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区間の長さ・長さ関数

私たちの目標は数直線\(\mathbb{R}\)の部分集合、すなわち点集合の外延量を測定することですが、当面は点集合の中でも有界な右半開区間だけを外延量の測定対象とし、すべての有界な右半開区間を集めてできる\(\mathbb{R}\)の部分集合族を\(\mathfrak{S}\)で表記しました。つまり、この集合族\(\mathfrak{S}\)の要素であるそれぞれの区間は、\(a\leq b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R}\)を用いて、\begin{equation*}
\lbrack a,b)=\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ -\infty <a\leq x<b<+\infty \right\}
\end{equation*}という形で表現されます。加えて、この集合族\(\mathfrak{S}\)は集合半環であることを示しました。つまり、\(\mathfrak{S}\)は空集合を要素として持ち、共通部分について閉じており、さらに、\(\mathfrak{S}\)の任意の2つの要素の差集合は\(\mathfrak{S}\)の有限個の要素の非交和として表すことができます。

外延量の測定対象となる区間からなる集合族\(\mathfrak{S}\)が与えられたとき、続いて問題になるのは、この集合族\(\mathfrak{S}\)に属するそれぞれの区間の外延量をどのように表現すべきかということです。区間の外延量を表す概念として私たちに馴染み深いものは長さ(length)です。具体的には、それぞれの区間\((a,b]\in \mathfrak{S}\)の長さは、\begin{equation*}
b-a
\end{equation*}と定義されます。そこで、以降においても区間の外延量として「長さ」を採用した上で、区間の集合族に属するそれぞれの区間\(I\in \mathfrak{S}\)に対して、その長さ\(m\left( I\right) \)を定める関数\(m\)を定義し、これを長さ関数(length function)と呼びます。また、区間の集合族\(\mathfrak{S}\)上に長さ関数\(m\)が定義されていることを明示したい場合には、この集合族を、\begin{equation*}
\mathfrak{S}_{m}
\end{equation*}で表記することとします。

例(区間の長さ)
区間\((0,1]\in \mathfrak{S}_{m}\)の長さは、\begin{equation*}
m\left( (0,1]\right) =1-0=1
\end{equation*}です。区間\((-2,3]\in \mathfrak{S}_{m}\)の長さは、\begin{equation*}
m\left( (-2,3]\right) =3-\left( -2\right) =5
\end{equation*}です。空集合\(\phi \)は区間ですが、これは\(a=b\)を満たす区間\((a,b]\)に相当するため、その長さは、\begin{equation*}
m\left( \phi \right) =b-a=0
\end{equation*}となります。

 

区間の長さは\(\sigma \)-加法測度

区間の長さの性質を確認します。区間\((a,b]\in \mathfrak{S}_{m}\)を任意に選んだとき、その端点\(a,b\)は\(a\leq b\)を満たす有限な実数です。さらに、\(\mathbb{R}\)は減法について閉じていることなどから、先の区間の長さは、\begin{equation*}
0\leq m((a,b])=b-a<+\infty
\end{equation*}を満たします。つまり、任意の区間の長さは正の無限大にはならず、有限な非負の実数になります。言い換えると、長さ関数\(m\)は区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)を定義域とし、非負の実数からなる集合\(\mathbb{R}_{+}\)を終集合とする関数\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R}_{+}\)であるということです。このような性質を指して、\(m\)は有限(finite)であるるとか完全有限(totally finite)であるなどと言います。

