ユークリッド空間上の区間の集合族
ユークリッド空間上の区間(直方体)という概念を定義するとともに、区間からなる集合族は集合半環であることを示します。
ユークリッド空間上の区間(直方体)という概念を定義するとともに、区間からなる集合族は集合半環であることを示します。
ユークリッド空間上の区間(直方体)の外延量(体積)を特定する集合関数を定義した上で、この集合関数がσ-加法測度であることを示します。
ユークリッド空間上に存在する区間塊と呼ばれる集合の外延量を定義します。
ユークリッド空間上に存在する有限個の互いに素な区間の和集合として表現される集合を区間塊(基本集合)と呼びます。すべての区間塊からなる集合族は集合環です。
ユークリッド空間上の区間塊は有限個の互いに素な区間の和集合として表される集合ですが、それらの区間の体積の総和として区間塊の体積を定義します。区間塊の体積はσ-加法測度としての性質を満たします。
ユークリッド空間上の体積関数を拡張することにより、ユークリッド空間上の任意の集合の外延量を測定可能な測度概念(ルベーグ外測度)を定義します。
ユークリッド空間上のルベーグ可測集合と呼ばれる集合を定義するとともに、ルベーグ可測集合からなる集合族がσ-代数であることを示します。
ユークリッド空間上のルベーグの定義域をルベーグ可測集合族に制限することにより得られる写像をルベーグ測度と呼びます。ルベーグ外測度とは異なり、ルベーグ測度はσ-加法性を満たします。
ユークリッド空間の部分集合の外測度がゼロである場合、そのような集合を零集合と呼びます。ある集合がルベーグ可測かつそのルベーグ測度がゼロであることは、その集合が零集合であるための必要十分条件です。
ユークリッド空間上のルベーグ可測集合族は開集合系を部分集合として持つσ-代数ですが、他にも同様の性質を満たす集合族は存在するのでしょうか。ボレル集合族は同様の性質を満たす最小の集合族です。
n次元ユークリッド空間上のボレル集合族は、n個の数直線上のボレル集合族の直積σ-代数と一致します。
ルベーグ測度に関する確認テストです。
本節を学ぶ上で以下の知識が役に立ちます。
実数を特徴づける公理を出発点とした上で、実数空間上に定義された演算、順序、そして実数の連続性などについて議論します。さらに、数列や収束列、実数空間上の位相、実数空間上に定義された関数の性質などについて議論します。
ユークリッド空間を定義した上で、そこでの点列や位相の性質および各種の写像(ベクトル値関数・多変数関数・多変数のベクトル値関数)の極限や連続性などについて解説します。これらの知識は後に微分や積分について学ぶ際の土台となります。
長さや面積、体積などはいずれも同一種類の小さい量を加え合わせることでより大きな量をつくることができるという意味において外延的な量です。一般に、外延量は測度と呼ばれる概念として一般化されます。ここでは実数空間(数直線)の部分集合を測定対象とするルベーグ測度について解説します。
本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での基礎になります。
ユークリッド空間の部分集合を測定対象とするルベーグ測度について解説します。