区間の長さ
私たちの目標は数直線\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合の外延量を測定することですが、当面は\(a\leq b\)を満たす点\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界な右半開区間\begin{equation*}\lbrack a,b)=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<b\right\}
\end{equation*}だけを外延量の測定対象とした上で、このような区間をすべて集めることにより得られる集合族\begin{equation*}
\mathfrak{S}=\left\{ [a,b)\subset \mathbb{R} \ |\ -\infty <a\leq b<+\infty \right\}
\end{equation*}が集合半環であることを示しました。つまり、\(\mathfrak{S}\)は以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \phi \in \mathfrak{S} \\
&&\left( b\right) \ \forall I,I^{\prime }\in \mathfrak{S}:I\cap I^{\prime
}\in \mathfrak{S} \\
&&\left( c\right) \ \forall I,I^{\prime }\in \mathfrak{S},\ \exists n\in \mathbb{N} ,\ \exists \text{互いに素な}I_{1},\cdots
,I_{n}\in \mathfrak{S}:I\backslash I^{\prime }=\bigcup\limits_{k=1}^{n}I_{k}
\end{eqnarray*}を満たします。
区間の集合族\(\mathfrak{S}\)に属するそれぞれの区間の外延量をどのように定義すべきでしょうか。区間の外延量を表す概念として私たちに馴染み深いものは長さ（length）です。そこで、区間\((a,b]\in \mathfrak{S}\)の外延量として、その長さ\begin{equation*}b-a
\end{equation*}を採用します。その上で、それぞれの区間\(I\in \mathfrak{S}\)に対して、その長さ\(m\left( I\right) \in \mathbb{R} \)を特定する関数\begin{equation*}m:\mathfrak{S}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義し、これを区間の長さ関数（length function）や長さ（length）などと呼びます。区間の集合族\(\mathfrak{S}\)上に長さ関数\(m\)が定義されていることを明示したい場合には、\begin{equation*}\mathfrak{S}_{m}
\end{equation*}と表記します。
\end{equation*}です。区間\([-2,3)\in \mathfrak{S}_{m}\)の長さは、\begin{equation*}m\left( [-2,3)\right) =3-\left( -2\right) =5
\end{equation*}です。空集合\(\phi \)は\(a=b\)を満たす区間\([a,b)\)に相当するため、その長さは、\begin{equation*}m\left( \phi \right) =b-a=0
\end{equation*}です。
区間の長さの有限性
区間の長さの性質を確認します。区間\(I\in \mathfrak{S}_{m}\)を任意に選んだとき、その長さは、\begin{equation*}0\leq m\left( I\right) <+\infty
\end{equation*}を満たします。区間の長さは有限な非負の実数であるということです。言い換えると、長さ関数\(m\)は区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)を定義域とし、非負の実数からなる集合\(\mathbb{R} _{+}\)を終集合とする関数\begin{equation*}m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}であるということです。このような性質を指して、\(m\)は有限（finite）であると言います。
m\left( [0,1)\right) &=&1-0=1 \\
m\left( [-1,1)\right) &=&1-\left( -1\right) =2 \\
m\left( [1,1)\right) &=&1-1=0
\end{eqnarray*}などが成り立ちますが、これらはいずれも有限な実数です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
区間の長さのσ-加法性
区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)の中から可算個の互いに素な区間を任意に選んだ上で、それらを要素とする集合列\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{+\infty }\)を作ります。その上で、この集合列の和集合\begin{equation*}\bigcup\limits_{k=1}^{+\infty }I_{k}
\end{equation*}をとります。以前に確認したように\(\mathfrak{S}_{m}\)は和集合について閉じていないため、この和集合は\(\mathfrak{S}_{m}\)の要素であるとは限りません。その一方で、\begin{equation*}\bigcup\limits_{k=1}^{+\infty }I_{k}\in \mathfrak{S}_{m}
\end{equation*}を満たす集合列\(\left\{I_{k}\right\} _{k=1}^{+\infty }\)に対しては、つまり、互いに素な可算個の区間の和集合として表される区間に対しては、長さ関数\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)がその長さ\begin{equation*}m\left( \bigcup\limits_{k=1}^{+\infty }I_{k}\right) \in \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}を定めます。この場合、\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{+\infty }\)の和集合に相当する区間の長さと、\(\left\{ I_{k}\right\}_{k=1}^{+\infty }\)の要素である個々の区間の長さの間には以下の関係\begin{equation*}m\left( \bigcup\limits_{k=1}^{+\infty }I_{k}\right) =\sum_{k=1}^{+\infty