命題(区間の長さは有限)
区間の長さは有限である。すなわち、長さ関数は\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R}_{+}\)と表現される。
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区間の集合系\(\mathfrak{S}_{m}\)の中から可算個の互いに素な区間を任意に選び、それらからなる集合列を\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)で表記します。つまり、\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)は互いに素な区間からなる可算集合列です。その上で、これら可算個の区間の和集合\begin{equation*}
\bigcup\limits_{k=1}^{\infty }I_{k}
\end{equation*}をとります。以前に確認したように、\(\mathfrak{S}_{m}\)は集合半環である一方で和集合については閉じていません。したがって、上の和集合は\(\mathfrak{S}_{m}\)の要素であるとは限りません。互いに素な可算個の区間の和集合は区間になるとは限らないということです。その一方で、\begin{equation}
\bigcup\limits_{k=1}^{\infty }I_{k}\in \mathfrak{S}_{m} \tag{1}
\end{equation}を満たすような集合列\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)が存在する可能性もあります。長さ関数は\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R}_{+}\)は区間の集合系\(\mathfrak{S}_{m}\)に属する任意の区間に対して長さを1つずつ定めるため、\(\left( 1\right) \)が成り立つ場合には、集合列\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)の和集合に相当する区間の長さ\begin{equation*}
m\left( \bigcup\limits_{k=1}^{\infty }I_{k}\right) \in
\mathbb{R}_{+}
\end{equation*}が定まります。しかも、\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)の和集合に相当する区間の長さと、\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)の要素である個々の区間の長さの間には、\begin{equation}
m\left( \bigcup\limits_{k=1}^{\infty }I_{k}\right) =\sum_{k=1}^{\infty
}m\left( I_{k}\right) \tag{2}
\end{equation}という関係が成り立つことが示されます。ただし、右辺は可算個の区間の長さから構成される無限級数の和であり、これは部分和\begin{equation*}
S_{n}=\sum_{k=1}^{n}m\left( I_{k}\right)
\end{equation*}を項とする数列\(\left\{ S_{n}\right\} \)の極限\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }S_{n}\)として定義されます。つまり、\(\left( 2\right) \)を正確に表現すると、\begin{equation*}
m\left( \bigcup\limits_{k=1}^{\infty }I_{k}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }\left[ \sum_{k=1}^{n}m\left( I_{k}\right) \right] \end{equation*}となります(証明は長くなるため「命題の証明」ページへ掲載します)。このような性質を指して、\(m\)は\(\sigma \)-加法性(\(\sigma \)-additivity)を満たすと言います。

命題(区間の長さはσ-加法性を満たす)
区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R}_{+}\)は\(\sigma \)-加法性を満たす。すなわち、互いに素な区間からなる可算区間列\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\subset \mathfrak{S}_{m}\)が、\begin{equation*}
\bigcup\limits_{k=1}^{\infty }I_{k}\in \mathfrak{S}_{m}
\end{equation*}を満たす場合には、\begin{equation*}
m\left( \bigcup\limits_{k=1}^{\infty }I_{k}\right) =\sum_{k=1}^{\infty
}m\left( I_{k}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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繰り返しになりますが、上の命題は、\begin{equation*}
\bigcup\limits_{k=1}^{\infty }I_{k}\in \mathfrak{S}_{m}
\end{equation*}を満たすような可算区間列\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)に関する主張です。言い換えると、\begin{equation*}
\bigcup\limits_{k=1}^{\infty }I_{k}\not\in \mathfrak{S}_{m}
\end{equation*}であるような\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)に対して、上の命題は何も言っていません。

一般に、集合\(X\)の部分集合族\(\mathfrak{A}\)上に関数\(m:\mathfrak{A}\rightarrow \mathbb{R}\)が定義されており、この関数\(m\)がそれぞれの要素\(A\in \mathfrak{A}\)に対して定める値\(m\left( A\right) \)が非負の実数もしくは正の無限大である場合には、すなわち、\begin{equation*}
\forall A\in \mathfrak{A}:0\leq m\left( A\right) \leq +\infty
\end{equation*}を満たす場合には、この関数\(m\)は非負性(non-negativity)を満たすと言います。また、集合\(X\)の部分集合族\(\mathfrak{A}\)が集合半環であるとともに、関数\(m:\mathfrak{A}\rightarrow \mathbb{R}\)が非負性と\(\sigma \)-加法性をともに満たす場合、\(m\)を\(\sigma \)-加法測度(\(\sigma \)-additive measure)や可算測度(countable measure)などと呼び、\(m\)がそれぞれの集合\(A\in \mathfrak{A}\)に対して定める値\(m\left( A\right) \)を\(A\)の測度(measure)と呼びます。

