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多変数関数のルベーグ積分

多変数の単関数のルベーグ積分

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単関数の標準形のルベーグ積分

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)に加えてルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)からなる測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}0\leq \mu \left( X\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つということです。その上で、\(X\)を定義域とする多変数の単関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)はルベーグ可測関数であるとともに、その値域が有限集合\begin{eqnarray*}f\left( X\right) &=&\left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\} \\
&=&\left\{ a_{1},\cdots ,a_{K}\right\}
\end{eqnarray*}であるということです。

単関数\(f\)の値域に属するそれぞれの値\(a_{k}\in f\left(X\right) \)に対して、\(f\)による集合\(\left\{ a_{k}\right\} \)の逆像を、\begin{equation*}\left\{ f=a_{k}\right\} =\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) =a_{k}\right\}
\end{equation*}と表記し、さらに集合\(\left\{ f=a_{k}\right\} \)に関する特性関数を\begin{equation*}\chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}で表記します。つまり、\(\chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して定める値は、\begin{equation*}\chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ f\left( \boldsymbol{x}\right) =a_{k}\right) \\
0 & \left( if\ f\left( \boldsymbol{x}\right) \not=a_{k}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。単関数\(f\)の標準形とは、\begin{equation*}\sum_{k=1}^{K}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\right) :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と定義される関数ですが、これはもとの単関数\(f\)と一致します。つまり、以下の関係\begin{equation*}f=\sum_{k=1}^{K}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\right)
\end{equation*}が成り立つため、単関数\(f\)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}f\left( \boldsymbol{x}\right) &=&\left( \sum_{k=1}^{K}\left( a_{k}\cdot
\chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\right) \right) \left( \boldsymbol{x}\right)
\\
&=&\sum_{k=1}^{K}\left[ a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\left(
\boldsymbol{x}\right) \right] \\
&=&a_{1}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{1}\right\} }\left( \boldsymbol{x}\right)
+\cdots +a_{K}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{K}\right\} }\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{eqnarray*}となります。

集合\(\left\{ f=a_{k}\right\} \)はルベーグ可測であるため、ルベーグ測度\(\mu \)はその測度\(\mu \left( \left\{ f=a_{k}\right\} \right) \)を特定します。加えて、\(\left\{ f=a_{k}\right\} \)は有限測度を持つルベーグ集合\(X\)の部分集合であるため、その測度\(\mu \left( \left\{f=a_{k}\right\} \right) \)もまた有限な実数として定まります。したがって、その定数倍\(a_{k}\cdot \mu \left( \left\{f=a_{k}\right\} \right) \)もまた有限な実数であり、それらの総和\begin{equation*}\sum_{k=1}^{K}\left[ a_{k}\cdot \mu \left( \left\{ f=a_{k}\right\} \right) \right] \end{equation*}もまた有限な実数として定まります。このような事情を踏まえた上で、単関数\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分(Lebesgue integral of \(f\) over \(X\))を、\begin{equation*}\int_{X}fd\mu =\sum_{k=1}^{K}\left[ a_{k}\cdot \mu \left( \left\{
f=a_{k}\right\} \right) \right] \end{equation*}と定義します。

改めて整理すると、有限測度を持つ\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された単関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の\(X\)上におけるルベーグ積分は、\begin{equation*}\int_{X}fd\mu =\sum_{k=1}^{K}\left[ a_{k}\cdot \mu \left( \left\{
f=a_{k}\right\} \right) \right] \end{equation*}と定義されます。先の議論より、これは有限な実数として定まることが保証されます。

例(定数関数のルベーグ積分)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合上に定義された定数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して定める値は、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =c
\end{equation*}と表されるということです。ただし、\(f\)の定義域\(X\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界閉区間であり、それぞれの番号\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)に対して\(a_{i}<b_{i}\)を満たす実数\(a_{i},b_{i}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}X=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{equation*}と表現されるものとします。\(f\)の定義域である区間\(X\)はルベーグ可測であるとともに、その測度は、\begin{eqnarray*}\mu \left( X\right) &=&\mu \left( \left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots
\times \left[ a_{n},b_{n}\right] \right) \\
&=&\left( b_{1}-a_{1}\right) \times \cdots \times \left( b_{n}-a_{n}\right)
\\
&\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}であるため\(X\)は有限測度を持ちます。また、定数関数は単関数であるため\(f\)は単関数です。\(f\)の値域は、\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ c\right\}
\end{equation*}であるため、\(f\)の標準形は、\begin{equation*}c\cdot \chi _{\left\{ f=c\right\} }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}であるとともに、これは\(f\)と一致します。\(c\in f\left( X\right) \)に対して、\begin{eqnarray*}\left\{ f=c\right\} &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) =c\right\} \\
&=&X
\end{eqnarray*}であることを踏まえると、\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分は、\begin{eqnarray*}\int_{X}fd\mu &=&c\cdot \mu \left( \left\{ f=c\right\} \right) \\
&=&c\cdot \mu \left( X\right) \\
&=&c\cdot \left( b_{1}-a_{1}\right) \times \cdots \times \left(
b_{n}-a_{n}\right)
\end{eqnarray*}となります。