}m\left( I_{k}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、右辺は無限級数\(\left\{ m\left( I_{k}\right) \right\} _{k=1}^{+\infty }\)の和であるため、これは部分和\begin{equation*}S_{n}=\sum_{k=1}^{n}m\left( I_{k}\right)
\end{equation*}を項とする数列\(\left\{S_{n}\right\} \)の極限\(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}S_{n}\)として定義されます。つまり、\begin{equation*}\sum_{k=1}^{+\infty }m\left( I_{k}\right) =\lim_{n\rightarrow +\infty }\left[
\sum_{k=1}^{n}m\left( I_{k}\right) \right]
\end{equation*}と定義されるため、先の主張を正確に表現すると、\begin{equation*}
m\left( \bigcup\limits_{k=1}^{+\infty }I_{k}\right) =\lim_{n\rightarrow
+\infty }\left[ \sum_{k=1}^{n}m\left( I_{k}\right) \right]
\end{equation*}となります。つまり、ある区間が互いに素な可算個の区間に分割可能である場合、その区間の長さ（左辺）は、それを構成する個々の区間の長さの合計（右辺）と一致するということです。このような性質を指して、区間の長さ\(m\)は\(\sigma \)-加法性（\(\sigma \)-additivity）を満たすと言います。
\end{equation*}を満たす場合には、\begin{equation*}
m\left( \bigcup\limits_{k=1}^{+\infty }I_{k}\right) =\sum_{k=1}^{+\infty
}m\left( I_{k}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation}と定義するとき、\(\left\{I_{k}\right\} _{k=1}^{+\infty }\)は互いに素な\(\mathfrak{S}_{m}\)の区間からなる可算区間列であるとともに、\begin{equation}\bigcup\limits_{k=1}^{+\infty }I_{k}=\left[ 0,1\right) \in \mathfrak{S}_{m}
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。さらに、\begin{eqnarray*}
m\left( \bigcup\limits_{k=1}^{+\infty }I_{k}\right) &=&m\left( \left[
0,1\right) \right) \quad \because \left( 2\right) \\
&=&1-0\quad \because m\text{の定義} \\
&=&1
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
\sum_{k=1}^{+\infty }m\left( I_{k}\right) &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }
\left[ \sum_{k=1}^{n}m\left( I_{k}\right) \right] \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left[ \sum_{k=1}^{n}m\left( \left[ \frac{1}{k+1},\frac{1}{k}\right) \right) \right] \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left[ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k\left(
k+1\right) }\right] \quad \because m\text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( \frac{n}{n+1}\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
m\left( \bigcup\limits_{k=1}^{+\infty }I_{k}\right) =\sum_{k=1}^{+\infty
}m\left( I_{k}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。この結果は先の命題の主張と整合的です。
先の命題は、以下の条件\begin{equation*}
\bigcup\limits_{k=1}^{+\infty }I_{k}\in \mathfrak{S}_{m}
\end{equation*}を満たす互いに素な可算区間列\(\left\{ I_{k}\right\}_{k=1}^{+\infty }\)だけを対象とした主張であることに注意してください。一方、\begin{equation*}\bigcup\limits_{k=1}^{+\infty }I_{k}\not\in \mathfrak{S}_{m}
\end{equation*}であるような可算区間列\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{+\infty }\)に対して、先の命題は何も言っていません。つまり、「可算個の互いに素な区間の和集合が区間でない場合においても、全体の長さは、それを構成するそれぞれの区間の長さの合計である」とまでは先の命題は主張していません。
I_{1} &=&\left( 0,\frac{1}{2}\right] \\
I_{2} &=&\left( \frac{2}{3},\frac{3}{4}\right] \\
I_{3} &=&\left( \frac{4}{5},\frac{5}{6}\right] \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。この区間列の和集合は、\begin{eqnarray*}
