有界なルベーグ可測関数はルベーグ積分可能

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)に加えてルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)からなる測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}0\leq \mu \left( X\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つということです。その上で、\(X\)を定義域とする有界な多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\}
\end{equation*}が有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。言い換えると、以下の条件\begin{equation*}\exists U\in \mathbb{R} ,\ \exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:L\leq f\left( \boldsymbol{x}\right) \leq U
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、\(U\)は\(f\)の値域の上界であり、\(L\)は下界です。

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がルベーグ可測関数である場合には、\(f\)は\(X\)上においてルベーグ積分可能であることが保証されます。つまり、\(f\)の\(X\)上における上ルベーグ積分と下ルベーグ積分\begin{eqnarray*}\overline{\int }_{X}fd\mu &=&\inf \left\{ \int_{X}gd\mu \in \mathbb{R} \ |\ g\text{は}f\leq g\text{を満たす単関数}\right\} \\
\underline{\int }_{X}fd\mu &=&\sup \left\{ \int_{X}hd\mu \in \mathbb{R} \ |\ h\text{は}h\leq f\text{を満たす単関数}\right\}
\end{eqnarray*}について、\begin{equation*}
\overline{\int }_{X}fd\mu =\underline{\int }_{X}fd\mu
\end{equation*}が成り立つということです。この場合、\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分は、\begin{equation*}\int_{X}fd\mu =\overline{\int }_{X}fd\mu =\underline{\int }_{X}fd\mu
\end{equation*}と定義されます。証明では単関数によるルベーグ可測関数の近似定理を利用します。

有界なルベーグ積分可能な関数はルベーグ可測

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界なルベーグ可測関数はルベーグ積分可能であることが明らかになりました。実は、その逆の主張も成り立ちます。つまり、有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界な関数がルベーグ積分可能である場合、その関数はルベーグ可測関数になるということです。証明は必要な道具が揃った段階で行います。

有界関数のルベーグ積分可能性の特徴づけ

以上の2つの命題より、有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界関数に関しては、それがルベーグ積分可能であることと、ルベーグ可測関数であることが必要十分であることが明らかになりました。