カラテオドリ拡張と外測度

区間の長さを拡張することにより、任意の点集合の外延量を測定可能な測度概念を定義します。このような操作をカラテオドリ拡張と呼び、こうして得られる測度をルベーグ外測度やカラテオドリ外測度などと呼びます。ルベーグ外測度は外測度としての性質を満たします。

区間の長さのカラテオドリ拡張

私たちの目標は数直線\(\mathbb{R} \)の部分集合、すなわち点集合の外延量を測定することですが、まずは\(\mathbb{R} \)上の有界な右半開区間だけを外延量の測定対象とし、そのような区間をすべて集めてできる\(\mathbb{R} \)の部分集合族を\(\mathfrak{S}_{m}\)で表しました。さらに、区間の外延量を表す概念として区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)を導入した上で、これが\(\sigma \)-加法測度としての性質を満たすことを示しました。ただ、数直線\(\mathbb{R} \)上には有界な区間というクラスには属さない点集合が存在します。そこで、区間よりも広い点集合の概念として、互いに素な有限個の区間の和集合として定義される区間塊と呼ばれるものを定義し、区間塊をすべて集めてできる\(\mathbb{R} \)の部分集合族を\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)で表しました。\(\mathfrak{S}_{m}\)は集合半環ですが、そこから生成された\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は集合環であり、両者の間には、\begin{equation*}
\mathfrak{S}_{m}\subset \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。しかも、\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は\(\mathfrak{S}_{m}\)を部分集合として持つ最小環です。区間の長さ\(m\)はそれぞれの区間\(I\in \mathfrak{S}_{m}\)に対してその測度\(m\left( I\right) \)を定めますが、上の包含関係より、区間塊の中には区間でないものが存在するため、区間の長さ\(m\)では区間塊\(A\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)の測度を測定できるとは限りません。そこで、\(m\)を拡張する形で、区間塊の外延量を表す概念である区間塊の長さ\(\hat{m}:\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)を導入し、これもまた\(\sigma \)-加法測度としての性質を満たすことを示しました。区間の長さ\(m\)を区間塊の長さ\(\hat{m}\)へと拡張することにより、外延量を測定可能な点集合の範囲は拡大したものの、数直線\(\mathbb{R} \)上には区間塊というクラスに属さない点集合が存在するため、区間塊の長さ\(\hat{m}\)では外延量を測定できないような点集合が存在します。つまり、区間塊ではない\(\mathbb{R} \)の部分集合に関しては、その外延量を\(m\)や\(\hat{m}\)を用いて測定することはできません。そこで本節では、区間の長さ\(m\)を別の形で拡張することにより、\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合の外延量を測定できるような概念を構成します。

区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が与えられているものとします。ここで、点集合\(A\in 2^{\mathbb{R} }\)を任意に選びます。ただし、\(2^{\mathbb{R} }\)は\(\mathbb{R} \)のベキ集合を表す記号です。この点集合\(A\)は区間や区間塊である必要はなく、\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合でかまいません。\(A\)が有界である場合、それを可算個の区間によって覆うことを考えます。つまり、可算個の有界な右半区間からなる列\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\subset \mathfrak{S}_{m}\)の中でも、\begin{equation*}
A\subset \bigcup_{k=1}^{\infty }I_{k}
\end{equation*}を満たすようなものを選ぶということです。以下の議論により、このような区間列\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)は必ず存在します。

点集合\(A\in 2^{\mathbb{R} }\)が有界である場合には、有界性の定義より、\begin{equation*}
A\subset \left[ a,b\right] \end{equation*}を満たす有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \subset \mathbb{R} \)が必ず存在します。そこで、正の実数\(\varepsilon >0\)を任意に選べば、\begin{equation*}
A\subset \left[ a,b\right] \subset \lbrack a,b+\varepsilon )
\end{equation*}が成り立つため、\(A\)を覆う有界な右半開区間\([a,b+\varepsilon )\in \mathfrak{S}_{m}\)が存在することが明らかになりました。以上を踏まえた上で、区間列\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)を、\begin{eqnarray*}
I_{1} &=&[a,b+\varepsilon ) \\
I_{k} &=&\phi \quad \left( k\geq 2\right)
\end{eqnarray*}と定義すれば、この\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)の和集合は\([a,b+\varepsilon )\)と一致するため\(A\)を覆います。

