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多変数関数のルベーグ積分

多変数の有界関数のルベーグ積分と多重リーマン積分の関係

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有界閉区間上に定義された有界関数のルベーグ積分

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)に加えてルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)からなる測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。それぞれの\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)に対して\(a_{i}<b_{i}\)を満たす実数\(a_{i},b_{i}\in \mathbb{R} \)を端点とする\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界な閉区間\begin{equation*}R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{equation*}を定義します。区間はルベーグ可測関数であるため\(R\in \mathfrak{M}_{\mu }\)であり、なおかつその測度\begin{eqnarray*}\mu \left( R\right) &=&\mu \left( \left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots
\times \left[ a_{n},b_{n}\right] \right) \\
&=&\left( b_{1}-a_{1}\right) \times \cdots \times \left( b_{n}-a_{n}\right)
\end{eqnarray*}は有限な実数です。さて、この区間上に定義された多変数関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が有界であるものとします。つまり、\(f\)の値域\begin{eqnarray*}f\left( R\right) &=&\left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{x}\in R\right\} \\
&=&\left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{x}\in \left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[
a_{n},b_{n}\right] \right\} \\
&=&\left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ a_{1}\leq x_{1}\leq b_{1}\wedge \cdots \wedge a_{n}\leq x_{n}\leq
b_{n}\right\}
\end{eqnarray*}が有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。言い換えると、以下の条件\begin{equation*}\exists U\in \mathbb{R} ,\ \exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in R:L\leq f\left( \boldsymbol{x}\right) \leq U
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、\(U\)は\(f\)の値域の上界であり、\(L\)は下界です。

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \)は有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界関数であるため、上ルベーグ積分と下ルベーグ積分\begin{eqnarray*}\left( L\right) \ \overline{\int }_{R}fd\mu &=&\inf \left\{ \int_{R}gd\mu
\in \mathbb{R} \ |\ g\text{は}f\leq g\text{を満たす単関数}\right\} \\
\left( L\right) \ \underline{\int }_{R}fd\mu &=&\sup \left\{ \int_{R}hd\mu
\in \mathbb{R} \ |\ h\text{は}h\leq f\text{を満たす単関数}\right\}
\end{eqnarray*}がそれぞれ有限な実数として定まります。\(f\)が\(R\)上においてルベーグ積分可能であることとは、\begin{equation*}\left( L\right) \ \overline{\int }_{R}fd\mu =\left( L\right) \ \underline{\int }_{R}fd\mu
\end{equation*}が成り立つこととして定義されるとともに、\(f\)の\(R\)上におけるルベーグ積分は、\begin{equation*}\left( L\right) \ \int_{R}fd\mu =\left( L\right) \ \overline{\int }_{R}fd\mu
=\left( L\right) \ \underline{\int }_{R}fd\mu
\end{equation*}と定義されます。

 

有界閉区間上に定義された有界関数の多重リーマン積分

それぞれの\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)に対して\(a_{i}<b_{i}\)を満たす実数\(a_{i},b_{i}\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間\begin{equation*}R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{equation*}上に定義された多変数の有界関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられた状況を想定します。

区間\(R\)を形作る\(n\)個の区間\(\left[ a_{1},b_{1}\right] ,\cdots ,\left[ a_{n},b_{n}\right]\)の分割\begin{gather*}P_{1}=\left\{ x_{0}^{\left( 1\right) },x_{1}^{\left( 1\right) },\cdots
,x_{m_{1}}^{\left( 1\right) }\right\} =\left\{ x_{k_{1}}^{\left( 1\right)
}\right\} _{k_{1}=0}^{m_{1}} \\
\vdots \\
P_{n}=\left\{ x_{0}^{\left( n\right) },x_{1}^{\left( n\right) },\cdots
,x_{m_{m}}^{\left( n\right) }\right\} =\left\{ x_{k_{n}}^{\left( n\right)
}\right\} _{k_{n}=0}^{m_{n}}
\end{gather*}がそれぞれ与えられれば、それらの直積\begin{eqnarray*}
P &=&P_{1}\times \cdots \times P_{n} \\
&=&\left\{ \left( x_{k_{1}}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{k_{n}}^{\left(
n\right) }\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ k_{1}\in \left\{ 0,\cdots ,m_{1}\right\} \wedge \cdots \wedge
k_{n}\in \left\{ 0,\cdots ,m_{n}\right\} \right\}
\end{eqnarray*}としてもとの区間\(R\)の分割は定義されます。

