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ユークリッド空間上のルベーグ測度

ユークリッド空間上の区間塊(基本集合)

目次

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区間塊

私たちの目標はユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の外延量を測定することですが、まずは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界な右半開区間からなる集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)の要素である区間のみを外延量の測定対象とし、区間の外延量を特定する体積関数\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)を導入した上で、これが\(\sigma \)-加法測度であることを示しました。つまり、区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)は集合半環であるとともに、体積関数\(m\)は非負性と\(\sigma \)-加法性を満たします。

ただし、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上には有界な区間というクラスには属さない集合が存在します。\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の中には区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)の要素ではないものが存在するということです。したがって、先に導入した体積関数\(m\)では、区間よりも広いクラスの\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の外延量を計測できないことになります。このような問題を解消するためには、区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)よりも広いクラスの\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合族を導入するとともに、体積関数\(m\)を拡張する形で、その新たな集合族に属するそれぞれの集合の外延量を測定し得る測度概念を導入する必要があります。そこで、まずは\(\mathfrak{S}_{m}\)よりも広いクラスの\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合族を以下で導入します。

区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)が与えられたとき、そこから互いに素な有限個の区間\(I_{1},\cdots ,I_{K}\in \mathfrak{S}_{m}\)を任意に選んだ上で、それらの和集合\begin{equation*}\bigcup\limits_{k=1}^{K}I_{k}
\end{equation*}を構成します。このような\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合を区間塊(figure)や基本集合(elementary set)などと呼びます。

例(空間における区間塊)
空間\(\mathbb{R} ^{3}\)における区間\(I\in \mathfrak{S}_{m}\)は、\(a_{i}\leq b_{i}\)を満たす実数\(a_{i},b_{i}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}I=\left[ a_{1},b_{1}\right) \times \left[ a_{2},b_{2}\right) \times \left[
a_{3},b_{3}\right)
\end{equation*}と表現されます。\(\mathbb{R} ^{3}\)における区間塊は、互いに素な有限個の区間\(I_{1},\cdots ,I_{K}\in \mathfrak{S}_{m}\)を用いて、\begin{equation*}\bigcup\limits_{k=1}^{K}I_{k}
\end{equation*}と表現される集合です。

例(平面における区間塊)
平面\(\mathbb{R} ^{2}\)における区間\(I\in \mathfrak{S}_{m}\)は、\(a_{i}\leq b_{i}\)を満たす実数\(a_{i},b_{i}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}I=\left[ a_{1},b_{1}\right) \times \left[ a_{2},b_{2}\right)
\end{equation*}と表現されます。\(\mathbb{R} ^{2}\)における区間塊は、互いに素な有限個の区間\(I_{1},\cdots ,I_{K}\in \mathfrak{S}_{m}\)を用いて、\begin{equation*}\bigcup\limits_{k=1}^{K}I_{k}
\end{equation*}と表現される集合です。

例(数直線における区間)
数直線\(\mathbb{R} \)における区間\(I\in \mathfrak{S}_{m}\)は、\(a\leq b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}I=\left[ a,b\right)
\end{equation*}と表現されます。\(\mathbb{R} \)における区間塊は、互いに素な有限個の区間\(I_{1},\cdots ,I_{K}\in \mathfrak{S}_{m}\)を用いて、\begin{equation*}\bigcup\limits_{k=1}^{K}I_{k}
\end{equation*}と表現される集合です。

任意の区間は区間塊である一方、区間塊は区間であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(区間塊)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の区間\(I\in \mathfrak{S}_{m}\)を任意に選びます。また、区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)は集合半環であるため\(\phi \in \mathfrak{S}_{m}\)が成り立ちます。このとき、\begin{equation*}I=I\cup \phi
\end{equation*}が成り立つため、\(I\)は2つの互いに素な区間\(I,\phi \)の和集合として表される区間塊です。任意の区間は区間塊でもあるということです。一方、区間塊は区間であるとは限りません。実際、以下の2つの互いに素な区間\begin{eqnarray*}I &=&\left[ a_{1},b_{1}\right) \times \cdots \times \left[
a_{n},b_{n}\right) \\
J &=&\left[ c_{1},d_{1}\right) \times \cdots \times \left[
c_{n},d_{n}\right)
\end{eqnarray*}の和集合として表される区間塊\(I\cup J\)に注目したとき、以下の条件\begin{equation*}a_{1}\leq b_{1}<c_{1}\leq d_{1}
\end{equation*}が成り立つ場合、\(I\)と\(J\)は互いに素であるため\(I\cup J\)は区間塊である一方で区間ではありません。一般に、\(\mathfrak{S}_{m}\)は和集合について閉じていないため、区間塊は区間であるとは限らないということです。