これまでの議論から明らかになったように、区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)は集合半環であり、区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R}_{+}\)は有限性と\(\sigma \)-加法性を満たします。有限性は明らかに非負性を含意するため、結局、区間の長さ\(m\)は\(\sigma \)-加法測度であるということになります。

命題(区間の長さはσ-加法測度)
区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R}_{+}\)は\(\sigma \)-加法測度である。すなわち、区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)は集合半環であるとともに、\(m\)は非負性と\(\sigma \)-加法性を満たす。
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以上の命題を踏まえた上で、以降では、区間の長さを区間の測度と呼びます。

 

区間の長さの有限加法性

区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R}_{+}\)が\(\sigma \)-加法測度であることを示す際には区間の定義や\(\mathbb{R}\)の性質などを用いましたが、\(m\)が\(\sigma \)-加法測度であることが明らかになれば、\(m\)が満たすその他の性質はいずれも\(m\)が\(\sigma \)-加法測度であるという事実から導出可能であり、区間の定義や\(\mathbb{R}\)の性質などを再び参照する必要はありません。以下ではそのような性質をいくつか提示します。

区間の集合系\(\mathfrak{S}_{m}\)の中から有限個の互いに素な区間を任意に選び、それらからなる集合列を\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{n}\)で表記します。つまり、\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{n}\)は互いに素な区間からなる有限集合列です。その上で、これら有限個の区間の和集合について、\begin{equation*}
\bigcup\limits_{k=1}^{n}I_{k}\in \mathfrak{S}_{m}
\end{equation*}が成り立つ場合、\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{n}\)の和集合に相当する区間の長さと、\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{n}\)の要素である個々の区間の長さの間には、\begin{equation*}
m\left( \bigcup\limits_{k=1}^{n}I_{k}\right) =\sum_{k=1}^{n}m\left(
I_{k}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを、区間の長さ\(m\)が\(\sigma \)-加法測度であることから導かれます。つまり、互いに素な有限個の区間の和集合が区間であるとき、その和集合に相当する区間の長さは、個々の区間の長さの総和と一致するということです。このような性質を指して、\(m\)は有限加法性(finite additivity)を満たすと言います。証明は以下の通りです。

互いに素な区間からなる有限集合列\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{n}\)が、\begin{equation*}
\bigcup\limits_{k=1}^{n}I_{k}\in \mathfrak{S}_{m}
\end{equation*}を満たすものとします。区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)は集合半環であることから\(\phi \in \mathfrak{S}_{m}\)が成り立つため、空集合だけから構成される可算区間列\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=n+1}^{\infty }\)をとることができます。すなわち、\begin{equation}
I_{k}=\phi \quad \left( k=n+1,n+2,\cdots \right) \tag{1}
\end{equation}です。すると、以上の2つの集合列を合わせてできる可算集合列\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)の和集合は、\begin{equation}
\bigcup\limits_{k=1}^{\infty }I_{k}=\bigcup\limits_{k=1}^{n}I_{k} \tag{2}
\end{equation}を満たします。このとき、\begin{eqnarray*}
m\left( \bigcup\limits_{k=1}^{n}I_{k}\right) &=&m\left(
\bigcup\limits_{k=1}^{\infty }I_{k}\right) \quad \because \left( 2\right) \\
&=&\sum_{k=1}^{\infty }m\left( I_{k}\right) \quad \because m\text{の}\sigma \text{-加法性} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}m\left( I_{k}\right) \quad \because \left( 1\right) \text{と}m\left( \phi \right) =0
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

命題(区間の長さの有限加法性)
区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R}_{+}\)は有限加法性を満たす。
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区間の集合系\(\mathfrak{S}_{m}\)上に定義された区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R}_{+}\)は有限加法性と\(\sigma \)-加法性をともに満たすことが明らかになりましたが、一般には、集合半環上に定義された関数が有限加法性を満たす場合、それは\(\sigma \)-加法性を満たすとは限りません。これは以下の例から明らかです。