\bigcup\limits_{k=1}^{+\infty }I_{k} &=&\bigcup\limits_{k=1}^{+\infty
}\left( 1-\frac{1}{2k-1},1-\frac{1}{2k}\right] \\
&=&\left( 0,\frac{1}{2}\right] \cup \left( \frac{2}{3},\frac{3}{4}\right] \cup \left( \frac{4}{5},\frac{5}{6}\right] \cup \cdots
\end{eqnarray*}ですが、これは数直線上において\(1\)に向かって無限に並ぶ細切れの区間の集まりであり、個々の区間の間には隙間があります。したがって、\begin{equation*}\bigcup\limits_{k=1}^{+\infty }I_{k}\not\in \mathfrak{S}_{m}
\end{equation*}であるため、区間の長さ\(m\)はこの和集合の長さを測ることができません。したがってこれは\(\sigma \)-加法性の適用対象外です。
区間の長さはσ-加法測度
集合\(X\)の部分集合族\(\mathfrak{A}\subset 2^{X}\)上に定義された関数\(m\)がそれぞれの集合\(A\in \mathfrak{A}\)に対して定める値が非負の実数もしくは正の無限大である場合には、すなわち、\begin{equation*}0\leq m\left( A\right) \leq +\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、この関数\(m\)は非負性（non-negativity）を満たすと言います。また、集合\(X\)の部分集合族\(\mathfrak{A}\subset 2^{X}\)が集合半環であるとともに、\(\mathfrak{A}\)上に定義された関数\(m\)が非負性と\(\sigma \)-加法性をともに満たす場合には、\(m\)を\(\sigma \)-加法測度（\(\sigma \)-additive measure）や可算測度（countable measure）などと呼び、\(m\)がそれぞれの集合\(A\in \mathfrak{A}\)に対して定める値\(m\left( A\right) \)を\(A\)の測度（measure）と呼びます。
これまでの議論から明らかになったように、区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)は集合半環であり、区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は有限性と\(\sigma \)-加法性を満たします。有限性は明らかに非負性を含意するため、結局、区間の長さ\(m\)は\(\sigma \)-加法測度であるということになります。
区間の長さの有限加法性
これまでの議論において、区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が\(\sigma \)-加法測度であることを示す際に区間の定義や\(\mathbb{R} \)の性質を用いましたが、\(m\)が\(\sigma \)-加法測度であることが明らかになれば、\(m\)が満たすその他の性質はいずれも\(m\)が\(\sigma \)-加法測度であるという事実から導出可能であり、区間の定義や\(\mathbb{R} \)の性質を再び参照する必要はありません。以下ではそのような性質をいくつか提示します。
区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)の中から有限個の互いに素な区間を任意に選んだ上で、それらを要素とする集合列\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{n}\)を構成します。その上で、この集合列の和集合\begin{equation*}\bigcup\limits_{k=1}^{n}I_{k}
\end{equation*}をとります。\(\mathfrak{S}_{m}\)は和集合について閉じていないため、この和集合は\(\mathfrak{S}_{m}\)の要素であるとは限りません。その一方で、\begin{equation*}\bigcup\limits_{k=1}^{n}I_{k}\in \mathfrak{S}_{m}
\end{equation*}を満たす集合列\(\left\{I_{k}\right\} _{k=1}^{n}\)に対しては、長さ関数\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はその長さ\begin{equation*}m\left( \bigcup\limits_{k=1}^{n}I_{k}\right) \in \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}を定めます。しかもこの場合、\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{n}\)の和集合に相当する区間の長さと、\(\left\{I_{k}\right\} _{k=1}^{n}\)の要素である個々の区間の長さの間には以下の関係\begin{equation*}m\left( \bigcup\limits_{k=1}^{n}I_{k}\right) =\sum_{k=1}^{n}m\left(
I_{k}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ある区間が互いに素な有限個の区間に分割可能である場合、その区間の長さ（左辺）は、それを構成する個々の区間の長さの合計（右辺）と一致するということです。このような性質を指して、\(m\)は有限加法性（finite additivity）を満たすと言います。
\end{equation*}を満たす場合には、\begin{equation*}
m\left( \bigcup\limits_{k=1}^{n}I_{k}\right) =\sum_{k=1}^{n}m\left(
I_{k}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}に分解します。左辺については、\begin{equation*}
m\left( \left[ 0,3\right) \right) =3
\end{equation*}である一方で、右辺については、\begin{equation*}
m\left( \left[ 0,1\right) \right) +m\left( \left[ 1,3\right) \right) =1+2=3
