ファトゥの補題
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)に加えてルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)からなる測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。
有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された一様有界なルベーグ可測関数列\(\left\{ f_{i}\right\} \)が関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)へ各点収束する場合には、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists M\in \mathbb{R} ,\ \forall i\in \mathbb{N} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:\left\vert f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right)
\right\vert \leq M \\
&&\left( b\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in X:\lim_{i\rightarrow +\infty
}f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) =f\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、\(f\)もまた有界なルベーグ可測関数であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\lim_{i\rightarrow +\infty }\int_{X}f_{i}d\mu =\int_{X}fd\mu
\end{equation*}が成り立ちます（有界収束定理）。では、有限測度を持つとは限らない一般のルベーグ可測集合上に定義され、なおかつ非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数列についても同様の主張は成り立つのでしょうか。順番に考えます。
ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数列\begin{equation*}\left\{ f_{i}\right\}
\end{equation*}を構成します。つまり、この関数列の一般項\begin{equation*}
f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}は拡大実数値ルベーグ可測関数であるとともに、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in X:0\leq f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) \leq
+\infty
\end{equation*}が成り立つということです。
さらに、このルベーグ関数列\(\left\{ f_{i}\right\} \)は各点収束するものとします。つまり、関数列\(\left\{ f_{i}\right\} \)の各点極限に相当する拡大実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が存在して、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in X:\lim_{i\rightarrow +\infty }f_{i}\left(
\boldsymbol{x}\right) =f\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。非負値をとるルベーグ可測関数列の各点極限は非負値をとるルベーグ関数であるため、\(f\)もまた非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数であることに注意してください。
ルベーグ可測集合上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数のルベーグ積分は非負の拡大実数として定まるため、関数列\(\left\{f_{i}\right\} \)の要素である関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)の\(X\)上におけるルベーグ積分を要素として持つ拡大実数列\begin{equation*}\left\{ \int_{X}f_{i}d\mu \right\} =\left\{ \int_{X}f_{1}d\mu
,\int_{X}f_{2}d\mu ,\cdots \right\}
\end{equation*}が得られます。また、拡大実数列の下極限は拡大実数として定まるため、\begin{equation*}
\lim_{i\rightarrow +\infty }\inf \int_{X}f_{i}d\mu
\end{equation*}が拡大実数として定まります。各点極限\(f\)もまたルベーグ可測集合上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数であるため、\(X\)上におけるルベーグ積分\begin{equation*}\int_{X}fd\mu
\end{equation*}が拡大実数として定まりますが、両者の間には以下の関係\begin{equation*}
\int_{X}fd\mu \leq \lim_{i\rightarrow +\infty }\inf \int_{X}f_{i}d\mu
\end{equation*}が成立することが保証されます。これをファトゥの補題（Fatou’s lemma）と呼びます。つまり、非負値をとるルベーグ可測関数列が各点収束する場合、その間数列のルベーグ積分からなる拡大実数列の下極限は、各点極限のルベーグ積分以上になります。
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数からなる関数列\(\left\{ f_{i}\right\} \)が\(X\)上において拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)へ各点収束するものとする。このとき、\(f\)もまた非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{X}fd\mu \leq \lim_{i\rightarrow +\infty }\inf \int_{X}f_{i}d\mu
\end{equation*}が成り立つ。
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。拡大実数値ルベーグ可測関数列\(\left\{ f_{i}\right\} \)が拡大実数値関数\(f\)へ各点収束する場合には、\begin{equation}\forall \boldsymbol{x}\in X:\lim_{i\rightarrow +\infty }f_{i}\left(