例(有限加法性を満たすがσ-加法性を満たさない関数)
集合\((0,1]\subset \mathbb{R}\)の部分集合系\(\mathfrak{S}_{m}\)として、\(0\leq a\leq 1\)かつ\(0\leq b\leq 1\)を満たす任意の実数\(a,b\)を用いて、\begin{equation*}
(a,b]=\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ a<x\leq b\right\}
\end{equation*}と表される半開区間をすべて集めたものものについて考えます。この\(\mathfrak{S}_{m}\)が集合半環であることは容易に確認できます(確認してください)。その上で、集合関数\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R}\cup \left\{ +\infty \right\} \)を、\begin{equation*}
m\left( (a,b]\right) =\left\{
\begin{array}{l}
0\quad \left( if\quad 0\leq b\leq a\leq 1\right) \\
b-a\quad \left( if\quad 0<a<b\leq 1\right) \\
+\infty \quad \left( if\quad 0=a<b\leq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を満たすものとして定義します。この\(m\)が有限加法性を満たすことは容易に確認できます(確認してください)。一方、\(m\)は\(\sigma \)-加法性を満たしません。実際、区間\((0,1]\in \mathfrak{S}_{m}\)は、\begin{equation*}
A_{k}=\left( \frac{1}{k+1},\frac{1}{k}\right] \quad \left( k\geq 1\right)
\end{equation*}という区間を用いて、\begin{equation*}
(0,1]=\bigcup\limits_{k=1}^{\infty }\left( \frac{1}{k+1},\frac{1}{k}\right] =\bigcup\limits_{k=1}^{\infty }A_{k}
\end{equation*}という形での無限展開が可能ですが、このとき、\(m\)の定義より、\begin{equation*}
m\left( (0,1]\right) =+\infty
\end{equation*}である一方で、任意の\(k\geq 1\)について\(\frac{1}{k+1}\not=0\)であることから,\begin{align*}
\sum\limits_{k=1}^{\infty }m\left( A_{k}\right) & =\sum\limits_{k=1}^{\infty
}m\left( \left( \frac{1}{k+1},\frac{1}{k}\right] \right) \\
& =\sum\limits_{k=1}^{\infty }\left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right) \quad
\because m\text{の定義} \\
& =1
\end{align*}となるため、\begin{equation*}
m\left( (0,1]\right) \not=\sum\limits_{k=1}^{\infty }m\left( A_{k}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

 

区間の長さの一意性

区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)は集合半環であるため、区間\(I\in \mathfrak{S}_{m}\)を任意に選んだとき、これは互いに素な区間の和集合として有限展開可能です。つまり、互いに素な有限個の区間\(I_{1},\cdots ,I_{n}\in \mathfrak{S}_{m}\)を用いて、\begin{equation*}
I=\bigcup\limits_{k=1}^{n}I_{k}
\end{equation*}と表現できるということです。さらに、区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R}_{+}\)の有限加法性より、この区間\(I\)の長さは、\begin{equation}
m\left( I\right) =\sum\limits_{k=1}^{n}m\left( I_{k}\right) \tag{1}
\end{equation}を満たします。ただ、区間を有限展開する方法は一意的であるとは限りません。つまり、先の区間\(I\)に対して、先ほどとは異なる互いに素な有限個の区間\(J_{1},\cdots ,J_{m}\in \mathfrak{S}_{m}\)が存在し、これらの間にも、\begin{equation*}
I=\bigcup\limits_{l=1}^{m}J_{l}
\end{equation*}という関係が成立し得るということです。このとき、やはり\(m\)の有限加法性より、\begin{equation}
m\left( I\right) =\sum\limits_{l=1}^{m}m\left( J_{l}\right) \tag{2}
\end{equation}が成り立ちます。つまり、区間を異なる方法で有限展開したとき、その区間の長さは\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)のように異なる形で表されますが、実は、両者の値は常に一致することが、区間の長さ\(m\)が\(\sigma \)-加法測度であることから導かれます。つまり、それぞれの区間の長さは有限展開の仕方によらず一定であるということです。言い換えると、区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R}_{+}\)は写像であるということです。証明は以下の通りです。

