ユークリッド空間上のボレル集合

ボレル集合族

私たちの目標はユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の外延量を測定することですが、まずは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界な右半開区間からなる集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)の要素である区間のみを外延量の測定対象とし、区間の外延量を特定する体積関数\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)を導入した上で、これが\(\sigma \)-加法測度であることを示しました。つまり、区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)は集合半環であるとともに、体積関数\(m\)は非負性と\(\sigma \)-加法性を満たします。さらに、体積関数\(m\)のカラテオドリ拡張としてルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R} ^{n}}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)を構成することにより、\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合\(A\)について、その外延量である外測度\(\mu ^{\ast }\left(A\right) \)を測定できるようになりました。ただ、外測度\(\mu ^{\ast }\)は\(\sigma \)-加法測度ではないという問題があります。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)上のすべての集合を外延量の測定対象とした場合、「ある集合の外延量は、それを互いに素な部分に分割した場合の各部分の外延量の合計になる」という直感的事実が成り立つとは限らなくなってしまいます。外測度\(\mu ^{\ast }\)が\(\sigma \)-加法測度としての性質を満たすようにするためにはその定義域を縮小すればよいのですが、定義域を縮小しすぎると多くの集合の外延量を測定できなくなってしまいます。外測度\(\mu ^{\ast }\)が\(\sigma \)-加法測度としての性質を満たしつつ、なるべく多くの集合の外延量を測定できるようにするためにはどうすればよいかという問題意識のもと、外測度\(\mu^{\ast }\)の新たな定義域の候補としてルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)と呼ばれる\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合族を導入し、それが\(\sigma \)-代数としての性質を満たすことを示しました。その上で、外測度\(\mu ^{\ast }\)の定義域を可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)へ縮小することにより得られるルベーグ測度\(\mu \)が\(\sigma \)-加法測度としての性質を満たすことを確認しました。

ルベーグ可測集合の具体例として、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の任意の開集合がルベーグ可測であることを確認しました。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)とルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)の間には以下の包含関係\begin{equation*}\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \subset \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立ちます。なお、開集合系\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)は\(\sigma \)-代数ではありません。実際、開集合\(A\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を任意に選んだとき、その補集合\(A^{c}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合ですが、閉集合は開集合であるとは限らず、したがって\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)は補集合について閉じていないからです。

では、開集合系\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を部分集合として持つ\(\sigma \)-代数は可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)の他にも存在するのでしょうか。具体例を挙げると、\(\mathbb{R} ^{n}\)のベキ集合\(2^{\mathbb{R} ^{n}}\)は明らかにそのような集合族の1つです。これらの例から明らかであるように、\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を部分集合として持つ\(\sigma \)-代数が存在します。そこで、\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を部分集合として持つ\(\sigma \)-代数をすべて集めることにより得られる\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合族を、\begin{equation*}\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }=\left\{
\mathfrak{B}_{\lambda }\subset 2^{\mathbb{R} ^{n}}\ |\ \forall \lambda \in \Lambda :\mathfrak{B}_{\lambda }\text{は}\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \subset \mathfrak{B}_{\lambda }\text{を満たす}\sigma \text{-代数}\right\}
\end{equation*}で表記します。定義より、任意の\(\lambda \in \Lambda \)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \mathfrak{B}_{\lambda }\text{は}\sigma \text{-代数である} \\
&&\left( b\right) \ \mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \subset \mathfrak{B}_{\lambda }
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。先の議論より、ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)やユークリッド空間のべき集合\(2^{\mathbb{R} ^{n}}\)はともに\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素です。この集合族\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の共通部分を、\begin{equation*}\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) =\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{B}_{\lambda }
\end{equation*}と表記し、これをボレル集合族（family of Borel sets）と呼びます。

ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)の要素をボレル集合（Borel set）と呼びます。集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{eqnarray*}A\in \mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) &\Leftrightarrow &A\in \bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{B}_{\lambda }\quad \because \text{ボレル集合族の定義} \\
&\Leftrightarrow &\forall \lambda \in \Lambda :A\in \mathfrak{B}_{\lambda
}\quad \because \text{共通部分の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、ボレル集合\(A\)と、\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を部分集合族として持つ\(\sigma \)-代数\(\mathfrak{B}_{\lambda }\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(A\)が\(\mathfrak{B}_{\lambda }\)の要素になることが保証されます。