\boldsymbol{x}\right) =f\left( \boldsymbol{x}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。また、拡大実数列が拡大実数へ収束する場合には極限と下極限が一致するため、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in X:\lim_{i\rightarrow +\infty }f_{i}\left(
\boldsymbol{x}\right) =\lim_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}\left(
\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。これと\(\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X:\lim_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}\left(
\boldsymbol{x}\right) =f\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}=f
\end{equation*}を得ます。これを用いて\(\left( 1\right) \)を言い換えると、\begin{equation*}\int_{X}\lim_{i\rightarrow +\infty }\inf f_{i}d\mu \leq \lim_{i\rightarrow
+\infty }\inf \int_{X}f_{i}d\mu
\end{equation*}を得ます。これもまたファトゥの補題と呼ばれます。
ファトウの補題は等号で成立するとは限らない
ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数からなる関数列\(\left\{f_{i}\right\} \)が\(X\)上において拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)へ各点収束する場合には、\(f\)もまた非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数であるとともに、以下の不等式\begin{equation*}\int_{X}fd\mu \leq \lim_{i\rightarrow +\infty }\inf \int_{X}f_{i}d\mu
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。この不等式は等号で成立するとは限りません。つまり、\begin{equation*}
\int_{X}fd\mu <\lim_{i\rightarrow +\infty }\inf \int_{X}f_{i}d\mu
\end{equation*}が成立し得るということです。以下の例より明らかです。
i,i+1\right) }\left( x,y\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
f_{i}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}であるものとします。\(f_{i}\)はルベーグ可測集合\(\mathbb{R} ^{2}\)上に定義された非負値をとるルベーグ可測関数です。さらに、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}に注目します。\(\mathbb{R} ^{2}\)上において\(\left\{ f_{i}\right\} \)は\(f\)へ各点収束する一方で、\begin{equation*}\int_{\mathbb{R} ^{2}}fd\mu <\lim_{i\rightarrow +\infty }\inf \int_{\mathbb{R} ^{2}}f_{i}d\mu
\end{equation*}が成り立ちます（演習問題）。
ファトゥの補題を用いたルベーグ積分列の極限の特定
ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数からなる関数列\(\left\{f_{i}\right\} \)が\(X\)上において拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)へ各点収束するものとします。このとき、ファトゥの補題より、\(f\)もまた非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{X}fd\mu \leq \lim_{i\rightarrow +\infty }\inf \int_{X}f_{i}d\mu
\end{equation*}が成り立ちます。さらに、関数列\(\left\{ f_{i}\right\} \)とその各点極限\(f\)の間に以下の関係\begin{equation*}\forall i\in \mathbb{N} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:f_{i}\left( \boldsymbol{x}\right) \leq
f\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall i\in \mathbb{N} :f_{i}\leq f
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\lim_{i\rightarrow +\infty }\int_{X}f_{i}d\mu =\int_{X}fd\mu
\end{equation*}が導かれます。
f\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立つものとする。このとき、\(f\)もまた非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\lim_{i\rightarrow +\infty }\int_{X}f_{i}d\mu =\int_{X}fd\mu
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}が与えられているものとします。関数列\(\left\{ f_{i}\right\} \)の一般項である拡大実数値関数\begin{equation*}f_{i}:\mathbb{R} ^{2}\supset \left[ a,b\right] \times \left[ a,b\right] \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を、\begin{equation*}
f_{i}=f\cdot \chi _{\left[ a+\frac{b-a}{i},b\right] \times \left[ a+\frac{b-a}{i},b\right] }