点集合\(A\in 2^{\mathbb{R} }\)が有界である場合、それを覆う可算区間列\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)が必ず存在することが明らかになりました。しかも、このような可算区間列は1つであるとは限りません。そこで、\(A\)を覆うそれぞれの可算区間列\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)に対して、そこに含まれる区間の長さの総和\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{\infty }m\left( I_{k}\right) =\lim_{n\rightarrow \infty }\left[
\sum_{k=1}^{n}m\left( I_{k}\right) \right] \end{equation*}を導出します。その上で、得られた総和の中の下限を\(A\)の外延量として採用し、それを\(\mu ^{\ast }\left( A\right) \)で表記します。つまり、有界な点集合\(A\)に対しては、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( A\right) =\inf \left\{ \sum_{k=1}^{\infty }m\left(
I_{k}\right) \left\vert A\subset \bigcup_{k=1}^{\infty }I_{k},\ I_{k}\in
\mathfrak{S}_{m}\right. \right\}
\end{equation*}として\(\mu ^{\ast }\left( A\right) \)を定義するということです。

有界な点集合\(A\in 2^{\mathbb{R} }\)について、上のように定義される値\(\mu ^{\ast }\left( A\right) \)は常に定まるのでしょうか。まず、先に確認したように、有界な点集合\(A\)を覆う可算区間列\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)は必ず存在するため、以下の集合\begin{equation}
\left\{ \sum_{k=1}^{\infty }m\left( I_{k}\right) \left\vert A\subset
\bigcup_{k=1}^{\infty }I_{k},\ I_{k}\in \mathfrak{S}_{m}\right. \right\}
\tag{1}
\end{equation}は\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合です。さらに、区間の長さ\(m\)の非負性より、\(A\)を覆う任意の\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)に対して、\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{\infty }m\left( I_{k}\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つため、\(\left( 1\right) \)は下に有界(\(0\)が下界の1つ)な\(\mathbb{R} \)の部分集合です。したがって、\(\mathbb{R} \)の連続性より、\(\left( 1\right) \)には下限が必ず存在します。しかも、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合が下限を持つとき、それは必ず1つの実数として定まるとともに、その実数は任意の下界以上です。したがって、\(\left( 1\right) \)の下限は\(0\)以上の1つの実数として常に定まることが明らかになりました。結論をまとめると、有界な点集合\(A\in 2^{\mathbb{R} }\)を任意に選んだとき、\(\mu ^{\ast }\left( A\right) \)は1つの非負の実数として必ず定まるということです。

一方、点集合\(A\)が有界ではない場合には、その外延量を、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( A\right) =+\infty
\end{equation*}と定義します。

以上を踏まえた上で、それぞれの点集合\(A\in 2^{\mathbb{R} }\)に対して、その外延量である\(\mu ^{\ast }\left( A\right) \)を定める関数\(\mu ^{\ast }\)を定義し、これを区間の長さ\(m\)のカラテオドリ拡張(Carathéodory extension)と呼びます。繰り返しになりますが、それぞれの\(A\in 2^{\mathbb{R} }\)に対して、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( A\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\inf \left\{ \sum\limits_{k=1}^{\infty }m\left( I_{k}\right) \left\vert
A\subset \bigcup\limits_{k=1}^{\infty }I_{k},\ I_{k}\in \mathfrak{S}_{m}\right. \right\} & \left( if\ A\text{が有界}\right)
\\
+\infty & \left( if\ A\text{が非有界}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を満たすものとして\(\mu ^{\ast }\)は定義されます。

