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LEBESGUE MEASURE

代表的な可測集合

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ルベーグ可測集合の具体例

ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }\)は実数空間\(\mathbb{R} \)のベキ集合\(2^{\mathbb{R} }\)上に定義された関数であり、任意の点集合に対して外延量を与えます。ただ、外測度\(\mu ^{\ast }\)は\(\sigma \)-加法性を満たさないという問題があります。つまり、\(\mathbb{R} \)上のすべての点集合を外延量の測定対象とした場合、「ある点集合の外延量は、それを互いに素な部分に分割した場合の各部分の外延量の合計になる」という直感的事実が成り立つとは限らなくなってしまいます。

外測度\(\mu ^{\ast }\)が\(\sigma \)-加法性を満たすようにするためにはその定義域を縮小すればよいのですが、定義域を縮小しすぎると多くの点集合の外延量を測定できなくなってしまいます。外測度\(\mu^{\ast }\)が\(\sigma \)-加法性を満たしつつ、なるべく多くの点集合の外延量を測定できるようにするためにはどうすればよいかという問題意識のもと、外測度\(\mu ^{\ast }\)の新たな定義域の候補としてルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu^{\ast }}\)と呼ばれる\(\mathbb{R} \)の部分集合族を導入し、それが\(\sigma \)-代数としての性質を満たすことを示しました。つまり、\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は空集合\(\phi \)を要素として持つとともに補集合と可算合併について閉じています。では、可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)の中にはどのような種類の点集合が含まれているのでしょうか。以降ではルベーグ可測集合の具体例を挙げます。

 

空集合と実数空間はルベーグ可測

ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は\(\sigma \)-代数であるため、\begin{equation*}\phi \in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}を満たします。以上の事実と、\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)が補集合について閉じていることを踏まえると、\begin{equation*}\phi ^{c}=\mathbb{R} \in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、空集合\(\phi \)と実数空間\(\mathbb{R} \)はともにルベーグ可測です。

命題(空集合と実数空間は可測)
ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は、\begin{eqnarray*}\phi &\in &\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }} \\\mathbb{R} &\in &\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{eqnarray*}をともに満たす。

 

有界半開区間はルベーグ可測

復習になりますが、有界な右半開区間とは、\(a\leq b\)を満たす任意の実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\lbrack a,b)=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<b\right\}
\end{equation*}と表現される\(\mathbb{R} \)の部分集合のことです。また、有界な右半開区間をすべて集めてできる\(\mathbb{R} \)の部分集合族を\(\mathfrak{S}_{m}\)で表しました。

任意の有界な右半開区間はルベーグ可測です。つまり、有界な右半開区間からなる集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)とルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu^{\ast }}\)の間には、\begin{equation*}\mathfrak{S}_{m}\subset \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。この事実は、\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は\(\mathfrak{S}_{m}\)よりも広いクラスの\(\mathbb{R} \)の部分集合族であることを意味します。

命題(区間はルベーグ可測)
\(\mathbb{R} \)上の有界な右半開区間からなる集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)とルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)の間には、\begin{equation*}\mathfrak{S}_{m}\subset \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立つ。
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区間塊はルベーグ可測

復習になりますが、区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)が与えられたとき、そこから互いに素な有限個の区間\(I_{1},\cdots ,I_{n}\in \mathfrak{S}_{m}\)を任意に選んだ上で、それらの和集合\begin{equation*}\bigcup\limits_{k=1}^{n}I_{k}
\end{equation*}を作ります。このような和集合として表される\(\mathbb{R} \)の部分集合を区間塊と呼び、すべての区間塊を集めてできる\(\mathbb{R} \)の部分集合族を\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)で表しました。任意の区間は区間塊でもあるため、\begin{equation*}\mathfrak{S}_{m}\subset \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。では、区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)とルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)の間にはどのような関係が成立するのでしょうか。実は、任意の区間塊はルベーグ可測であるため、\begin{equation*}\mathfrak{S}_{m}\subset \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \subset
\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。この事実は、\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)よりもさらに広いクラスの\(\mathbb{R} \)の部分集合族であることを意味します。

