多変数関数のルベーグ積分の単調性

非負値関数のルベーグ積分の非負性

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)に加えてルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)からなる測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる多変数の拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in X:0\leq f\left( \boldsymbol{x}\right) \leq +\infty
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
0\leq f\leq +\infty
\end{equation*}が成り立つということです。加えて、\(f\)が\(X\)上でルベーグ積分可能である場合には、ルベーグ積分に関しても以下の大小関係\begin{equation*}0\leq \int_{X}fd\mu <+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、非負値をとるルベーグ可測関数がルベーグ積分可能である場合、ルベーグ積分の値は非負の有限な実数になります。

ルベーグ積分の単調性

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された2つの拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。加えて、これらの関数は以下の条件\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in X:f\left( \boldsymbol{x}\right) \leq g\left(
\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\leq g
\end{equation*}を満たすものとします。さらに、\(f,g\)が\(X\)上でルベーグ積分可能である場合、これらの関数のルベーグ積分の間にも同様の大小関係\begin{equation*}\int_{X}fd\mu \leq \int_{X}gd\mu
\end{equation*}が成り立ちます。以上の性質をルベーグ積分に関する単調性（monotonicity）と呼びます。

絶対値関数のルベーグ積分

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が\(X\)上においてルベーグ積分可能である場合には、\begin{equation*}\int_{X}fd\mu <+\infty
\end{equation*}が成り立つため、その絶対値についても、\begin{equation*}
\left\vert \int_{X}fd\mu \right\vert <+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。

以上の状況において関数\begin{equation*}
\left\vert f\right\vert :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義すると、これはそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、\begin{equation*}\left\vert f\right\vert \left( \boldsymbol{x}\right) =\left\vert f\left(
\boldsymbol{x}\right) \right\vert
\end{equation*}を定めます。ルベーグ可測関数の絶対値として定義される関数はルベーグ可測関数であるため\(\left\vert f\right\vert \)もまた\(X\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数ですが、以上の状況のもとでは\(\left\vert f\right\vert \)もまた\(X\)上においてルベーグ積分可能になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\int_{X}\left\vert f\right\vert d\mu <+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。加えて、関数\(\left\vert f\right\vert \)のルベーグ積分ともとの関数\(f\)のルベーグ積分の間には以下の関係\begin{equation*}\left\vert \int_{X}fd\mu \right\vert \leq \int_{X}\left\vert f\right\vert
d\mu
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、関数\(\left\vert f\right\vert \)のルベーグ積分は、もとの関数\(f\)のルベーグ積分の絶対値以上になります。

演習問題