区間\(R\)の分割\(P\)を選べば、\(R\)の部分集合である小区間\begin{equation*}R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}=\left[ x_{k_{1}-1}^{\left( 1\right)
},x_{k_{1}}^{\left( 1\right) }\right] \times \cdots \times \left[
x_{k_{n}-1}^{\left( n\right) },x_{k_{n}}^{\left( n\right) }\right] \end{equation*}の体積は、\begin{equation*}
\mathrm{vol}\left( R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\right) =\left( x_{k_{1}}^{\left(
1\right) }-x_{k_{1}-1}^{\left( 1\right) }\right) \times \cdots \times \left(
x_{k_{n}}^{\left( n\right) }-x_{k_{n}-1}^{\left( n\right) }\right)
\end{equation*}と定まりますが、分割\(P\)のもとでの\(f\)の上リーマン和は、\begin{equation*}U\left( f,P\right) =\sum_{k_{1}=1}^{m_{1}}\cdots \sum_{k_{n}=1}^{m_{n}}\left[
\mathrm{vol}\left( R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\right) \cdot \sup f\left(
R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\right) \right] \end{equation*}と定義され、分割\(P\)のもとでの\(f\)の下リーマン和は、\begin{equation*}L\left( f,P\right) =\sum_{k_{1}=1}^{m_{1}}\cdots \sum_{k_{n}=1}^{m_{n}}\left[
\mathrm{vol}\left( R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\right) \cdot \inf f\left(
R_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\right) \right] \end{equation*}と定義されます。上リーマン和がとり得る値からなる集合は、\begin{equation*}
\left\{ U\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}R\text{の分割}\right\}
\end{equation*}ですが、\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)上における上リーマン積分はこの集合の下限\begin{equation*}\left( R\right) \ \overline{\int }\cdots \overline{\int }_{R}f\left(
\boldsymbol{x}\right) d\boldsymbol{x}=\inf \left\{ U\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}R\text{の分割}\right\}
\end{equation*}として定義されます。一方、下リーマン和がとり得る値からなる集合は、\begin{equation*}
\left\{ L\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}R\text{の分割}\right\}
\end{equation*}ですが、\(f\)の\(\left[ a,b\right] \)上における下リーマン積分はこの集合の上限\begin{equation*}\left( R\right) \ \underline{\int }\cdots \underline{\int }_{R}f\left(
\boldsymbol{x}\right) d\boldsymbol{x}=\sup \left\{ L\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}R\text{の分割}\right\}
\end{equation*}として定義されます。

関数\(f\)が区間\(R\)上において有界である場合、上リーマン積分と下リーマン積分はそれぞれ有限な実数として定まりますが、両者は一致するとは限りません。上リーマン積分と下リーマン積分の値が一致する場合には、すなわち、\begin{equation*}\left( R\right) \ \overline{\int }\cdots \overline{\int }_{R}f\left(
\boldsymbol{x}\right) d\boldsymbol{x}=\left( R\right) \ \underline{\int }\cdots \underline{\int }_{R}f\left( \boldsymbol{x}\right) d\boldsymbol{x}
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(R\)上においてダルブー積分可能であると言います。さらに、\(f\)が\(R\)上においてダルブー積分可能であることと、\(f\)が\(R\)上において\(n\)重リーマン積分可能であることは必要十分であるとともに、この場合、\(f\)の\(R \)上における\(n\)重リーマン積分が、\begin{equation*}\left( R\right) \ \int \cdots \int_{R}f\left( \boldsymbol{x}\right) d\boldsymbol{x}=\left( R\right) \ \overline{\int }\cdots \overline{\int }_{R}f\left( \boldsymbol{x}\right) d\boldsymbol{x}=\left( R\right) \
\underline{\int }\cdots \underline{\int }_{R}f\left( \boldsymbol{x}\right) d\boldsymbol{x}
\end{equation*}として定まります。