\end{equation*}であるため、有限加法性\begin{equation*}
m\left( \left[ 0,3\right) \right) =m\left( \left[ 0,1\right) \right)
+m\left( \left[ 1,3\right) \right)
\end{equation*}が成立しています。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
区間の長さの一意性
区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)は集合半環であるため、区間\(I\in \mathfrak{S}_{m}\)を任意に選んだとき、これは互いに素な区間の和集合として表現可能です。つまり、互いに素な有限個の区間\(I_{1},\cdots ,I_{n}\in \mathfrak{S}_{m}\)を用いて、\begin{equation*}I=\bigcup\limits_{k=1}^{n}I_{k}
\end{equation*}と表現できるということです。さらに、区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)の有限加法性より、この区間\(I\)の長さは、\begin{equation}m\left( I\right) =\sum\limits_{k=1}^{n}m\left( I_{k}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}と定まります。ここで問題になるのは、区間\(I\)を有限展開する方法は一意的ではないということです。つまり、先の区間\(I\)に対して、先ほどとは異なる互いに素な有限個の区間\(J_{1},\cdots ,J_{m}\in \mathfrak{S}_{m}\)が存在し、これらの間にも、\begin{equation*}I=\bigcup\limits_{l=1}^{m}J_{l}
\end{equation*}という関係が成立し得るということです。このとき、やはり\(m\)の有限加法性より、\begin{equation}m\left( I\right) =\sum\limits_{l=1}^{m}m\left( J_{l}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。つまり、区間を異なる方法で有限展開した場合、その長さは\(\left(1\right) \)と\(\left( 2\right) \)のように異なる形で表されますが、実は、両者の値は常に一致することが保証されます。それぞれの区間の長さは有限展開の仕方によらず一定であるということです。言い換えると、区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は写像であるということです。
\end{equation*}と展開されているものとする。このとき、区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)のもとでは、\begin{equation*}\sum\limits_{k=1}^{n}m\left( I_{k}\right) =\sum\limits_{l=1}^{m}m\left(
J_{l}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\left[ 0,3\right) &=&\left[ 0,1\right) \cup \left[ 1,2\right) \cup \left[
2,3\right)
\end{eqnarray*}で有限展開します。最初の有限展開については、\begin{equation*}
m\left( \left[ 0,1\right) \right) +m\left( \left[ 1,3\right) \right) =1+2=3
\end{equation*}が成り立ち、2番目の有限展開については、\begin{equation*}
m\left( \left[ 0,1\right) \right) +m\left( \left[ 1,2\right) \right)
+m\left( \left[ 2,3\right) \right) =1+1+1=3
\end{equation*}となるため両者は一致します。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
先の命題は有限展開に関するものですが、可算展開についても同様の主張が成り立ちます。
\end{equation*}と展開されているものとする。このとき、区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)のもとでは、\begin{equation*}\sum_{k=1}^{+\infty }m\left( I_{k}\right) =\sum_{l=1}^{+\infty }m\left(
J_{l}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
区間の長さの単調性
ある区間\(I\in \mathfrak{S}_{m}\)が別の区間\(J\in \mathfrak{S}_{m}\)の部分集合であるならば，\(I\)の長さは\(J\)の長さ以下になるというのは直感的に正しそうですが、これもまた区間の長さ\(m\)が\(\sigma \)-加法測度であることから導かれます。区間の長さが満たすこのような性質を単調性（monotonicity）と呼びます。
I\right) \leq m\left( J\right) \right] \end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より、\begin{equation*}
m\left( \left[ 2,5\right) \right) \leq m\left( \left[ 1,7\right) \right)
\end{equation*}が成り立つはずです。実際、\begin{eqnarray*}
m\left( \left[ 2,5\right) \right) &=&3 \\
m\left( \left[ 1,7\right) \right) &=&6
\end{eqnarray*}であるため主張が成り立ちます。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
区間の長さの減法性