先の議論より、\(A\)が有界である場合の\(\mu ^{\ast }\left( A\right) \)は非負の実数であり、\(A\)が有界でない場合の\(\mu ^{\ast }\left( A\right) \)は正の無限大であるため、\(\mu ^{\ast }\)は定義域を\(2^{\mathbb{R} }\)とし、終集合を\(\mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)とする写像\begin{equation*}
\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R} }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}です。\(\mu ^{\ast }\)は非負性(non-negativity)を満たすということです。

命題(カラテオドリ拡張の非負性)
区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)のカラテオドリ拡張\(\mu ^{\ast }\)は非負性を満たす。すなわち、\(m\)のカラテオドリ拡張は\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R} }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)と表現される。
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カラテオドリ拡張の定義を踏まえた上で、代表的な点集合の外延量を以下で特定します。

例(有限集合の外延量)
\(\mathbb{R} \)の部分集合であるような有限集合\(A=\left\{ x_{1},\cdots ,x_{n}\right\} \)を任意に選びます。正の実数\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ上で、可算区間列\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)を、\begin{equation*}
I_{k}=\left\{
\begin{array}{ll}
\left[ x_{k}-\dfrac{\varepsilon }{2n},x_{k}+\dfrac{\varepsilon }{2n}\right)
& \left( k=1,\cdots ,n\right) \\
\phi & \left( k=n+1,\cdots \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定義します。任意の\(k\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)に対して\(x_{k}\in I_{k}\)が成り立つため、\begin{equation*}
A\subset \bigcup\limits_{k=1}^{\infty }I_{k}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、この\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)は\(A\)を覆う可算区間列です。この区間列に含まれる区間の長さの総和は、\begin{eqnarray*}
\sum\limits_{k=1}^{\infty }m\left( I_{k}\right)
&=&\sum\limits_{k=1}^{n}m\left( I_{k}\right) \quad \because m\left( \phi
\right) =0 \\
&=&\sum\limits_{k=1}^{n}\left[ \left( x_{k}+\frac{\varepsilon }{2n}\right)
-\left( x_{k}-\frac{\varepsilon }{2n}\right) \right] \\
&=&\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\varepsilon }{n} \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}であるため、カラテオドリ拡張\(\mu ^{\ast }\)の定義より、\begin{equation}
\mu ^{\ast }\left( A\right) \leq \varepsilon \tag{1}
\end{equation}が成り立ちます。任意の\(\varepsilon >0\)に対して同様の議論が成り立ちます。\(\mu ^{\ast }\)の非負性より\(\mu ^{\ast }\left( A\right) \geq 0\)です。仮に\(\mu ^{\ast }\left( A\right) >0\)が成り立つ場合、例えば\(\frac{\mu ^{\ast }\left( A\right) }{2}>0\)であるため、\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( A\right) \leq \frac{\mu ^{\ast }\left( A\right) }{2}
\end{equation*}となり矛盾です。したがって\(\mu ^{\ast }\left( A\right) =0\)であることが示されました。つまり、\(\mathbb{R} \)の部分集合であるような任意の有限集合に対して\(\mu ^{\ast }\)が与える外延量は\(0\)です。ちなみに、\(\mu ^{\ast }\)のもとでの外延量が\(0\)になるような\(\mathbb{R} \)の部分集合を零集合(null set)と呼びます。\(\mathbb{R} \)の任意の有限な部分集合は零集合であるということです。
例(可算集合の外延量)
\(\mathbb{R} \)の部分集合であるような可算集合\(A=\left\{ x_{1},x_{2},\cdots \right\} \)を任意に選びます。正の実数\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ上で、それぞれの\(k\ \left( =1,2,\cdots \right) \)に対して、\begin{equation*}
I_{k}=\left[ x_{k}-\frac{\varepsilon }{2^{k+1}},x_{k}+\frac{\varepsilon }{2^{k+1}}\right)
\end{equation*}であるような可算区間列\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)を定義します。明らかに任意の\(k\)に対して\(x_{k}\in I_{k}\)が成り立つため、\begin{equation*}
A\subset \bigcup\limits_{k=1}^{\infty }I_{k}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、この\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)は\(A\)を覆う可算区間列です。この区間列に含まれる区間の長さの総和は、\begin{eqnarray*}
\sum\limits_{k=1}^{\infty }m\left( I_{k}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left[ \sum\limits_{k=1}^{n}m\left( I_{k}\right) \right] \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left\{ \sum\limits_{k=1}^{n}\left[ \left(
x_{k}+\frac{\varepsilon }{2^{k+1}}\right) -\left( x_{k}-\frac{\varepsilon }{2^{k+1}}\right) \right] \right\} \quad \because m,I_{k}\text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\varepsilon
}{2^{k}}\right] \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\varepsilon \left[ 1-\left( \frac{1}{2}\right)
^{n}\right] \quad \because \text{等比数列の和} \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}であるため、カラテオドリ拡張\(\mu ^{\ast }\)の定義より、\begin{equation}
\mu ^{\ast }\left( A\right) \leq \varepsilon \tag{1}
\end{equation}が成り立ちます。任意の\(\varepsilon >0\)に対して同様の議論が成り立ちます。\(\mu ^{\ast }\)の非負性より\(\mu ^{\ast }\left( A\right) \geq 0\)です。仮に\(\mu ^{\ast }\left( A\right) >0\)が成り立つ場合、例えば\(\frac{\mu ^{\ast }\left( A\right) }{2}>0\)であるため、\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( A\right) \leq \frac{\mu ^{\ast }\left( A\right) }{2}
\end{equation*}となり矛盾です。したがって\(\mu ^{\ast }\left( A\right) =0\)であることが示されました。つまり、\(\mathbb{R} \)の部分集合であるような任意の可算集合に対して\(\mu ^{\ast }\)が与える外延量は\(0\)です。\(\mathbb{R} \)の任意の可算な部分集合は零集合であるということです。例えば、すべての自然数からなる集合\(\mathbb{N}\)、すべての整数からなる集合\(\mathbb{Z}\)、すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q}\)などはいずれも可算であるような\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため、\(\mu ^{\ast }\)がこれら集合に対して与える外延量はいずれも\(0\)ということになります。