命題(区間塊はルベーグ可測)
\(\mathbb{R} \)上の区間塊からなる集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)とルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)の間には、\begin{equation*}\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \subset \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast
}}
\end{equation*}が成り立つ。
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開集合はルベーグ可測

復習になりますが、\(\mathbb{R} \)上の点集合\(A\)が開集合であることとは、\(A\)に属するそれぞれの点について、その点を中心とする有界開区間の中に\(A\)の部分集合であるようなものが存在すること、すなわち、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon
\right) \subset A
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。また、\(\mathbb{R} \)上の開集合をすべて集めてできる集合系を\(\mathbb{R} \)の開集合系と呼び、これを\(\mathcal{O}\)で表しました。

\(\mathbb{R} \)上の任意の開集合はルベーグ可測です。つまり、開集合系\(\mathcal{O}\)とルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)の間には、\begin{equation*}\mathcal{O}\subset \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。この事実は、\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は\(\mathcal{O}\)よりも広いクラスの\(\mathbb{R} \)の部分集合族であることを意味します。このことを示すために、まず、開集合に関しては以下の補題が成り立つことを確認します。

命題(開集合の構造)
\(\mathbb{R} \)上の開集合\(A\in \mathcal{O}\)を任意に選んだとき、これに対して互いに素な可算個の有界半開区間からなる列\(\left\{I_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\subset \mathfrak{S}_{m}\)が存在して、\begin{equation*}A=\bigcup_{k=1}^{\infty }I_{k}
\end{equation*}という形で表すことができる。
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上の補題を踏まえると、開集合がルベーグ可測であることが示されます。

命題(開集合はルベーグ可測)
実数空間\(\mathbb{R} \)上の開集合系\(\mathcal{O}\)とルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)の間には、\begin{equation*}\mathcal{O}\subset \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立つ。
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例(実数空間と空集合はルベーグ可測)
実数空間\(\mathbb{R} \)や空集合\(\phi \)はいずれもルベーグ可測であることを先に示しました。別の角度から再確認すると、\(\mathbb{R} \)と\(\phi \)はともに\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため(確認してください)、上の命題より、これらはやはりルベーグ可測です。
例(任意個の開集合の和集合はルベーグ可測)
実数空間\(\mathbb{R} \)上の開集合系\(\mathcal{O}\)は有限合併、可算合併、非可算合併のいずれについても閉じています。つまり、任意個の開集合の和集合もまた開集合であるということです。したがって、上の命題より、任意個の開集合の和集合もまたルベーグ可測です。
例(可算個の開集合の共通部分はルベーグ可測)
実数空間\(\mathbb{R} \)上の開集合系\(\mathcal{O}\)は有限交叉について閉じていますが、可算交叉や非可算交叉については閉じていません。つまり、有限個の開集合の共通部分は開集合ですが、可算個や非可算個の開集合の共通部分は開集合であるとは限りません。ただし、ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は可算交叉について閉じているため、たとえ可算個の開集合の共通部分が開集合ではなくても、それがルベーグ可測であることは保証されます。

 

閉集合はルベーグ可測

復習になりますが、\(\mathbb{R} \)上の点集合\(A\)が閉集合であることとは、その補集合\(A^{c}\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であることを意味します。つまり、\begin{equation*}\forall a\in A^{c},\ \exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon
,a+\varepsilon \right) \subset A^{c}
\end{equation*}が成り立つとき、\(A\)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。また、\(\mathbb{R} \)上の閉集合をすべて集めてできる集合系を\(\mathbb{R} \)の閉集合系と呼び、これを\(\mathcal{A}\)で表しました。定義より、任意の点集合\(A\in 2^{\mathbb{R} }\)に対して、\begin{equation*}A\in \mathcal{A}\Leftrightarrow A^{c}\in \mathcal{O}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただし、\(\mathcal{O}\)は\(\mathbb{R} \)の開集合系です。