区間\(I\in \mathfrak{S}_{m}\)が以下のように異なる形で互いに素な区間の和集合として有限展開されるものとします。すなわち、\begin{equation}
I=\bigcup\limits_{k=1}^{n}I_{k}=\bigcup\limits_{l=1}^{m}J_{l} \tag{3}
\end{equation}です。まず、\begin{align*}
\bigcup\limits_{k=1}^{n}I_{k}& =\left( \bigcup\limits_{k=1}^{n}I_{k}\right)
\cap \left( \bigcup\limits_{l=1}^{m}J_{l}\right) \quad \because \left(
3\right) \\
& =\bigcup\limits_{k=1}^{n}\bigcup\limits_{l=1}^{m}\left( I_{k}\cap
J_{l}\right)
\end{align*}となりますが、集合半環である\(\mathfrak{S}_{m}\)は共通部分に閉じているため、任意の\(k,l\)について、\begin{equation*}
I_{k}\cap J_{l}\in \mathfrak{S}_{m}
\end{equation*}が成り立ちます。さらに、異なる\(k,l\)の組に対する\(I_{k}\cap J_{l}\)は互いに素であることから、区間の長さ\(m\)の有限加法性より、\begin{equation*}
m\left( \bigcup\limits_{k=1}^{n}I_{k}\right) =\sum\limits_{k=1}^{n}m\left(
I_{k}\right) =\sum\limits_{k=1}^{n}\sum\limits_{l=1}^{m}m\left( I_{k}\cap
J_{l}\right)
\end{equation*}を得ます。同様に考えると、\begin{equation*}
m\left( \bigcup\limits_{l=1}^{m}J_{l}\right) =\sum\limits_{l=1}^{m}m\left(
J_{k}\right) =\sum\limits_{k=1}^{n}\sum\limits_{l=1}^{m}m\left( I_{k}\cap
J_{l}\right)
\end{equation*}となるため、\begin{equation*}
\sum\limits_{k=1}^{n}m\left( I_{k}\right) =\sum\limits_{l=1}^{m}m\left(
J_{k}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
m\left( \bigcup\limits_{k=1}^{n}I_{k}\right) =m\left(
\bigcup\limits_{l=1}^{m}J_{l}\right)
\end{equation*}であることが示されました。

命題(区間の長さの一意性)
区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R}_{+}\)がそれぞれの区間\(I\in \mathfrak{S}_{m}\)に対して定める長さ\(m\left( I\right) \in \mathbb{R}_{+}\)は、\(I\)の有限展開の方法によらず一意的に定まる。
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区間の長さの単調性

ある区間\(I\)が別の区間\(J\)の部分集合であるならば,\(I\)の長さは\(J\)の長さ以下になるというのは直感的に正しそうですが、これもまた区間の長さ\(m\)が\(\sigma \)-加法測度であることから導かれます。区間の長さが満たすこのような性質を単調性(monotonicity)と呼びます。証明は以下の通りです。

区間\(I,J\in \mathfrak{S}_{m}\)が\(I\subset J\)を満たす場合、\(J\)は\(I\)を含む有限個の互いに素な区間\(I,I_{1},\cdots ,I_{n}\in \mathfrak{S}_{m}\)を用いて、\begin{equation*}
J=I\cup \left( \bigcup\limits_{k=1}^{n}I_{k}\right)
\end{equation*}と有限展開可能であることは以前に示した通りです。すると\(m\)の有限加法性より、\begin{equation}
m\left( J\right) =m\left( I\right) +\sum\limits_{k=1}^{n}m\left(
I_{k}\right) \tag{1}
\end{equation}が成り立ちます。すると、\begin{align*}
m\left( I\right) & \leq m\left( I\right) +\sum_{k=1}^{n}m\left( I_{k}\right)
\quad \because m\text{の非負性} \\
& =\left( m\left( J\right) -\sum\limits_{k=1}^{n}m\left( I_{k}\right)
\right) +\sum_{k=1}^{n}m\left( I_{k}\right) \quad \because \left( 1\right)
\\
& =m\left( J\right)
\end{align*}が成り立つため目標は達成されました。