 

カラテオドリ拡張は区間の長さの拡張

区間の長さ\(m\)のカラテオドリ拡張\(\mu ^{\ast }\)を用いることにより、\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合に対して外延量を与えることが可能になりました。ただ、\(\mu ^{\ast }\)は\(m\)の拡張になっているのでしょうか。つまり、\(\mu ^{\ast }\)がそれぞれの区間に対して定める外延量は、\(m\)がそれぞれの区間に対して定める測度と一致するのでしょうか。以下で確認します。

区間\(I\in \mathfrak{S}_{m}\)を任意に選びます。\(I\)は\(I\)自身によって覆われることを踏まえた上で、区間列\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)を、\begin{eqnarray*}
I_{1} &=&I \\
I_{k} &=&\phi \quad \left( k\geq 2\right)
\end{eqnarray*}と定義すると、この\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)の和集合は明らかに\(I\)を覆います。このとき、\begin{align*}
\mu ^{\ast }\left( I\right) & \leq m\left( I\right) +m\left( \phi \right)
+m\left( \phi \right) +\cdots \quad \because \mu ^{\ast }\text{の定義} \\
& =m\left( I\right) \quad \because m\left( \phi \right) =0
\end{align*}すなわち\(\mu ^{\ast }\left( I\right) \leq m\left( I\right) \)が成り立つことが明らかになりました。逆に、\(m\left( I\right) \leq \mu ^{\ast }\left( I\right) \)が成り立つことも示されるため(証明は長くなるため「命題の証明」ページへ掲載します)\(\mu ^{\ast }\left( I\right) =m\left( I\right) \)であることが明らかになりました。同様の議論は任意の区間\(I\in \mathfrak{S}_{m}\)について成立するため、\(\mu ^{\ast }\)は\(m\)の拡張であることが確認されました。

