equation*}\int_{X}gd\mu <+\infty
\end{equation*}が成り立つということです。

以上の条件が満たされる場合、ルベーグ積分に関する比較判定法より、関数列\(\left\{f_{i}\right\} \)の要素である関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)はいずれも\(X\)上においてルベーグ積分可能です。したがって、これらの関数の\(X\)上におけるルベーグ積分からなる実数列\begin{equation*}\left\{ \int_{X}f_{i}d\mu \right\} =\left\{ \int_{X}f_{1}d\mu
,\int_{X}f_{2}d\mu ,\cdots \right\}
\end{equation*}が得られるため、その極限\begin{equation*}
\lim_{i\rightarrow +\infty }\int_{X}f_{i}d\mu
\end{equation*}をとることができます。ただし、現時点において、この極限が有限な実数として定まるか明らかではありません。また、関数列\(\left\{ f_{i}\right\} \)の各点極限である関数\(f\)が\(X\)上においてルベーグ積分可能であるかも明らかではありません。

関数\(g\)は関数列\(\left\{ f_{i}\right\} \)を支配するため、\begin{equation*}\forall i\in \mathbb{N} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:\left\vert f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right)
\right\vert \leq g\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、極限についても、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in X:\lim_{i\rightarrow +\infty }\left\vert
f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\vert \leq \lim_{i\rightarrow
+\infty }g\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\forall \boldsymbol{x}\in X:\lim_{i\rightarrow +\infty }\left\vert
f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\vert \leq g\left( \boldsymbol{x}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。その一方で、関数\(f\)は関数列\(\left\{ f_{i}\right\} \)の各点極限であるため、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X:\lim_{i\rightarrow \infty }f_{i}\left(
\boldsymbol{x}\right) =f\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}です。したがって、\begin{equation}
\forall \boldsymbol{x}\in X:\lim_{i\rightarrow +\infty }\left\vert
f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) \right\vert =\left\vert f\left(
\boldsymbol{x}\right) \right\vert \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X:\left\vert f\left( \boldsymbol{x}\right)
\right\vert \leq g\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を得るため、ルベーグ積分に関する比較判定法より、関数\(f\)もまた\(X\)上においてルベーグ積分可能であるため、\begin{equation*}\int_{X}fd\mu <+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。しかも、これは先の実数列\(\left\{ \int_{X}f_{i}d\mu \right\} \)の極限と一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\lim_{i\rightarrow +\infty }\int_{X}f_{i}d\mu =\int_{X}fd\mu
\end{equation*}が成り立つということです。これをルベーグの支配収束定理（lebesgue dominated convergence theorem）やルベーグの優収束定理、もしくはルベーグの収束定理などと呼びます。

ルベーグの支配収束定理が要求する条件の吟味

ルベーグ関数列\(\left\{f_{i}\right\} \)がルベーグ関数\(f\)へ各点収束する状況において、関数列\(\left\{f_{i}\right\} \)を支配するとともにルベーグ積分可能であるような非負値をとる関数\(g\)が存在する場合には、各点極限\(f\)のルベーグ積分と、関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)のルベーグ積分からなる数列の極限が一致すること、すなわち、\begin{equation*}\int_{X}fd\mu =\lim_{i\rightarrow +\infty }\int_{X}f_{i}d\mu
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。他方で、関数列\(\left\{f_{i}\right\} \)を支配するとともにルベーグ積分可能であるような非負値をとる関数\(g\)が存在しない場合、同様の主張は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。

ルベーグの支配収束定理を用いたルベーグ積分列の収束判定

ルベーグの支配収束定理を踏まえると、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数からなる関数列\(\left\{ f_{i}\right\} \)のルベーグ積分列\(\left\{ \int_{X}f_{i}\right\} \)の極限を以下の手順によって評価できます。

1. 与えられたベーグ可測関数列\(\left\{ f_{i}\right\} \)の各点極限に相当する関数\(f\)を特定する。
2. 関数列\(\left\{ f_{i}\right\} \)を支配するルベーグ可測関数\(g\)を選んだ上で、\(g\)が\(X\)上でルベーグ積分可能であることを確認する。以上の条件が満たされる場合、\(\left\{ \int_{X}f_{i}\right\} \)は有限な実数へ収束する実数列になる。
3. 関数\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分を計算する。これは有限な実数として定まるとともに、\begin{equation*}\lim_{i\rightarrow +\infty }\int_{X}f_{i}d\mu =\int_{X}fd\mu \end{equation*}が成り立つ。

ルベーグの支配収束定理を用いたルベーグ積分可能性の判定

ルベーグの支配収束定理を踏まえると、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)のルベーグ積分可能性およびそのルベーグ積分を以下の手順で判定できます。

1. \(X\)上において\(f\)へ各点収束するルベーグ可測関数列\(\left\{ f_{i}\right\} \)を選ぶ。
2. \(X\)上において\(\left\{ f_{i}\right\} \)を支配するルベーグ可測関数\(g\)を選んだ上で、\(g\)が\(X\)上でルベーグ積分可能であることを確認する。以上の条件が満たされる場合、\(f\)は\(X\)上でルベーグ積分可能である。
3. 以上の条件が満たされる場合、ルベーグ積分列\(\left\{ \int_{X}f_{i}d\mu \right\} \)は有限な実数へ収束する実数列であるとともに、\begin{equation*}\int_{X}fd\mu =\lim_{i\rightarrow +\infty }\int_{X}f_{i}d\mu \end{equation*}が成り立つ。

演習問題