非負値をとるルベーグ可測関数のルベーグ積分の単調性
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)および\(\mathbb{R} ^{n}\)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)に加えてルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)からなる測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n},\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義され、非負値をとる2つの多変数の拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。つまり、\begin{eqnarray*}
\forall \boldsymbol{x} &\in &X:0\leq f\left( \boldsymbol{x}\right) \leq
+\infty \\
\forall \boldsymbol{x} &\in &X:0\leq g\left( \boldsymbol{x}\right) \leq
+\infty
\end{eqnarray*}が成り立つということです。加えて、これらの関数は以下の条件\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in X:f\left( \boldsymbol{x}\right) \leq g\left(
\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\leq g
\end{equation*}を満たすものとします。この場合、ルベーグ積分の値の間にも同様の大小関係\begin{equation*}
\int_{X}fd\mu \leq \int_{X}gd\mu
\end{equation*}が成り立ちます。以上の性質を非負値をとるルベーグ可測関数のルベーグ積分に関する単調性（monotonicity）と呼びます。
\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\int_{X}fd\mu \leq \int_{X}gd\mu
\end{equation*}が成り立つ。
g &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}の間に以下の条件\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x}\in X:f\left( \boldsymbol{x}\right) \leq g\left(
\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。ルベーグ可測関数は拡大実数値ルベーグ可測関数であるため、先の命題より、\begin{equation*}
\int_{X}fd\mu \leq \int_{X}gd\mu
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、非負値をとるルベーグ可測関数が有限な実数だけをとる場合でもそのルベーグ積分は有限な実数として定まるとは限らないため、先の不等式の両辺の値は有限な実数であるとは限りません。
非負値をとる有界なルベーグ可測関数のルベーグ積分の範囲
ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界かつ非負値をとるルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}
\exists M>0,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:0\leq f\left( \boldsymbol{x}\right) \leq M
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists M>0:0\leq f\leq M
\end{equation*}が成り立つということです。以上の条件のもとでは、\begin{equation*}
0\leq \int_{X}fd\mu \leq M\cdot \mu \left( X\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。
\end{equation*}を満たす場合には、\begin{equation*}
0\leq \int_{X}fd\mu \leq M\cdot \mu \left( X\right)
\end{equation*}が成り立つ。
演習問題
g &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}が\(X\)上において\(f\leq g\)を満たす場合には、\begin{equation*}\int_{X}fd\mu \leq \int_{X}gd\mu
\end{equation*}が成り立つことを本文中で示しました。\(X\)上のほとんどいたるところで\(f\leq g\)が成り立つ場合にも同様の主張が成り立つことを示してください。