命題(区間の長さの単調性)
区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R}_{+}\)は単調性を満たす。すなわち、任意の区間\(I,J\in \mathfrak{S}_{m}\)に対して、\begin{equation*}
I\subset J\ \Rightarrow \ m\left( I\right) \leq m\left( J\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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区間の長さの減法性

ある区間\(I\)が別の区間\(J\)の部分集合であるものとします。区間集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)は集合半環である一方で差集合については閉じていないため、差集合\(J\backslash I\)は区間であるとは限りません。一方、\(J\backslash I\)が区間である場合、その長さは\(J\)の長さと\(I\)の長さの差になります。これもまた区間の長さ\(m\)が\(\sigma \)-加法測度であることから導かれます。区間の長さが満たすこのような性質を減法性(subtractivity)と呼びます。証明は以下の通りです。

区間\(I,J\in \mathfrak{S}_{m}\)が\(I\subset J\)と\(J\backslash I\in \mathfrak{S}_{m}\)をともに満たすものとします。このとき、\begin{equation*}
J=I\cup \left( J\backslash I\right)
\end{equation*}という形で\(J\)は2つの互いに素な区間\(I\)と\(J\backslash I\)に有限展開可能です。すると\(m\)の有限加法性より、\begin{equation*}
m\left( J\right) =m\left( I\right) +m\left( J\backslash I\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
m\left( J\backslash I\right) =m\left( J\right) -m\left( I\right)
\end{equation*}となるため目標が達成されました。

命題(区間の長さの減法性)
区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R}_{+}\)は減法性を満たす。すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ I\subset J \\
&&\left( b\right) \ J\backslash I\in \mathfrak{S}_{m}
\end{eqnarray*}をともに満たす任意の区間\(I,J\in \mathfrak{S}_{m}\)に対して、\begin{equation*}
m\left( J\backslash I\right) =m\left( J\right) -m\left( I\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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区間の長さの\(\sigma \)-劣加法性

区間の長さ\(m\)が満たす性質の1つである\(\sigma \)-加法性は、互いに素な可算個の区間の長さに関するものですが、互いに素であるとは限らない可算個の区間の長さについては、何らかの性質を導くことができるのでしょうか。

区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)の中から可算個の区間を任意に選び、それらからなる集合列を\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)で表記します。これまでの議論とは異なり、これらの区間は互いに素である必要はありません。このとき、ある区間\(I\in \mathfrak{S}_{m}\)が存在して、\begin{equation*}
I\subset \bigcup\limits_{k=1}^{\infty }I_{k}
\end{equation*}が成り立つ場合には、これらの測度の間に、\begin{equation*}
m\left( I\right) \leq \sum_{k=1}^{\infty }m\left( I_{k}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが、区間の長さ\(m\)が\(\sigma \)-加法測度であることから導かれます(証明は長くなるため「命題の証明」ページへ掲載します)。つまり、互いに素であるとは限らない可算個の区間の長さの総和は、それらによって覆われる区間の長さ以上であるということです。区間の長さが満たすこの性質を\(\sigma \)-劣加法性(\(\sigma \)-subadditivity)や可算劣加法性(countable subadditivity)などと呼びます。

命題(区間の長さのσ-劣加法性)
区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R}_{+}\)は\(\sigma \)-劣加法性を満たす。すなわち、\begin{equation*}
I\subset \bigcup\limits_{k=1}^{\infty }I_{k}
\end{equation*}を満たす区間\(I\in \mathfrak{S}_{m}\)と可算区間列\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\subset \mathfrak{S}_{m}\)に対して、\begin{equation*}
m\left( I\right) \leq \sum_{k=1}^{\infty }m\left( I_{k}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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次回は区間塊について学びます。

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