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多変数関数のルベーグ積分

多変数の単関数のルベーグ積分の単調性

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非負値をとる単関数の標準形のルベーグ積分は非負

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)に加えてルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)からなる測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}0\leq \mu \left( X\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つということです。その上で、\(X\)を定義域とする多変数の単関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)はルベーグ可測関数であるとともに、その値域が有限集合\begin{eqnarray*}f\left( X\right) &=&\left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\} \\
&=&\left\{ a_{1},\cdots ,a_{K}\right\}
\end{eqnarray*}であるということです。

単関数\(f\)の値域に属するそれぞれの値\(a_{k}\in f\left(X\right) \)に対して、\(f\)による集合\(\left\{ a_{k}\right\} \)の逆像を、\begin{equation*}\left\{ f=a_{k}\right\} =\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) =a_{k}\right\}
\end{equation*}と表記し、さらに集合\(\left\{ f=a_{k}\right\} \)に関する特性関数を\begin{equation*}\chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}で表記します。つまり、\(\chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して定める値は、\begin{equation*}\chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ f\left( \boldsymbol{x}\right) =a_{k}\right) \\
0 & \left( if\ f\left( \boldsymbol{x}\right) \not=a_{k}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。単関数\(f\)の標準形とは、\begin{equation*}\sum_{k=1}^{K}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\right) :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と定義される関数ですが、これはもとの単関数\(f\)と一致します。つまり、以下の関係\begin{equation*}f=\sum_{k=1}^{K}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\right)
\end{equation*}が成り立つため、単関数\(f\)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}f\left( \boldsymbol{x}\right) &=&\left( \sum_{k=1}^{K}\left( a_{k}\cdot
\chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\right) \right) \left( \boldsymbol{x}\right)
\\
&=&\sum_{k=1}^{K}\left[ a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\left(
\boldsymbol{x}\right) \right] \\
&=&a_{1}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{1}\right\} }\left( \boldsymbol{x}\right)
+\cdots +a_{K}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{K}\right\} }\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{eqnarray*}となります。さらに、\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分は有限な実数として定まるとともに、その値は、\begin{equation*}\int_{X}fd\mu =\sum_{k=1}^{K}\left[ a_{k}\cdot \mu \left( \left\{
f=a_{k}\right\} \right) \right] \end{equation*}と定まります。特に、\(f\)が非負値をとる場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X:f\left( \boldsymbol{x}\right) \geq 0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall k\in \left\{ 1,\cdots ,K\right\} :a_{k}\geq 0
\end{equation*}が成り立つ場合には、ルベーグ積分の値についても、\begin{equation*}
\int_{X}fd\mu \geq 0
\end{equation*}が成り立ちます。

命題(非負値をとる単関数の標準形のルベーグ積分は非負)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された単関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の標準形が、\begin{equation*}f=\sum_{k=1}^{K}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\right)
\end{equation*}であるとともに、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in X:f\left( \boldsymbol{x}\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つものとする。このとき、\begin{equation*}
\int_{X}fd\mu \geq 0
\end{equation*}が成り立つ。

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非負値をとる単関数のルベーグ積分は非負

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が、以下の条件\begin{equation*}X=\bigsqcup\limits_{k=1}^{K}A_{k}
\end{equation*}を満たす有限個の互いに素な何らかのルベーグ可測集合\(A_{1},\cdots,A_{K}\in \mathfrak{M}_{\mu }\)と定数\(a_{1},\cdots,a_{K}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f=\sum_{k=1}^{K}\left( a_{k}\cdot \chi _{A_{k}}\right)
\end{equation*}と表されることは、\(f\)が単関数であるための必要十分条件です。さらに、\(f\)が非負値をとることと、定数\(a_{1},\cdots ,a_{K}\)がいずれも非負であることは必要十分条件です。

命題(単関数の非負性の特徴づけ)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された単関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が、以下の条件\begin{equation*}X=\bigsqcup\limits_{k=1}^{K}A_{k}
\end{equation*}を満たすルベーグ可測集合\(A_{1},\cdots ,A_{K}\in \mathfrak{M}_{\mu }\)と定数\(a_{1},\cdots ,a_{K}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f=\sum_{k=1}^{K}\left( a_{k}\cdot \chi _{A_{k}}\right)
\end{equation*}と表されるものとする。このとき、以下の2つの命題\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in X:f\left( \boldsymbol{x}\right) \geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \forall k\in \left\{ 1,\cdots ,K\right\} :a_{k}\geq 0
\end{eqnarray*}は必要十分である。

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以上の命題を踏まえると以下を得ます。

命題(非負値をとる単関数のルベーグ積分は非負)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された単関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が、以下の条件\begin{equation*}X=\bigsqcup\limits_{k=1}^{K}A_{k}
\end{equation*}を満たすルベーグ可測集合\(A_{1},\cdots ,A_{K}\in \mathfrak{M}_{\mu }\)と定数\(a_{1},\cdots ,a_{K}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f=\sum_{k=1}^{K}\left( a_{k}\cdot \chi _{A_{k}}\right)
\end{equation*}と表されるとともに、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in X:f\left( \boldsymbol{x}\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つものとする。このとき、\begin{equation*}
\int_{X}fd\mu \geq 0
\end{equation*}が成り立つ。

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結論をまとめます。

命題(非負値をとる単関数のルベーグ積分は非負)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された単関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X:f\left( \boldsymbol{x}\right) \geq 0
\end{equation*}を満たす場合には、\begin{equation*}
\int_{X}fd\mu \geq 0
\end{equation*}が成り立つ。

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単関数のルベーグ積分の単調性

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された2つの単関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が以下の条件\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in X:f\left( \boldsymbol{x}\right) \leq g\left(
\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を満たす場合には、これらのルベーグ積分の間にも同様の大小関係\begin{equation*}
\int_{X}fd\mu \leq \int_{X}gd\mu
\end{equation*}が成立することが保証されます。以上の性質を単関数のルベーグ積分に関する単調性(monotonicity)と呼びます。

命題(単関数のルベーグ積分の単調性)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された2つの単関数\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X:f\left( \boldsymbol{x}\right) \leq g\left(
\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を満たす場合には、\begin{equation*}
\int_{X}fd\mu \leq \int_{X}gd\mu
\end{equation*}が成り立つ。

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単関数の絶対値関数のルベーグ積分

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された単関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられれば、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left\vert f\right\vert \left( \boldsymbol{x}\right) =\left\vert f\left(
\boldsymbol{x}\right) \right\vert
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
\left\vert f\right\vert :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能ですが、これもまた単関数です。さらに、関数\(\left\vert f\right\vert \)のルベーグ積分の値と、もとの関数\(f\)のルベーグ積分の値の絶対値の間には以下の関係\begin{equation*}\left\vert \int_{X}fd\mu \right\vert \leq \int_{X}\left\vert f\right\vert
d\mu
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、単関数\(f\)に関しては、\(\left\vert f\right\vert \)のルベーグ積分は\(f\)のルベーグ積分の絶対値以上になります。

命題(単関数の絶対値関数のルベーグ積分)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された単関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。関数\(\left\vert f\right\vert :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、これは単関数であるとともに、\begin{equation*}\left\vert \int_{X}fd\mu \right\vert \leq \int_{X}\left\vert f\right\vert
d\mu
\end{equation*}が成り立つ。

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