 

ルベーグ積分としての上リーマン積分と下リーマン積分

上リーマン積分と下リーマン積分をそれぞれ階段関数のルベーグ積分を用いて以下のように表現できます。

命題(ルベーグ積分としての上リーマン積分と下リーマン積分)
それぞれの\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)に対して\(a_{i}<b_{i}\)を満たす実数\(a_{i},b_{i}\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間\begin{equation*}R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{equation*}上に定義された多変数の有界関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。\(f\)の\(R\)上における上リーマン積分について、\begin{equation*}\left( R\right) \ \overline{\int }\cdots \overline{\int }_{R}f\left(
\boldsymbol{x}\right) d\boldsymbol{x}=\inf \left\{ \left( L\right) \
\int_{R}gd\mu \in \mathbb{R} \ |\ g\text{は}f\leq g\text{を満たす階段関数}\right\}
\end{equation*}が成り立つ。また、\(f\)の\(R\)上における下リーマン積分について、\begin{equation*}\left( R\right) \ \underline{\int }\cdots \underline{\int }_{R}f\left(
\boldsymbol{x}\right) d\boldsymbol{x}=\sup \left\{ \left( L\right) \
\int_{R}hd\mu \in \mathbb{R} \ |\ h\text{は}h\leq f\text{を満たす階段関数}\right\}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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多重リーマン積分可能な関数はルベーグ積分可能

それぞれの\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)に対して\(a_{i}<b_{i}\)を満たす実数\(a_{i},b_{i}\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間\begin{equation*}R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{equation*}上に定義された多変数の有界関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(R\)上で\(n\)重積分可能である状況を想定します。つまり、\(f\)の\(R\)上における\(n\)重積分\begin{equation*}\left( R\right) \ \int \cdots \int_{R}f\left( \boldsymbol{x}\right) d\boldsymbol{x}
\end{equation*}が有限な実数として定まるということです。この場合、\(f\)は\(R\)上においてルベーグ積分可能であるとともに、ルベーグ積分の値は\(n\)重積分と一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\left( L\right) \ \int_{R}fd\mu =\left( R\right) \ \int \cdots
\int_{R}f\left( \boldsymbol{x}\right) d\boldsymbol{x}
\end{equation*}が成り立つということです。

命題(多重リーマン積分可能な関数はルベーグ積分可能)
それぞれの\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)に対して\(a_{i}<b_{i}\)を満たす実数\(a_{i},b_{i}\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な閉区間\begin{equation*}R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{equation*}上に定義された多変数の有界関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。\(f\)が\(R\)上で\(n\)重リーマン積分可能であるならば、\(f\)は\(R\)上でルベーグ積分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\left( L\right) \ \int_{R}fd\mu =\left( R\right) \ \int \cdots
\int_{R}f\left( \boldsymbol{x}\right) d\boldsymbol{x}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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ルベーグ積分可能な関数は多重リーマン積分可能であるとは限らない

有界閉区間上に定義された多変数の有界関数が多重リーマン積分可能である場合にはルベーグ積分可能であるとともに、ルベーグ積分の値は多重リーマン積分の値とと一致することが明らかになりました。したがって、ルベーグ積分は多重リーマン積分の一般化です。

逆の主張は成り立つとは限りません。つまり、有界閉区間上に定義された多変数の有界関数がルベーグ積分可能である場合、その関数は多重リーマン積分可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(ディリクレの関数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \wedge y\in \mathbb{Q} \right) \\
2 & \left( if\ x\not\in \mathbb{Q} \wedge y\not\in \mathbb{Q} \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は\(\left[ 0,1\right]\times \left[ 0,1\right] \)上においてルベーグ積分可能である一方で2重リーマン積分可能ではありません(演習問題)。

 

演習問題

問題(ディリクレの関数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \wedge y\in \mathbb{Q} \right) \\
2 & \left( if\ x\not\in \mathbb{Q} \wedge y\not\in \mathbb{Q} \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は\(\left[ 0,1\right]\times \left[ 0,1\right] \)上においてルベーグ積分可能である一方で2重リーマン積分可能ではないことを示してください。
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