命題(カラテオドリ拡張は区間の長さの拡張)
区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)のカラテオドリ拡張\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R} }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は\(m\)の拡張である。すなわち、\begin{equation*}
\forall I\in \mathfrak{S}_{m}:\mu ^{\ast }\left( I\right) =m\left( I\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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カラテオドリ拡張は区間塊の長さの拡張

区間の長さ\(m\)のカラテオドリ拡張\(\mu ^{\ast }\)は区間塊の長さ\(\hat{m}\)の拡張でもあります。つまり、\(\mu ^{\ast }\)がそれぞれの区間塊に対して定める外延量は、\(\hat{m}\)がそれぞれの区間塊に対して定める測度と一致します。証明は以下の通りです。

区間塊\(A\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)を任意に選びます。区間塊の定義より、互いに素な有限個の区間からなる列\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{n}\)が存在して、\begin{equation}
A=\bigcup\limits_{k=1}^{n}I_{k} \tag{1}
\end{equation}と表すことができます。このとき、区間塊の長さ\(\hat{m}\)と区間の長さ\(m\)の関係より、\begin{equation}
\hat{m}\left( A\right) =\sum\limits_{k=1}^{n}m\left( I_{k}\right) \tag{2}
\end{equation}を得ます。可算個の区間からなる列\(\left\{ J_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)を、\begin{eqnarray*}
J_{k} &=&I_{k}\quad \left( 1\leq k\leq n\right) \\
J_{k} &=&\phi \quad \left( k\geq n+1\right)
\end{eqnarray*}と定義すると、\(\left( 1\right) \)より、\(\left\{ J_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)の和集合は\(A\)を覆います。すると、\begin{align*}
\mu ^{\ast }\left( A\right) & \leq \sum\limits_{k=1}^{\infty }m\left(
J_{k}\right) \quad \because \mu ^{\ast }\text{の定義} \\
& =\sum\limits_{k=1}^{n}m\left( J_{k}\right) \quad \because m\left( \phi
\right) =0 \\
& =\sum\limits_{k=1}^{n}m\left( I_{k}\right) \quad \because \left\{
J_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\text{の定義} \\
& =\hat{m}\left( A\right) \quad \because \left( 2\right)
\end{align*}すなわち\(\mu ^{\ast }\left( A\right) \leq \hat{m}\left( A\right) \)が成り立つことが明らかになりました。逆に、\(\hat{m}\left( A\right) \leq \mu ^{\ast }\left( A\right) \)が成り立つことも示されるため(証明は長くなるため「命題の証明」ページへ掲載します)\(\mu ^{\ast }\left( A\right) =\hat{m}\left( A\right) \)であることが明らかになりました。同様の議論は任意の区間塊\(A\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)について成立するため、\(\mu ^{\ast }\)は\(\hat{m}\)の拡張です。

命題(カラテオドリ拡張は区間塊の長さの拡張)
区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)のカラテオドリ拡張\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R} }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は区間塊の長さ\(\hat{m}:\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)の拡張である。すなわち、\begin{equation*}
\forall A\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) :\mu ^{\ast }\left(
A\right) =\hat{m}\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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カラテオドリ拡張は外測度

区間の長さのカラテオドリ拡張の性質を確認します。空集合は任意の集合の部分集合であるため\(\phi \in 2^{\mathbb{R} }\)です。カラテオドリ拡張\(\mu ^{\ast }\)は\(\mathbb{R} \)のベキ集合\(2^{\mathbb{R} }\)上に定義された関数であるため、空集合\(\phi \)に対しても外延量を与えますが、その具体的な値は、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( \phi \right) =0
\end{equation*}となります。つまり、区間の長さのカラテオドリ拡張のもとで、空集合の外延量は\(0\)になります。空集合は零集合であるということです。証明は以下の通りです。