集合族\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda\in \Lambda }\)の要素である\(\sigma \)-代数\(\mathfrak{B}_{\lambda }\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合族であるため、\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda\in \Lambda }\)の共通部分として定義されるボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合族です。したがって、その要素であるボレル集合は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合です。共通部分の定義より、\begin{equation*}\forall \lambda \in \Lambda :\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \subset \mathfrak{B}_{\lambda }
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)は自身を定義するもととなった集合族\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)に属するすべての集合の部分集合です。さらに、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)自身もまた集合族\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素になります。つまり、\begin{equation*}\exists \lambda \in \Lambda :\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) =\mathfrak{B}_{\lambda }
\end{equation*}が成り立ちます。ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)自身もまた\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を部分集合として持つ\(\sigma \)-代数であるということです。

以上の事実は、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)が集合族\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)に属する集合の中でも最小の集合であることを意味します。ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)は\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を部分集合として持つ最小の\(\sigma \)-代数であるということです。このような事情を踏まえた上で、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を開集合系\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)から生成される最小の\(\sigma \)-代数（minimal \(\sigma \)-algebra generated by \(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)）やボレル\(\sigma \)-代数（Borel \(\sigma \)-algebra）などと呼ぶこともあります。

ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)は\(\sigma \)-代数であることが明らかになりました。したがって、\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)は空集合を要素として持つとともに、補集合と可算合併について閉じています。これらの性質を利用すると、一般の\(\sigma \)-代数と同様、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)もまた可算交叉や差集合、対称差などについても閉じていることを示すことができます。

ボレル集合はルベーグ可測

\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を部分集合として持つ\(\sigma \)-代数をすべて集めて得られる\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合族\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が与えられたとき、ボレル集合族は、\begin{equation*}\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) =\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{B}_{\lambda }
\end{equation*}と定義されますが、先の命題より\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)は\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の要素であるとともに、\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda\in \Lambda }\)の任意の要素の部分集合であるため、\begin{equation*}\forall \lambda \in \Lambda :\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \subset \mathfrak{B}_{\lambda }
\end{equation*}が成り立ちます。ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)もまた\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を部分集合族として持つ\(\sigma \)-代数であるため、\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は集合族\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素の1つです。この事実と先の包含関係を踏まえると、\begin{equation*}\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \subset \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}を得ます。つまり、任意のボレル集合はルベーグ可測です。

上の命題の逆もまた成立するのでしょうか。つまり、任意のルベーグ可測集合はボレル集合であると言えるのでしょうか。実際には、\(\mathbb{R} ^{n}\)上にはボレル集合ではないルベーグ可測集合が存在します。そのような集合を具体的に構成できるのですが、詳細は場を改めて解説します。いずれにせよ、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)はルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)の真部分集合であるということです。

空集合とユークリッド空間はボレル集合

空集合\(\phi \)とユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)はともにボレル集合です。

開集合はボレル集合

ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を部分集合として持つ最小の\(\sigma \)-代数であるため、\begin{equation*}\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \subset \mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の任意の開集合はボレル集合です。

閉集合はボレル集合

\(\mathbb{R} ^{n}\)上の任意の閉集合はボレル集合です。つまり、閉集合系\(\mathcal{A}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)とボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)の間には、\begin{equation*}\mathcal{A}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \subset \mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

有界な右半開区間はボレル集合

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界な右半開区間とは、それぞれの番号\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)に対して\(a_{i}\leq b_{i}\)を満たす実数\(a_{i},b_{i}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right) =\left[ a_{1},b_{1}\right) \times
\cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right)
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合のことです。有界な右半開区間をすべて集めることにより得られる\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合族を、\begin{equation*}\mathfrak{S}_{m}=\left\{ \prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right) \subset \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :-\infty <a_{i}\leq
b_{i}<+\infty \right\}
\end{equation*}で表記します。

任意の有界な右半開区間はボレル集合です。つまり、有界な右半開区間からなる集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)とボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)の間には、\begin{equation*}\mathfrak{S}_{m}\subset \mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

区間塊はボレル集合

有界な右半開区間を要素として持つ集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)が与えられたとき、そこから互いに素な有限個の区間\(I_{1},\cdots ,I_{K}\in \mathfrak{S}_{m}\)を任意に選んだ上で、それらの和集合\begin{equation*}\bigcup\limits_{k=1}^{K}I_{k}
\end{equation*}を作ります。このような和集合を区間塊と呼び、すべての区間塊を集めることにより得られる\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合族を、\begin{equation*}\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)
\end{equation*}で表記します。