区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)が与えられたとき、\(\mathfrak{S}_{m}\)の要素である区間から生成されるすべての区間塊からなる集合族を、\begin{equation*}\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)
\end{equation*}で表記します。区間塊は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合であるため、区間塊を要素として持つ\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合族です。区間塊の定義より、区間塊\(A\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)を任意に選んだとき、それに対して互いに素な有限個の区間\(I_{1},\cdots ,I_{K}\in \mathfrak{S}_{m}\)が存在して、\begin{equation*}A=\bigcup_{k=1}^{K}I_{k}
\end{equation*}と表すことができます。ただし、区間塊\(A\)が与えられたとき、それに対して以上の関係を満たす区間\(I_{1},\cdots ,I_{K}\)の組合せは一意的に定まるとは限らないことに注意してください。

先に例を通じて確認したように、任意の区間は区間塊であるため、区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)と区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)の間には以下の包含関係\begin{equation*}\mathfrak{S}_{m}\subset \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。他方で、区間塊は区間であるとは限らないため、以下の包含関係\begin{equation*}
\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \subset \mathfrak{S}_{m}
\end{equation*}は成り立ちません。したがって、\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は\(\mathfrak{S}_{m}\)よりも広いクラスの\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合族です。\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)に属するそれぞれの区間塊の外延量を測定することが当面の目標ですが、まずは\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)の性質を確認します。

 

空集合は区間塊

区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)が満たす1つ目の性質は、\begin{equation*}\phi \in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)
\end{equation*}というものです。つまり、空集合は区間塊です。

命題(空集合は区間塊)

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の区間からなる集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)から生成される区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は、\begin{equation*}\phi \in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)
\end{equation*}を満たす。

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区間塊どうしの差集合は区間塊

区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)が満たす2つ目の性質は、2つの区間塊\(A,B\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)を任意に選んだときに、\begin{equation*}A\backslash B\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)
\end{equation*}が成り立つというものです。つまり、\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は差集合について閉じています。外延量の測定対象である2つの区間塊が任意に与えられたとき、それらの差集合もまた外延量の測定対象になるということです。

命題(区間塊どうしの差集合は区間塊)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の区間からなる集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)から生成される区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は差集合について閉じている。すなわち、\begin{equation*}\forall A,B\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) :A\backslash B\in
\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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区間塊どうしの和集合は区間塊

区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)が満たす3つ目の性質は、2つの区間塊\(A,B\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)を任意に選んだときに、\begin{equation*}A\cup B\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)
\end{equation*}が成り立つというものです。つまり、\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は和集合について閉じています。外延量の測定対象である2つの区間塊が任意に与えられたとき、それらの和集合もまた外延量の測定対象になるということです。

命題(区間塊どうしの和集合は区間塊)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の区間からなる集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)から生成される区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は和集合について閉じている。すなわち、\begin{equation*}\forall A,B\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) :A\cup B\in
\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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有限個の区間塊\(A_{1},\cdots,A_{K}\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)を任意に選んだときに、先の命題を繰り返し適用することにより、\begin{equation*}\bigcup_{k=1}^{K}A_{k}\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)
\end{equation*}が導かれます。つまり、有限個の区間塊の和集合もまた区間塊になるということです。この性質を指して、\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は有限合併について閉じている(closed with respect to finite unions)と言います。逆に、\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)が有限合併について閉じているとき、\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は明らかに2つの区間塊の和集合についても閉じています。つまり、\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は和集合について閉じているということです。したがって以下の命題を得ます。

命題(有限個の区間塊の和集合は区間塊)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の区間からなる集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)から生成される区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)が有限合併について閉じていることと、\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)が和集合について閉じていることは必要十分である。
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区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は有限合併について閉じていることが示されましたが、可算合併について閉じていません。つまり、可算個の区間塊\(A_{1},A_{2},\cdots \in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)に対して、\begin{equation*}\bigcup_{k=1}^{+\infty }A_{k}\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)
\end{equation*}は成り立つとは限らないということです。以下の例より明らかです。

例(区間塊の可算合併)
数直線\(\mathbb{R} \)において、それぞれの番号\(k\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}A_{k}=\left( 0,\frac{k-1}{k}\right] \end{equation*}と定義します。明らかに\(A_{k}\in \mathfrak{S}_{m}\)ですが、これと\(\mathfrak{S}_{m}\subset \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)より、\begin{equation*}A_{k}\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)
\end{equation*}を得ます。その一方で、\begin{equation*}
\bigcup\limits_{k=1}^{\infty }A_{k}\not\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)
\end{equation*}となります(演習問題)。

 

区間塊の集合族は集合環

一般に、集合\(X\)の部分集合族\(\mathfrak{A}\)が空集合を要素として持つとともに差集合と和集合の双方について閉じている場合、そのような\(\mathfrak{A}\)を集合環(ring of sets)と呼びます。先に示したように、区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は以上の3つの性質を満たしますが、これは\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)が集合環であることを意味します。

