数直線上のボレル集合族とユークリッド空間上のボレル集合族
数直線\(\mathbb{R} \)上の開集合系\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \)を部分集合として持つ\(\sigma \)-代数をすべて集めることにより得られる集合族を、\begin{equation*}\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }=\left\{
\mathfrak{B}_{\lambda }\subset 2^{\mathbb{R} }\ |\ \forall \lambda \in \Lambda :\mathfrak{B}_{\lambda }\text{は}\mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \subset \mathfrak{B}_{\lambda }\text{を満たす}\sigma \text{-代数}\right\}
\end{equation*}と表記します。その上で、\(\mathbb{R} \)上のボレル集合族は、\begin{equation*}\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) =\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{B}_{\lambda }
\end{equation*}と定義されます。\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \)は\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \)を部分集合として持つ最小の\(\sigma \)-代数です。
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合系\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)が与えられたとき、\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を部分集合として持つ\(\sigma \)-代数をすべて集めることにより得られる集合族を、\begin{equation*}\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }=\left\{
\mathfrak{B}_{\lambda }\subset 2^{\mathbb{R} ^{n}}\ |\ \forall \lambda \in \Lambda :\mathfrak{B}_{\lambda }\text{は}\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \subset \mathfrak{B}_{\lambda }\text{を満たす}\sigma \text{-代数}\right\}
\end{equation*}と表記します。その上で、\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合族は、\begin{equation*}\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) =\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{B}_{\lambda }
\end{equation*}と定義されます。\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)は\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を部分集合として持つ最小の\(\sigma \)-代数です。
では、数直線上のボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \)とユークリッド空間上のボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)の間には何らかの関係が成立するのでしょうか。
数直線上のボレル集合族どうしの直積σ-代数
自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選びます。その上で、数直線上に存在する\(n\)個のボレル集合\(B_{1},\cdots ,B_{n}\in \mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を選び、これらの直積\begin{equation*}\prod_{i=1}^{n}B_{n}=B_{1}\times \cdots \times B_{n}\subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}をとります。さらに、このような直積をすべて集めることにより得られる集合族\begin{equation*}
\mathcal{A}=\left\{ \prod_{i=1}^{n}B_{n}\subset \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :B_{i}\in \mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \right\}
\end{equation*}を構成します。これはユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合族であることに注意してください。つまり、\begin{equation*}\mathcal{A}\subset 2^{R^{n}}
\end{equation*}が成り立つということです。
その上で、\(\mathcal{A}\)を部分集合として持つ\(\sigma \)-代数をすべて集めることにより得られる集合族\begin{equation*}\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }=\left\{
\mathfrak{A}_{\lambda }\subset 2^{R^{n}}\ |\ \forall \lambda \in \Lambda :\mathfrak{A}_{\lambda }\text{は}\mathcal{A}\subset \mathfrak{A}_{\lambda }\text{を満たす}\sigma \text{-代数}\right\}
\end{equation*}を構成します。\(2^{R^{n}}\)は\(\sigma \)-代数であるとともに\(\mathcal{A}\subset 2^{R^{n}}\)が成り立つため、\(\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }\)は非空であることに注意してください。その上で、共通部分\begin{equation*}\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{A}_{\lambda }
\end{equation*}をとれば、これは\(\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の最小\(\sigma \)-代数になります。つまり、\(\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{A}_{\lambda }\)もまた\(\mathcal{A}\)を部分集合として持つ\(\sigma \)-代数であるとともに、同じく\(\mathcal{A}\)を部分集合として持つ任意の\(\sigma \)-代数の部分集合であるということです。言い換えると、\(\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{A}_{\lambda }\)は\(\mathcal{A}\)から生成される\(\sigma \)-代数\(\sigma \left( \mathcal{A}\right) \)であるということです。そこでこれを、\begin{eqnarray*}\bigotimes_{i=1}^{n}\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) &=&\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \otimes \cdots \otimes \mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \\
&=&\sigma \left( \mathcal{A}\right) \\
&=&\sigma \left( \left\{ \prod_{i=1}^{n}B_{n}\subset \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :B_{i}\in \mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \right\} \right) \\
&=&\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{A}_{\lambda }
\end{eqnarray*}で表記し、\(n\)個のボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) ,\cdots ,\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \)の直積\(\sigma \)-代数(product \(\sigma \)-algebra of \(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) ,\cdots ,\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \))と呼びます。
\end{equation*}を定義する。ただし、\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \)は\(\mathbb{R} \)上のボレル集合族である。さらに、\(\mathcal{A}\)を部分集合族として持つ\(\mathbb{R} ^{n}\)上の\(\sigma \)-代数をすべて集めることにより得られる集合族\begin{equation*}\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }=\left\{
\mathfrak{A}_{\lambda }\subset 2^{R^{n}}\ |\ \forall \lambda \in \Lambda :\mathfrak{A}_{\lambda }\text{は}\mathcal{A}\subset \mathfrak{A}_{\lambda }\text{を満たす}\sigma \text{-代数}\right\}
\end{equation*}に対して、\begin{equation*}
\bigotimes_{i=1}^{n}\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) =\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{A}_{\lambda }
\end{equation*}と定義する。\(\bigotimes_{i=1}^{n}\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \)は\(\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の最小\(\sigma \)-代数である。すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists \lambda \in \Lambda :\bigotimes_{i=1}^{n}\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) =\mathfrak{A}_{\lambda } \\
&&\left( b\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :\bigotimes_{i=1}^{n}\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \subset \mathfrak{A}_{\lambda }
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。
数直線上のボレル集合族の直積σ-代数としてのユークリッド空間上のボレル集合族
数直線上のボレル集合族の直積\(\sigma \)-代数はユークリッド空間上のボレル集合族と一致します。
\end{equation*}を定義する。ただし、\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \)は\(\mathbb{R} \)上のボレル集合族である。さらに、\(\mathcal{A}\)を部分集合族として持つ\(\mathbb{R} ^{n}\)上の\(\sigma \)-代数をすべて集めることにより得られる集合族\begin{equation*}\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }=\left\{
\mathfrak{A}_{\lambda }\subset 2^{R^{n}}\ |\ \forall \lambda \in \Lambda :\mathfrak{A}_{\lambda }\text{は}\mathcal{A}\subset \mathfrak{A}_{\lambda }\text{を満たす}\sigma \text{-代数}\right\}
\end{equation*}に対して、\begin{equation*}
\bigotimes_{i=1}^{n}\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) =\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{A}_{\lambda }
\end{equation*}と定義する。このとき、\begin{equation*}
\bigotimes_{i=1}^{n}\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) =\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right)
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上のボレル集合族である。
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