\end{equation*}と定義します。\(\left( x,y\right)\in \left[ a,b\right] \times \left[ a,b\right] \)を任意に選びます。\(i\rightarrow +\infty \)の場合には\(\frac{b-a}{i}\rightarrow 0\)となるため\(\left( x,y\right) \in \left[ a+\frac{b-a}{i},b\right] \times \left[ a+\frac{b-a}{i},b\right] \)となることを踏まえると、\begin{eqnarray*}\lim_{i\rightarrow +\infty }f_{i}\left( x,y\right) &=&\lim_{i\rightarrow
+\infty }\left( f\cdot \chi _{\left[ a+\frac{b-a}{i},b\right] \times \left[
a+\frac{b-a}{i},b\right] }\right) \left( x,y\right) \\
&=&\lim_{i\rightarrow +\infty }f\left( x,y\right) \cdot \lim_{i\rightarrow
+\infty }\chi _{\left[ a+\frac{b-a}{i},b\right] \times \left[ a+\frac{b-a}{i},b\right] }\left( x,y\right) \\
&=&f\left( x,y\right) \cdot 1 \\
&=&f\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ f_{i}\right\} \)は\(f\)へ各点収束します。さらに、特性関数の定義より、\begin{equation*}\forall i\in \mathbb{N} ,\ \forall \left( x,y\right) \in \left[ a,b\right] \times \left[ a,b\right] :f_{i}\left( x,y\right) \leq f\left( x,y\right)
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より、\begin{eqnarray*}
\int_{\left[ a,b\right] \times \left[ a,b\right] }fd\mu
&=&\lim_{i\rightarrow +\infty }\int_{\left[ a,b\right] \times \left[ a,b\right] }f_{i}d\mu \\
&=&\lim_{i\rightarrow +\infty }\int_{\left[ a,b\right] \times \left[ a,b\right] }f\cdot \chi _{\left[ a+\frac{b-a}{i},b\right] \times \left[ a+\frac{b-a}{i},b\right] }d\mu \quad \because f_{i}\text{の定義} \\
&=&\lim_{i\rightarrow +\infty }\int_{\left[ a+\frac{b-a}{i},b\right] \times \left[ a+\frac{b-a}{i},b\right] }fd\mu \quad \because \text{特性関数を用いたルベーグ積分の表現}
\end{eqnarray*}を得ます。特に、\(f\)が有界である場合には、ルベーグ積分と多重リーマン積分の関係より、\begin{equation*}\int_{\left[ a+\frac{b-a}{i},b\right] \times \left[ a+\frac{b-a}{i},b\right] }fd\mu =\int_{\left[ a+\frac{b-a}{i},b\right] \times \left[ a+\frac{b-a}{i},b\right] }f\left( x,y\right) dxdy
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\int_{\left[ a,b\right] \times \left[ a,b\right] }fd\mu =\lim_{i\rightarrow
+\infty }\int_{\left[ a+\frac{b-a}{i},b\right] \times \left[ a+\frac{b-a}{i},b\right] }f\left( x,y\right) dxdy
\end{equation*}を得ます。
\overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。関数列\(\left\{ f_{i}\right\} \)の一般項である拡大実数値関数\begin{equation*}f_{i}:\mathbb{R} ^{2}\supset \lbrack a,+\infty )\times \lbrack a,+\infty )\rightarrow
\overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を、\begin{equation*}
f_{i}=f\cdot \chi _{\left[ a,a+i\right] \times \left[ a,a+i\right] }
\end{equation*}と定義します。\(\left( x,y\right)\in \lbrack a,+\infty )\times \lbrack a,+\infty )\)を任意に選びます。\(i\rightarrow +\infty \)の場合には\(a+i\rightarrow +\infty \)となるため\(\left( x,y\right) \in \left[ a,a+i\right]\times \left[ a,a+i\right] \)となることを踏まえると、\begin{eqnarray*}\lim_{i\rightarrow +\infty }f_{i}\left( x,y\right) &=&\lim_{i\rightarrow
+\infty }\left( f\cdot \chi _{\left[ a,a+i\right] \times \left[ a,a+i\right] }\right) \left( x,y\right) \\
&=&\lim_{i\rightarrow +\infty }f\left( x,y\right) \cdot \lim_{i\rightarrow
+\infty }\chi _{\left[ a,a+i\right] \times \left[ a,a+i\right] }\left(
x,y\right) \\
&=&f\left( x,y\right) \cdot 1 \\
&=&f\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ f_{i}\right\} \)は\(f\)へ各点収束します。さらに、特性関数の定義より、\begin{equation*}\forall i\in \mathbb{N} ,\ \forall \left( x,y\right) \in \lbrack a,+\infty )\times \lbrack a,+\infty
):f_{i}\left( x,y\right) \leq f\left( x,y\right)
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より、\begin{eqnarray*}