任意の区間塊はボレル集合です。つまり、区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)とボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)の間には、\begin{equation*}\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \subset \mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

任意の区間は区間塊でもあるため、\begin{equation*}
\mathfrak{S}_{m}\subset \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。以上の事実と先の命題より、\begin{equation*}
\mathfrak{S}_{m}\subset \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \subset
\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right)
\end{equation*}を得ます。

ボレル集合族は近傍系から生成される

ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)は開集合系\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を部分集合として持つ最小の\(\sigma \)-代数ですが、実際には、ボレル集合\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を定義する際には開集合系\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)に属するすべての開集合は必要なく、\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)の部分集合から\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を定義できます。順番に解説します。

点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)と正の実数\(\varepsilon >0\)が与えられたとき、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-a_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon
\right\}
\end{eqnarray*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合です。ただし、\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はユークリッド距離関数です。

点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の近傍をすべて集めることにより得られる集合族を点\(a\)の近傍系と呼び、\begin{equation*}N\left( a\right) =\left\{ N_{\varepsilon }\left( a\right) \ |\ 0<\varepsilon
<+\infty \right\}
\end{equation*}と表記します。さらに、\(\mathbb{R} ^{n}\)上のすべての点のすべての近傍を集めてできる集合族を\(\mathbb{R} ^{n}\)の近傍系と呼び、\begin{equation*}\mathcal{N}=\left\{ N_{\varepsilon }\left( a\right) \ |\ a\in \mathbb{R} ^{n}\wedge 0<\varepsilon <+\infty \right\}
\end{equation*}と表記します。

点の近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)の近傍系\(\mathcal{N}\)と開集合系\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)の間には以下の関係\begin{equation*}\mathcal{N}\subset \mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。また、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)は開集合系\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を部分集合として持つため、\begin{equation*}\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \subset \mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation*}
\mathcal{N}\subset \mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \subset \mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。

開集合系\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)からボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を定義した際の議論と同様の議論を近傍系\(\mathcal{N}\)に対して適用します。具体的には以下の通りです。

ユークリッド空間のベキ集合\(2^{\mathbb{R} ^{n}}\)がそうであるように、近傍系\(\mathcal{N}\)を部分集合として持つ\(\sigma \)-代数が存在します。そこで、\(\mathcal{N}\)を部分集合として持つ\(\sigma \)-代数をすべて集めることにより得られる\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合族を、\begin{equation*}\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }=\left\{
\mathfrak{A}_{\lambda }\subset 2^{\mathbb{R} ^{n}}\ |\ \forall \lambda \in \Lambda :\mathfrak{A}_{\lambda }\text{は}\mathcal{N}\subset \mathfrak{B}_{\lambda }\text{を満たす}\sigma \text{-代数}\right\}
\end{equation*}で表記します。定義より、任意の\(\lambda \in \Lambda \)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \mathfrak{A}_{\lambda }\text{は}\sigma \text{-代数である} \\
&&\left( b\right) \ \mathcal{N}\subset \mathfrak{A}_{\lambda }
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。先の議論より、ユークリッド空間のべき集合\(2^{\mathbb{R} ^{n}}\)は\(\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda}\)の要素です。この集合族\(\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の共通部分を、\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{N}\right) =\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{A}_{\lambda }
\end{equation*}で表記し、これを\(\mathcal{N}\)から生成される最小の\(\sigma \)-代数（smallest \(\sigma \)-algebra generated by \(\mathcal{N}\)）と呼びます。

その名の通り、この集合族\(\sigma \left( \mathcal{N}\right) \)は\(\mathcal{N}\)を部分集合として持つ最小の\(\sigma \)-代数です。

近傍系\(\mathcal{N}\)から生成される\(\sigma \left( \mathcal{N}\right) \)は\(\sigma \)-代数であることが明らかになりました。したがって、\(\sigma \left( \mathcal{N}\right) \)は空集合を要素として持つとともに、補集合と可算合併について閉じています。これらの性質を利用すると、一般の\(\sigma \)-代数と同様、\(\sigma \left( \mathcal{N}\right) \)もまた可算交叉や差集合、対称差についても閉じていることを示すことができます。

この集合族\(\sigma \left( \mathcal{N}\right) \)とボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)一致することが保証されます。したがって、ボレル集合を定義する際には開集合系\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)に属するすべての開集合は必要ではなく、\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)の部分集合である近傍系\(\mathcal{N}\)があれば十分です。ボレル集合族は有界開区間から定義可能であるということです。