単調収束定理

単調収束定理

実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)に加えてルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)からなる測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。

実数空間\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数からなる関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が\(X\)上において拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)へ各点収束する場合には、\(f\)もまた非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{X}fd\mu \leq \lim_{n\rightarrow +\infty }\inf \int_{X}f_{n}d\mu
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました（ファトゥの補題）。その一方で、この不等式は等号で成立するとは限らず、\begin{equation*}
\int_{X}fd\mu <\lim_{n\rightarrow +\infty }\inf \int_{X}f_{n}d\mu
\end{equation*}が成立し得ることを明らかにしました。

以上の条件に加えて関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が単調増加であることを認める場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall x\in X:f_{1}\left( x\right) \leq f_{2}\left( x\right) \leq \cdots
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f_{1}\leq f_{2}\leq \cdots
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation}
\int_{X}fd\mu =\lim_{n\rightarrow +\infty }\inf \int_{X}f_{n}d\mu \quad \cdots (1)
\end{equation}が成立することを保証できます。ただし、拡大実数列\(\left\{ \int_{X}f_{n}d\mu\right\} \)が拡大実数へ収束する場合、その下極限と極限は一致するため、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\inf \int_{X}f_{n}d\mu =\lim_{n\rightarrow
+\infty }\int_{X}f_{n}d\mu
\end{equation*}を得ます。これを用いて\(\left( 1\right) \)を言い換えると、\begin{equation*}\int_{X}fd\mu =\lim_{n\rightarrow +\infty }\int_{X}f_{n}d\mu
\end{equation*}となります。つまり、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の各点極限\(f\)のルベーグ積分の値は、関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)の要素である個々の関数のルベーグ積分からなる拡大実数列\(\left\{ \int_{X}f_{n}\right\} \)の極限と一致します。これを単調収束定理（monotone convergence theorem）と呼びます。

単調収束定理は単調減少列については成り立たない

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数からなる関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)が\(X\)上において拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)へ各点収束するとともに、\begin{equation}\forall x\in X:f_{1}\left( x\right) \leq f_{2}\left( x\right) \leq \cdots
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つならば、単調収束定理より、\(f\)もまた非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数であるとともに、以下の関係\begin{equation}\int_{X}fd\mu =\lim_{n\rightarrow +\infty }\int_{X}f_{n}d\mu \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。一方、\(\left( 1\right) \)の代わりに、\begin{equation*}\forall x\in X:f_{1}\left( x\right) \geq f_{2}\left( x\right) \geq \cdots
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(\left( 2\right) \)は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。

単調収束定理を用いたルベーグ積分列の収束判定

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数からなる関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)が\(X\)上において拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)へ各点収束するとともに、\begin{equation*}\forall x\in X:f_{1}\left( x\right) \leq f_{2}\left( x\right) \leq \cdots
\end{equation*}が成り立つならば、単調収束定理より、\(f\)もまた非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{X}fd\mu =\lim_{n\rightarrow +\infty }\int_{X}f_{n}d\mu
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、以下の関係\begin{eqnarray*}
\int_{X}fd\mu &<&+\infty \Rightarrow \lim_{n\rightarrow +\infty
}\int_{X}f_{n}d\mu <+\infty \\
\int_{X}fd\mu &=&+\infty \Rightarrow \lim_{n\rightarrow +\infty
}\int_{X}f_{n}d\mu =+\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、各点極限\(f\)のルベーグ積分の値を調べることにより、ルベーグ積分列\(\left\{ \int_{X}f_{n}d\mu\right\} \)の収束可能性を明らかにできます。

単調収束定理を用いたルベーグ積分可能性の判定

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数からなる関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)が\(X\)上において拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)へ各点収束するとともに、\begin{equation*}\forall x\in X:f_{1}\left( x\right) \leq f_{2}\left( x\right) \leq \cdots
\end{equation*}が成り立つならば、単調収束定理より、\(f\)もまた非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{X}fd\mu =\lim_{n\rightarrow +\infty }\int_{X}f_{n}d\mu
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、以下の関係\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\int_{X}f_{n}d\mu &<&+\infty \Rightarrow
\int_{X}fd\mu <+\infty \\
\lim_{n\rightarrow +\infty }\int_{X}f_{n}d\mu &=&+\infty \Rightarrow
\int_{X}fd\mu =+\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、ルベーグ積分列\(\left\{ \int_{X}f_{n}d\mu \right\} \)の収束可能性を調べることにより、各点極限\(f\)のルベーグ積分可能性を明らかにできます。

では、ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が与えられたとき、先の主張を用いて\(f\)のルベーグ積分可能性を検討するためには、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)をどのように構成すればよいでしょうか。\(X\)の部分集合であるようなルベーグ可測集合からなる列\(\left\{ A_{n}\right\} \)を選びます。ただし、\begin{equation}A_{1}\subset A_{2}\subset \cdots \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つものとします。その上で、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項である関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を、\begin{equation*}f_{n}=f\cdot \chi _{A_{n}}
\end{equation*}と定義します。仮定より\(A_{n}\)はルベーグ可測集合であり、ルベーグ可測集合に関する特性関数はルベーグ可測関数であるため\(\chi _{A_{n}}\)はルベーグ可測関数です。ルベーグ可測関数どうしの積はルベーグ可測関数であるため\(f\cdot \chi _{A_{n}}\)すなわち\(f_{n}\)はルベーグ可測関数です。加えて、\(\left( 1\right) \)および特性関数の定義より、\begin{equation*}\chi _{A_{1}}\leq \chi _{A_{2}}\leq \cdots
\end{equation*}が成り立ちますが、\(f\)は非負値をとるため、\begin{equation*}f\cdot \chi _{A_{1}}\leq f\cdot \chi _{A_{2}}\leq \cdots
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f_{1}\leq f_{2}\leq \cdots
\end{equation*}が成り立ちます。以上の議論より、関数列\begin{equation*}
\left\{ f_{n}\right\} =\left\{ f\cdot \chi _{A_{n}}\right\}
\end{equation*}は単調収束定理が要求する条件を満たすことが明らかになりました。

演習問題