例(ルベーグ可測集合に関する特性関数のルベーグ積分)
有限測度を持つ\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)およびその部分集合であるようなルベーグ可測集合\(A\in \mathfrak{M}_{\mu }\)から特性関数\begin{equation*}\chi _{A}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。つまり、\(f\)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して定める値は、\begin{equation*}\chi _{A}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ \boldsymbol{x}\in A\right) \\
0 & \left( if\ \boldsymbol{x}\in X\backslash A\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。ルベーグ可測集合に関する特性関数は単関数です。\(f\)の値域は、\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ 1,0\right\}
\end{equation*}であるため、\(f\)の標準形は、\begin{equation*}1\cdot \chi _{\left\{ f=1\right\} }+0\cdot \chi _{\left\{ f=0\right\} }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}であるとともに、これは\(f\)と一致します。ただし、\begin{eqnarray*}\left\{ f=1\right\} &=&A \\
\left\{ f=0\right\} &=&X\backslash A
\end{eqnarray*}であることを踏まえると、\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分は、\begin{eqnarray*}\int_{X}fd\mu &=&1\cdot \mu \left( \left\{ f=1\right\} \right) +0\cdot \mu
\left( \left\{ f=0\right\} \right) \\
&=&1\cdot \mu \left( A\right) +0\cdot \mu \left( X\backslash A\right) \\
&=&\mu \left( A\right)
\end{eqnarray*}となります。

 

一般の単関数のルベーグ積分

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が、以下の条件\begin{equation*}X=\bigsqcup\limits_{k=1}^{K}A_{k}
\end{equation*}を満たす有限個の互いに素な何らかのルベーグ可測集合\(A_{1},\cdots,A_{K}\in \mathfrak{M}_{\mu }\)と定数\(a_{1},\cdots,a_{K}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f=\sum_{k=1}^{K}\left( a_{k}\cdot \chi _{A_{k}}\right)
\end{equation*}と表されることは、\(f\)が単関数であるための必要十分条件です。

以上のように表現された単関数\(f\)の定義域\(X\)が有限測度を持つ場合、ルベーグ積分は以下のように定まります。

命題(一般の単関数のルベーグ積分)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)が有限測度と持つとともに、\(X\)上に定義された単関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が、以下の条件\begin{equation*}X=\bigsqcup\limits_{k=1}^{K}A_{k}
\end{equation*}を満たす有限個の互いに素な何らかのルベーグ可測集合\(A_{1},\cdots,A_{K}\in \mathfrak{M}_{\mu }\)と定数\(a_{1},\cdots,a_{K}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f=\sum_{k=1}^{K}\left( a_{k}\cdot \chi _{A_{k}}\right)
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)の\(X\)上でのルベーグ積分は、\begin{equation*}\int_{X}fd\mu =\sum_{k=1}^{K}\left[ a_{k}\cdot \mu \left( A_{k}\right) \right] \end{equation*}と定まる。

証明

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単関数のルベーグ積分の一意性

同一の単関数が与えられた場合でも、それを表現する方法は一意的であるとは限りませんが、どのように表現した場合でも、ルベーグ積分の値は一定です。

命題(単関数のルベーグ積分の一意性)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)が有限測度と持つとともに、\(X\)上に定義された単関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が、以下の条件\begin{equation*}X=\bigsqcup\limits_{k=1}^{K}A_{k}=\bigsqcup\limits_{l=1}^{L}B_{l}
\end{equation*}を満たす有限個の互いに素な何らかのルベーグ可測集合\(A_{1},\cdots,A_{K}\in \mathfrak{M}_{\mu }\)および\(B_{1},\cdots,B_{L}\in \mathfrak{M}_{\mu }\)と定数\(a_{1},\cdots,a_{K}\in \mathbb{R} \)および\(b_{1},\cdots ,b_{L}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f=\sum_{k=1}^{K}\left( a_{k}\cdot \chi _{A_{k}}\right) =\sum_{l=1}^{L}\left(
b_{l}\cdot \chi _{B_{l}}\right)
\end{equation*}と表されるものとする。このとき、以下の関係\begin{equation*}
\int_{X}fd\mu =\sum_{k=1}^{K}\left[ a_{k}\cdot \mu \left( A_{k}\right) \right] =\sum_{l=1}^{L}\left[ b_{l}\cdot \mu \left( B_{l}\right) \right] \end{equation*}が成り立つ。

証明

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零集合上に定義された単関数のルベーグ積分

零集合はルベーグ可測集合であり、その測度は\(0\)であるため、零集合は有限測度を持つルベーグ可測集合です。したがって、零集合上に定義された単関数のルベーグ積分が定義可能ですが、その値は必ず\(0\)になります。

命題(零集合上に定義された単関数のルベーグ積分)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)が、\begin{equation*}\mu \left( X\right) =0
\end{equation*}を満たすものとする。\(X\)上に定義された単関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\int_{X}fd\mu =0
\end{equation*}が成り立つ。

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演習問題

問題(単関数のルベーグ積分)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)上の有界閉区間上に定義された定数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(\left(x,y\right) \in \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)に対して定める値は、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =c
\end{equation*}と表されるということです。\(f\)が単関数であることを確認した上で、以下の値\begin{equation*}\int_{\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] }fd\mu
\end{equation*}を求めてください。

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問題(単関数のルベーグ積分)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)上の有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\right] \times \left[ 0,2\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \left[0,2\right] \times \left[ 0,2\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ \left( x,y\right) \in \lbrack 0,1)\times \lbrack 0,1)\right)
\\
2 & \left( if\ \left( x,y\right) \in \left[ 1,2\right] \times \lbrack
0,1)\right) \\
3 & \left( if\ \left( x,y\right) \in \lbrack 0,1)\times \left[ 1,2\right] \right) \\
4 & \left( if\ \left( x,y\right) \in \left[ 1,2\right] \times \left[ 1,2\right] \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が単関数であることを確認した上で、以下の値\begin{equation*}\int_{\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] }fd\mu
\end{equation*}を求めてください。

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