\int_{\lbrack a,+\infty )\times \lbrack a,+\infty )}fd\mu
&=&\lim_{i\rightarrow +\infty }\int_{[a,+\infty )\times \lbrack a,+\infty
)}f_{i}d\mu \\
&=&\lim_{i\rightarrow +\infty }\int_{[a,+\infty )\times \lbrack a,+\infty
)}f\cdot \chi _{\left[ a,a+i\right] \times \left[ a,a+i\right] }d\mu \quad
\because f_{i}\text{の定義} \\
&=&\lim_{i\rightarrow +\infty }\int_{\left[ a,a+i\right] \times \left[ a,a+i\right] }fd\mu \quad \because \text{特性関数を用いたルベーグ積分の表現}
\end{eqnarray*}を得ます。特に、\(f\)が有界である場合には、ルベーグ積分と多重リーマン積分の関係より、\begin{equation*}\int_{\left[ a,a+i\right] \times \left[ a,a+i\right] }fd\mu =\int_{\left[
a,a+i\right] \times \left[ a,a+i\right] }f\left( x,y\right) dxdy
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\int_{\lbrack a,+\infty )\times \lbrack a,+\infty )}fd\mu
=\lim_{i\rightarrow +\infty }\int_{\left[ a,a+i\right] \times \left[ a,a+i\right] }f\left( x,y\right) dxdy
\end{equation*}を得ます。
\end{equation*}が与えられているものとします。関数列\(\left\{ f_{i}\right\} \)の一般項である拡大実数値関数\begin{equation*}f_{i}:\mathbb{R} ^{2}\supset (-\infty ,b]\times (-\infty ,b]\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を、\begin{equation*}
f_{i}=f\cdot \chi _{\left[ b-i,b\right] \times \left[ b-i,b\right] }
\end{equation*}と定義します。\(\left( x,y\right)\in (-\infty ,b]\times (-\infty ,b]\)を任意に選びます。\(i\rightarrow +\infty \)の場合には\(b-i\rightarrow +\infty \)となるため\(\left( x,y\right) \in \left[ b-i,b\right] \times \left[b-i,b\right] \)となることを踏まえると、\begin{eqnarray*}\lim_{i\rightarrow +\infty }f_{i}\left( x,y\right) &=&\lim_{i\rightarrow
+\infty }\left( f\cdot \chi _{\left[ b-i,b\right] \times \left[ b-i,b\right] }\right) \left( x,y\right) \\
&=&\lim_{i\rightarrow +\infty }f\left( x,y\right) \cdot \lim_{i\rightarrow
+\infty }\chi _{\left[ b-i,b\right] \times \left[ b-i,b\right] }\left(
x,y\right) \\
&=&f\left( x,y\right) \cdot 1 \\
&=&f\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ f_{i}\right\} \)は\(f\)へ各点収束します。さらに、特性関数の定義より、\begin{equation*}\forall i\in \mathbb{N} ,\ \forall \left( x,y\right) \in (-\infty ,b]\times (-\infty ,b]:f_{i}\left(
x,y\right) \leq f\left( x,y\right)
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より、\begin{eqnarray*}
\int_{(-\infty ,b]\times (-\infty ,b]}fd\mu &=&\lim_{i\rightarrow +\infty
}\int_{(-\infty ,b]\times (-\infty ,b]}f_{i}d\mu \\
&=&\lim_{i\rightarrow +\infty }\int_{(-\infty ,b]\times (-\infty ,b]}f\cdot
\chi _{\left[ b-i,b\right] \times \left[ b-i,b\right] }d\mu \quad \because
f_{i}\text{の定義} \\
&=&\lim_{i\rightarrow +\infty }\int_{\left[ b-i,b\right] \times \left[ b-i,b\right] }fd\mu \quad \because \text{特性関数を用いたルベーグ積分の表現}
\end{eqnarray*}を得ます。特に、\(f\)が有界である場合には、ルベーグ積分と多重リーマン積分の関係より、\begin{equation*}\int_{\left[ b-i,b\right] \times \left[ b-i,b\right] }fd\mu =\int_{\left[
b-i,b\right] \times \left[ b-i,b\right] }f\left( x,y\right) dxdy
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\int_{(-\infty ,b]\times (-\infty ,b]}fd\mu =\lim_{i\rightarrow +\infty
}\int_{\left[ b-i,b\right] \times \left[ b-i,b\right] }f\left( x,y\right)
dxdy
\end{equation*}を得ます。
\end{equation*}が与えられているものとします。関数列\(\left\{ f_{i}\right\} \)の一般項である拡大実数値関数\begin{equation*}f_{i}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を、\begin{equation*}
f_{i}=f\cdot \chi _{\left[ -i,i\right] \times \left[ -i,i\right] }
