多変数の有界関数のルベーグ積分の単調性

非負値をとる有界関数のルベーグ積分は非負

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)に加えてルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)からなる測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}0\leq \mu \left( X\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つということです。その上で、\(X\)を定義域とする有界な多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\}
\end{equation*}が有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。さらに、\(f\)は\(X\)上において非負値をとるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X:f\left( \boldsymbol{x}\right) \geq 0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\geq 0
\end{equation*}が成り立つということです。\(f\)が\(X\)上においてルベーグ積分可能である場合、先の条件のもとでは、ルベーグ積分の値についても、\begin{equation*}\int_{X}fd\mu \geq 0
\end{equation*}が成り立ちます。

有界関数のルベーグ積分の単調性

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された2つの有界関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)および\(g\)の値域\begin{eqnarray*}f\left( X\right) &=&\left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\} \\
g\left( X\right) &=&\left\{ g\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\}
\end{eqnarray*}が有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。加えて、これらの関数は以下の条件\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X:f\left( \boldsymbol{x}\right) \leq g\left(
\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\leq g
\end{equation*}を満たすものとします。\(f,g\)がともに\(X\)上においてルベーグ積分可能である場合、先の条件のもとでは、ルベーグ積分の値の間にも同様の大小関係\begin{equation*}\int_{X}fd\mu \leq \int_{X}gd\mu
\end{equation*}が成り立ちます。以上の性質を有界関数のルベーグ積分に関する単調性（monotonicity）と呼びます。

有界関数の絶対値関数のルベーグ積分

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられれば、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left\vert f\right\vert \left( \boldsymbol{x}\right) =\left\vert f\left(
\boldsymbol{x}\right) \right\vert
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
\left\vert f\right\vert :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。\(f\)が\(X\)上においてルベーグ積分可能である場合には、\(\left\vert f\right\vert \)もまた\(X\)上においてルベーグ積分可能であることが保証されるとともに、関数\(\left\vert f\right\vert \)のルベーグ積分の値と、もとの関数\(f\)のルベーグ積分の値の絶対値の間には以下の関係\begin{equation*}\left\vert \int_{X}fd\mu \right\vert \leq \int_{X}\left\vert f\right\vert
d\mu
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、\(\left\vert f\right\vert \)のルベーグ積分は\(f\)のルベーグ積分の絶対値以上になるということです。

有界関数のルベーグ積分の範囲

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられれば、有界関数の定義より\(f\)の値域\(f\left( X\right) \)は有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため、\begin{equation*}\exists m\in \mathbb{R} ,\ \exists M\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:m\leq f\left( \boldsymbol{x}\right) \leq M
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(m\)は\(f\left( X\right) \)の下界であり、\(M\)は\(f\left( X\right) \)の上界です。さらに、\(f\)が\(X\)上においてルベーグ積分可能である場合には、以下の不等式\begin{equation*}m\cdot \mu \left( X\right) \leq \int_{X}fd\mu \leq M\cdot \mu \left(
X\right)
\end{equation*}が成立します。

演習問題