先に示したように\(\mu ^{\ast }\)は非負性を満たすため\(\mu ^{\ast }\left( \phi \right) \geq 0\)が成り立ちます。また、\(\phi \)は\(\phi \)自身によって覆われるため、任意の\(k\)について\(I_{k}=\phi \)であるような可算区間列\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)の和集合もまた\(\phi \)を覆います。すると、\begin{eqnarray*}
\mu ^{\ast }\left( \phi \right) &\leq &\sum_{k=1}^{\infty }m\left(
I_{k}\right) \quad \because \mu ^{\ast }\text{の定義} \\
&=&0\quad \because m\left( \phi \right) =0
\end{eqnarray*}すなわち\(\mu ^{\ast }\left( \phi \right) \leq 0\)が成り立ちます。したがって、\(\mu ^{\ast }\left( \phi \right) =0\)であることが示されました。

命題(カラテオドリ拡張のもとでの空集合の外延量)
区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)のカラテオドリ拡張\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R} }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)のもとで、空集合\(\phi \)は零集合である。すなわち、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( \phi \right) =0
\end{equation*}が成り立つ。
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ある点集合\(A\)が別の点集合\(B\)の部分集合であるならば、カラテオドリ拡張\(\mu ^{\ast }\)のもとで\(A\)の外延量は\(B\)の外延量以下になるというのは直感的に正しそうです。実際、これは正しい主張であり、\(\mu ^{\ast }\)が満たすこのような性質を単調性(monotonicity)と呼びます。証明は以下の通りです。

点集合\(A,B\in 2^{\mathbb{R} }\)の間に\(A\subset B\)が成り立つものとします。\(B\)が有界でない場合、\(\mu ^{\ast }\)の定義より\(\mu ^{\ast }\left( B\right) =+\infty \)となるため、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( A\right) \leq \mu ^{\ast }\left( B\right)
\end{equation*}が明らかに成り立ちます。そこで以下では\(B\)が有界である場合について考えます。このとき、\(A\)もまた有界であるため、\(\mu ^{\ast }\)の定義より、\begin{eqnarray}
\mu ^{\ast }\left( A\right) &=&\inf \left\{ \sum\limits_{k=1}^{\infty
}m\left( I_{k}\right) \left\vert A\subset \bigcup\limits_{k=1}^{\infty
}I_{k},\ I_{k}\in \mathfrak{S}_{m}\right. \right\} \tag{1} \\
\mu ^{\ast }\left( B\right) &=&\inf \left\{ \sum\limits_{k=1}^{\infty
}m\left( I_{k}\right) \left\vert B\subset \bigcup\limits_{k=1}^{\infty
}I_{k},\ I_{k}\in \mathfrak{S}_{m}\right. \right\} \tag{2}
\end{eqnarray}などとなります。有界な点集合\(B\)に対して、それを覆う可算区間列\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)が存在しますが、\(A\subset B\)ゆえに\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)は\(A\)も覆います。ゆえに、\begin{equation}
\left\{ \sum\limits_{k=1}^{\infty }m\left( I_{k}\right) \left\vert A\subset
\bigcup\limits_{k=1}^{\infty }I_{k},\ I_{k}\in \mathfrak{S}_{m}\right.
\right\} \subset \left\{ \sum\limits_{k=1}^{\infty }m\left( I_{k}\right)
\left\vert B\subset \bigcup\limits_{k=1}^{\infty }I_{k},\ I_{k}\in
\mathfrak{S}_{m}\right. \right\} \tag{3}
\end{equation}が成り立ちます。一般に、\(X\subset Y\)を満たす点集合\(X,Y\in 2^{\mathbb{R} }\)の下限の間には\(\inf X\leq \inf Y\)が成り立ちます。この事実と\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) ,\left( 3\right) \)より、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( A\right) \leq \mu ^{\ast }\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されました。