\end{equation*}と定義します。\(\left( x,y\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選びます。\(i\rightarrow +\infty \)の場合には\(-i\rightarrow +\infty \)かつ\(i\rightarrow +\infty \)となるため\(\left( x,y\right) \in \left[ -i,i\right]\times \left[ -i,i\right] \)となることを踏まえると、\begin{eqnarray*}\lim_{i\rightarrow +\infty }f_{i}\left( x,y\right) &=&\lim_{i\rightarrow
+\infty }\left( f\cdot \chi _{\left[ -i,i\right] \times \left[ -i,i\right] }\right) \left( x,y\right) \\
&=&\lim_{i\rightarrow +\infty }f\left( x,y\right) \cdot \lim_{i\rightarrow
+\infty }\chi _{\left[ -i,i\right] \times \left[ -i,i\right] }\left(
x,y\right) \\
&=&f\left( x,y\right) \cdot 1 \\
&=&f\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ f_{i}\right\} \)は\(f\)へ各点収束します。さらに、特性関数の定義より、\begin{equation*}\forall i\in \mathbb{N} ,\ \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}:f_{i}\left( x,y\right) \leq f\left( x,y\right)
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より、\begin{eqnarray*}
\int_{\mathbb{R} ^{2}}fd\mu &=&\lim_{i\rightarrow +\infty }\int_{\mathbb{R} ^{2}}f_{i}d\mu \\
&=&\lim_{i\rightarrow +\infty }\int_{\mathbb{R} ^{2}}f\cdot \chi _{\left[ -i,i\right] \times \left[ -i,i\right] }d\mu \quad
\because f_{i}\text{の定義} \\
&=&\lim_{i\rightarrow +\infty }\int_{\left[ -i,i\right] \times \left[ -i,i\right] }fd\mu \quad \because \text{特性関数を用いたルベーグ積分の表現}
\end{eqnarray*}を得ます。特に、\(f\)が有界である場合には、ルベーグ積分と多重リーマン積分の関係より、\begin{equation*}\int_{\left[ -i,i\right] \times \left[ -i,i\right] }fd\mu =\int_{\left[ -i,i\right] \times \left[ -i,i\right] }f\left( x,y\right) dxdy
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R} ^{2}}fd\mu =\lim_{i\rightarrow +\infty }\int_{\left[ -i,i\right] \times \left[ -i,i\right] }f\left( x,y\right) dxdy
\end{equation*}を得ます。
ファトゥの補題を用いたルベーグ積分列の発散判定
ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数からなる関数列\(\left\{f_{i}\right\} \)が\(X\)上において拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)へ各点収束するものとします。このとき、ファトゥの補題より、\(f\)もまた非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数であるとともに、以下の関係\begin{equation}\int_{X}fd\mu \leq \lim_{i\rightarrow +\infty }\inf \int_{X}f_{i}d\mu
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。特に、\begin{equation*}
\int_{X}fd\mu =+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}\lim_{i\rightarrow +\infty }\inf \int_{X}f_{i}d\mu =+\infty
\end{equation*}を得ます。拡大実数列の極限が1つの拡大実数として定まる場合、下極限と極限は一致するため、このとき、\begin{equation*}
\lim_{i\rightarrow +\infty }\int_{X}f_{i}d\mu =+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。以上の議論より、\begin{equation*}
\int_{X}fd\mu =+\infty \Rightarrow \lim_{i\rightarrow +\infty
}\int_{X}f_{i}d\mu =+\infty
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。
演習問題
\end{equation*}が成り立ちます。実際には、\(\left\{ f_{i}\right\} \)が\(X\)上のほとんどいたるところで\(f\)へ各点収束する場合にも同様の主張が成り立つことを示してください。
i,i+1\right) }\left( x,y\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
f_{i}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}であるものとします。また、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}に注目します。\(f_{i}\)はルベーグ可測集合上に定義された非負値をとるルベーグ可測関数であるとともに、\(\mathbb{R} ^{2}\)上において\(\left\{ f_{i}\right\} \)は\(f\)へ各点収束し、さらに、\begin{equation*}\int_{\mathbb{R} ^{2}}fd\mu <\lim_{i\rightarrow +\infty }\inf \int_{\mathbb{R} ^{2}}f_{i}d\mu
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
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