命題(区間塊集合族は集合環)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の区間からなる集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)から生成される区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は集合環である。すなわち、\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は空集合を要素として持つとともに、差集合と和集合について閉じている。

 

区間塊の集合族は対称差について閉じている

区間塊\(A,B\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)を任意に選んだとき、それらの対称差は、\begin{equation*}A\Delta B=\left( A\backslash B\right) \cup \left( B\backslash A\right)
\end{equation*}と定義されますが、先に示したように区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は差集合と和集合について閉じているため、\begin{equation*}A\Delta B\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)
\end{equation*}を得ます。つまり、\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は対称差について閉じています。外延量の測定対象である2つの区間塊が任意に与えられたとき、それらの対称差もまた外延量の測定対象になるということです。

命題(区間塊どうしの対称差は区間塊)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の区間からなる集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)から生成される区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は対称差について閉じている。すなわち、\begin{equation*}\forall A,B\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) :A\Delta B\in
\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)
\end{equation*}が成り立つ。

 

最小環としての区間塊の集合族

これまでの議論を振り返ってみると、まず、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の区間からなる集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)が集合半環であること示し、さらに、\(\mathfrak{S}_{m}\)から生成される区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)が集合環であることを示しました。さらに、両者の間には以下の包含関係\begin{equation*}\mathfrak{S}_{m}\subset \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。一般に、集合環は集合半環であるため(演習問題)、以上の事実は\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)が\(\mathfrak{S}_{m}\)の拡張であることを意味します。

区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)を部分集合として含む集合環ですが、このような性質を満たす\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合族は\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)だけに限定されません。例えば、\(\mathbb{R} ^{n}\)のベキ集合\(2^{\mathbb{R} ^{n}}\)は明らかにそのような集合族の1つです。このような事情を踏まえたとき、\(\mathfrak{S}_{m}\)の拡張として\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)を考察対象とすることにはどのような正当性があるのでしょうか。

このような疑問について考えるために、まずは、\(\mathfrak{S}_{m}\)を部分集合として含む集合環をすべて集めることにより得られる\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合族について考え、それを、\begin{equation}\left\{ \mathfrak{R}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda } \quad \cdots (1)
\end{equation}で表記します。先の議論より、\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)や\(2^{\mathbb{R} ^{n}}\)もまた\(\left( 1\right) \)の要素です。さらに、集合族\(\left( 1\right) \)の共通部分\begin{equation}\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{R}_{\lambda } \quad \cdots (2)
\end{equation}をとります。\(\left( 2\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合族である\(\left( 1\right) \)の共通部分であるため、\(\left( 2\right) \)の要素もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合です。つまり、\(\left( 2\right) \)もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合族であるということです。さらに、共通部分の定義より、\begin{equation*}\forall \lambda ^{\prime }\in \Lambda :\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{R}_{\lambda }\subset \mathfrak{R}_{\lambda ^{\prime }}
\end{equation*}が明らかに成り立ちます。つまり、\(\left( 2\right) \)は集合族\(\left( 1\right) \)のすべての要素の部分集合であるということです。さらに、後に示すように、\(\left( 2\right) \)自身もまた\(\mathfrak{S}_{m}\)を部分集合として含む集合環です。つまり、\(\left( 2\right) \)は\(\left\{ \mathfrak{R}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素であるとともに、\(\left\{ \mathfrak{R}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の要素の中でも最小の集合であるということです。言い換えると、\(\left( 2\right) \)は\(\mathfrak{S}_{m}\)を部分集合として含む集合環であるとともに、同様の性質を満たす任意の集合環の部分集合であるということです。このような事情を踏まえた上で、\(\left( 2\right) \)を\(\mathfrak{S}_{m}\)から生成される最小環(minimal ring generated by \(\mathfrak{S}_{m}\))と呼びます。

命題(区間の集合族から生成される最小環)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の区間からなる集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)を部分集合として持つ集合環をすべて集めることにより得られる集合族\(\left\{ \mathfrak{R}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の共通部分\begin{equation*}\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{R}_{\lambda }
\end{equation*}は\(\left\{ \mathfrak{R}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素であるとともに、\(\left\{ \mathfrak{R}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の任意の要素の部分集合である。
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区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)が与えられれば、\(\mathfrak{S}_{m}\)を部分集合として持つ最小の集合環\(\bigcap_{\lambda\in \Lambda }\mathfrak{R}_{\lambda }\)を生成できることが明らかになりましたが、実は、これは区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)と一致します。つまり、区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は\(\mathfrak{S}_{m}\)を部分集合として持つ集合環の中で最小のものであるということです。

命題(最小環としての区間塊の集合族)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の区間からなる集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)から生成される区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は\(\mathfrak{S}_{m}\)から生成される最小環である。つまり、\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は\(\mathfrak{S}_{m}\)を部分集合として持つ集合環であるとともに、そのような任意の集合環の部分集合である。
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