\(\mathbb{R} \)上の任意の閉集合はルベーグ可測です。つまり、閉集合系\(\mathcal{A}\)とルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)の間には、\begin{equation*}\mathcal{A}\subset \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。この事実は、\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は\(\mathcal{A}\)よりも広いクラスの\(\mathbb{R} \)の部分集合族であることを意味します。

命題(閉集合はルベーグ可測)
実数空間\(\mathbb{R} \)上の閉集合系\(\mathcal{A}\)とルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)の間には、\begin{equation*}\mathcal{A}\subset \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立つ。
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例(実数空間と空集合はルベーグ可測)
実数空間\(\mathbb{R} \)や空集合\(\phi \)はいずれもルベーグ可測であることを先に示しました。別の角度から再確認すると、\(\mathbb{R} \)と\(\phi \)はともに\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるため(確認してください)、上の命題より、これらはやはりルベーグ可測です。
例(任意個の閉集合の共通部分はルベーグ可測)
実数空間\(\mathbb{R} \)上の閉集合系\(\mathcal{A}\)は有限交叉、可算交叉、非可算交叉のいずれについても閉じています。つまり、任意個の閉集合の共通部分もまた閉集合であるということです。したがって、上の命題より、任意個の閉集合の共通部分もまたルベーグ可測です。
例(可算個の閉集合の和集合はルベーグ可測)
実数空間\(\mathbb{R} \)上の開集合系\(\mathcal{A}\)は有限合併について閉じていますが、可算合併や非可算合併については閉じていません。つまり、有限個の閉集合の和集合は開集合ですが、可算個や非可算個の閉集合の和集合は閉集合であるとは限りません。ただし、ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu^{\ast }}\)は可算合併について閉じているため、たとえ可算個の閉集合の和集合が閉集合ではなくても、それがルベーグ可測であることは保証されます。
例(コンパクト集合はルベーグ可測)
実数空間\(\mathbb{R} \)上の点集合\(A\)がコンパクト集合であることとは、\(A\)が有界な\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることを意味します。上の命題より\(\mathbb{R} \)上の任意の閉集合は可測であるため、\(\mathbb{R} \)上の任意のコンパクト集合もまた可測です。
例(有限集合はルベーグ可測)
実数空間\(\mathbb{R} \)上の有限集合\(\left\{ x_{1},\cdots,x_{n}\right\} \)について考えます。任意の\(k\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)について、1点集合\(\left\{x_{k}\right\} \)はいずれも\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるため(確認してください)、先の命題よりこれはルベーグ可測です。ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は有限合併について閉じているため、有限個のルベーグ集合\(\left\{ x_{k}\right\} \)の和集合として表される\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{n}\right\} \)はルベーグ可測です。しかも、\(\mathbb{R} \)上の閉集合系\(\mathcal{A}\)も有限合併について閉じているため、有限個の閉集合\(\left\{ x_{k}\right\} \)の和集合として表される\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{n}\right\} \)は閉集合です。つまり、\(\mathbb{R} \)上の有限集合はルベーグ可測かつ閉集合です。
例(可算集合はルベーグ可測)
実数空間\(\mathbb{R} \)上の有限集合\(\left\{ x_{1},x_{2},\cdots\right\} \)について考えます。任意の\(k\ \left( =1,2,\cdots \right) \)について、1点集合\(\left\{x_{k}\right\} \)はいずれも\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるため、先の命題よりこれはルベーグ可測です。ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は可算合併について閉じているため、可算個のルベーグ集合\(\left\{ x_{k}\right\} \)の和集合として表される\(\left\{ x_{1},x_{2},\cdots \right\} \)はルベーグ可測です。一方、\(\mathbb{R} \)上の閉集合系\(\mathcal{A}\)は可算合併について閉じていないため、可算個の閉集合\(\left\{ x_{k}\right\} \)の和集合として表される\(\left\{ x_{1},x_{2},\cdots \right\} \)は閉集合であるとは限りません。つまり、\(\mathbb{R} \)上の可算集合はルベーグ可測ですが閉集合であるとは限りません。