命題(カラテオドリ拡張の単調性)
区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)のカラテオドリ拡張\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R} }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は単調性を満たす。すなわち、任意の点集合\(A,B\in 2^{\mathbb{R} }\)に対して、\begin{equation*}
A\subset B\Rightarrow \mu ^{\ast }\left( A\right) \leq \mu ^{\ast }\left(
B\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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\(\mathbb{R} \)のベキ集合\(2^{\mathbb{R} }\)から可算個の点集合を任意に選び、それらからなる集合列を\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)で表記します。その上で、これら可算個の点集合の和集合\begin{equation*}
\bigcup\limits_{k=1}^{\infty }A_{k}
\end{equation*}をとります。この和集合もまた\(2^{\mathbb{R} }\)の要素であるため、カラテオドリ拡張\(\mu ^{\ast }\)は上の和集合に対しても外延量を与えます。しかも、\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)の和集合に相当する点集合の外延量と、\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)の要素である個々の点集合の外延量の間には、\begin{equation}
\mu ^{\ast }\left( \bigcup\limits_{k=1}^{\infty }A_{k}\right) \leq
\sum_{k=1}^{\infty }\mu ^{\ast }\left( A_{k}\right) \tag{4}
\end{equation}という関係が成り立つことが示されます。ただ、右辺は可算個の点集合の外延量から構成される無限級数の和であり、正確には、\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{\infty }\mu ^{\ast }\left( A_{k}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }\left[ \sum_{k=1}^{n}\mu ^{\ast }\left( A_{k}\right) \right] \end{equation*}となります。つまり、\(\left( 4\right) \)を正確に表現すると、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( \bigcup\limits_{k=1}^{\infty }A_{k}\right) \leq
\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ \sum_{k=1}^{n}\mu ^{\ast }\left(
A_{k}\right) \right] \end{equation*}となります(証明は長くなるため「命題の証明」ページへ掲載します)。このような性質を指して、\(\mu ^{\ast }\)は\(\sigma \)-劣加法性(\(\sigma \)-subadditivity)を満たすと言います。

命題(カラテオドリ拡張のσ-劣加法性)
区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)のカラテオドリ拡張\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R} }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は\(\sigma \)-劣加法性を満たす。すなわち、\(\mathbb{R} \)の部分集合からなる任意の可算集合列\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\subset 2^{\mathbb{R} }\)に対して、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( \bigcup\limits_{k=1}^{\infty }A_{k}\right) \leq
\sum_{k=1}^{\infty }\mu ^{\ast }\left( A_{k}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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一般に、集合\(X\)のベキ集合\(2^{X}\)上に非負性を満たす関数\(\mu ^{\ast }:2^{X}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)が定義されており、この関数\(\mu ^{\ast }\)が空集合に対して定める値が\(0\)であるとともに単調性と\(\sigma \)-劣加法性を満たす場合、\(\mu ^{\ast }\)を外測度(outer measure)と呼びます。また、外測度\(\mu ^{\ast }\)がそれぞれの集合\(A\in 2^{X}\)に対して定める値\(\mu ^{\ast }\left( A\right) \)を\(A\)の外測度(outer measure)と呼びます。

これまでの議論から明らかになったように、区間の長さのカラテオドリ拡張\(\mu ^{\ast }\)は実数空間\(\mathbb{R} \)のベキ集合\(2^{\mathbb{R} }\)上に定義された関数であり、空集合に対して値\(0\)を定めるとともに単調性と\(\sigma \)-劣加法性を満たすため、結局、\(\mu ^{\ast }\)は外測度であるということになります。そこで、このような外測度を特にルベーグ外測度(Lebesgue outer measure)やカラテオドリ外測度(Carathéodory outer measure)などと呼びます。その上で、\(\mu ^{\ast }\)が点集合\(A\)に対して定める外延量\(\mu ^{\ast }\left( A\right)\)を\(A\)のルベーグ外測度やカラテオドリ外測度などと呼びます。

命題(カラテオドリ拡張は外測度)
区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)のカラテオドリ拡張\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R} }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は外測度である。すなわち、\(\mu ^{\ast }\)は非負性、単調性、\(\sigma \)-劣加法性を満たすとともに\(\mu ^{\ast }\left( \phi \right) =0\)が成り立つ。
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次回は可測集合について学びます。

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