 

区間は可測集合

実数空間\(\mathbb{R} \)上の区間には様々な種類がありますが、それぞれについて振り返りながら、それらがいずれも可測であることを示します。

\(a<b\)を満たす任意の実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}(a,b)=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}と表現される\(\mathbb{R} \)の部分集合を有界な開区間と呼びます。また、実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}(a,+\infty ) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<+\infty \right\} \\
(-\infty ,b) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x<b\right\}
\end{eqnarray*}と表現される\(\mathbb{R} \)の部分集合を無限開区間と呼びます。これらはいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため(確認してください)、先の命題より、これらはいずれもルベーグ可測です。

\(a<b\)を満たす任意の実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}と表現される\(\mathbb{R} \)の部分集合を有界な閉集合と呼びます。また、実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}\lbrack a,+\infty ) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<+\infty \right\} \\
(-\infty ,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}と表現される\(\mathbb{R} \)の部分集合を無限閉区間と呼びます。これらはいずれも\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるため(確認してください)、先の命題より、これらはいずれもルベーグ可測です。

\(a<b\)を満たす任意の実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\lbrack a,b)=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<b\right\}
\end{equation*}と表現される\(\mathbb{R} \)の部分集合を有界な右半開区間や左半閉区間などと呼びます。区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)を定義する際には上の定義において\(a=b\)の場合を認めましたが、より正確には、右半開区間\([a,b)\)の端点は\(a<b\)を満たすものとして定義されます。いずれにせよ、上のように定義される\([a,b)\)は\(\mathfrak{S}_{m}\)の要素であり、先に示したように\(\mathfrak{S}_{m}\)の任意の要素はルベーグ可測であるため、結局、任意の有界な右半開区間もまたルベーグ可測であることが明らかになりました。

\(a<b\)を満たす任意の実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}(a,b]=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x\leq b\right\}
\end{equation*}と表現される\(\mathbb{R} \)の部分集合を有界な左半開区間や右半閉区間などと呼びます。この補集合をとると、\begin{equation*}(a,b]^{c}=(-\infty ,a]\cup (b,+\infty )
\end{equation*}となりますが、これは無限閉区間と無限開区間の和集合です。先に示したように、無限閉区間と無限開区間はともにルベーグ可測です。可測集合系\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は和集合について閉じているため、ルベーグ可測集合の和集合として表される\((a,b]^{c}\)はルベーグ可測です。さらに、\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は補集合について閉じているためルベーグ可測\((a,b]^{c}\)の補集合と一致する\((a,b]\)もまたルベーグ可測であることが明らかになりました。つまり、任意の有界な左半開区間もまたルベーグ可測です。

すべての実数からなる集合は、\begin{equation*}\mathbb{R} =\left( -\infty ,+\infty \right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x<+\infty \right\}
\end{equation*}という特別な区間です。これを全区間と呼びます。先に示したように、\(\mathbb{R} \)はルベーグ可測です。

有界区間\([a,b],(a,b),[a,b),(a,b]\)と無限区間\([a,+\infty ),(-\infty ,b],(a,+\infty ),(-\infty ,b)\)と全区間\(\left( -\infty ,+\infty \right) \)を総称して区間と呼びます。以上の議論から明らかになったように、これらはいずれもルベーグ可測です。つまり、\(\mathbb{R} \)上の任意の区間はルベーグ可測であることが明らかになりました。

命題(区間は可測)
実数空間\(\mathbb{R} \)上の任意の区間はルベーグ可測である。

次回はボレル集合について学びます。

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