ある区間\(I\in \mathfrak{S}_{m}\)が別の区間\(J\in \mathfrak{S}_{m}\)の部分集合であるものとします。区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)は集合半環である一方で差集合について閉じていないため、差集合\(J\backslash I\)は区間であるとは限りません。一方、\(J\backslash I\)が区間である場合、すなわち\(J\backslash I\in \mathfrak{S}_{m}\)が成り立つ場合、その長さは\(J\)の長さと\(I\)の長さの差になります。これもまた区間の長さ\(m\)が\(\sigma \)-加法測度であることから導かれます。区間の長さが満たすこのような性質を減法性（subtractivity）と呼びます。
&&\left( b\right) \ J\backslash I\in \mathfrak{S}_{m}
\end{eqnarray*}をともに満たす任意の区間\(I,J\in \mathfrak{S}_{m}\)に対して、\begin{equation*}m\left( J\backslash I\right) =m\left( J\right) -m\left( I\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}が成り立つとともに、\begin{equation*}
\left[ 1,3\right) \backslash \left[ 1,2\right) =\left[ 2,3\right) \in
\mathfrak{S}_{m}
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より、\begin{equation*}
m\left( \left[ 1,3\right) \backslash \left[ 1,2\right) \right) =m\left( \left[ 1,3\right) \right) -m\left( \left[ 1,2\right) \right)
\end{equation*}が成り立つはずです。実際、\begin{eqnarray*}
m\left( \left[ 1,3\right) \backslash \left[ 1,2\right) \right) &=&m\left( \left[ 2,3\right) \right) =1 \\
m\left( \left[ 1,3\right) \right) &=&2 \\
m\left( \left[ 1,2\right) \right) &=&1
\end{eqnarray*}であるため主張が成り立ちます。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
区間の長さのσ-劣加法性
区間の長さ\(m\)が満たす性質の1つである\(\sigma \)-加法性は互いに素な可算個の区間の長さに関するものですが、互いに素であるとは限らない可算個の区間の長さについて何らかの性質を導くことができるのでしょうか。
区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)の中から可算個の区間を任意に選び、それらからなる集合列\(\left\{I_{k}\right\} _{k=1}^{+\infty }\)を構成します。これらの区間は互いに素である必要はありません。このとき、ある区間\(I\in \mathfrak{S}_{m}\)が存在して、\begin{equation*}I\subset \bigcup\limits_{k=1}^{+\infty }I_{k}
\end{equation*}が成り立つ場合には、これらの測度の間に以下の関係\begin{equation*}
m\left( I\right) \leq \sum_{k=1}^{+\infty }m\left( I_{k}\right)
\end{equation*}が成り立つことが区間の長さ\(m\)の\(\sigma \)-加法性から導かれます。つまり、互いに素であるとは限らない可算個の区間の長さの総和は、それらによって覆われる区間の長さ以上であるということです。逆に、区間\(I\)を覆う区間列\(\left\{I_{k}\right\} _{k=1}^{+\infty }\)を構成すれば、先の不等式を用いることにより区間\(I\)の長さを上から評価できます。区間の長さが満たす以上の性質を\(\sigma \)-劣加法性（\(\sigma \)-subadditivity）や可算劣加法性（countable subadditivity）などと呼びます。
\end{equation*}を満たす区間\(I\in \mathfrak{S}_{m}\)と可算区間列\(\left\{ I_{k}\right\}_{k=1}^{+\infty }\subset \mathfrak{S}_{m}\)に対して、\begin{equation*}m\left( I\right) \leq \sum_{k=1}^{+\infty }m\left( I_{k}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
先の命題は可算区間列に関するものでしたが、有限区間列に関しても同様の主張が成り立ちます。これを有限劣加法性（finite subadditivity）と呼びます。
\end{equation*}を満たす区間\(I\in \mathfrak{S}_{m}\)と有限区間列\(\left\{ I_{k}\right\}_{k=1}^{n}\subset \mathfrak{S}_{m}\)に対して、\begin{equation*}m\left( I\right) \leq \sum_{k=1}^{n}m\left( I_{k}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
区間の長さの移動不変性
区間\(I\in \mathfrak{S}_{m}\)と実数\(y\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、区間\(I\)のそれぞれの要素に\(y\)を加えることにより得られる実数からなる集合を、\begin{equation*}I+y=\left\{ x+y\in \mathbb{R} \ |\ x\in I\right\}
\end{equation*}で表記します。つまり、区間\(I\)のすべての要素に\(y\)を加える形で\(I \)を平行移動することにより得られる集合が\(I+y\)であるということです。
区間\(I\in \mathfrak{S}_{m}\)と実数\(y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(I+y\)もまた区間になるとともに、すなわち\(I+y\in \mathfrak{S}_{m}\)であるとともに、区間の長さ\(m\)のもとでは以下の関係\begin{equation*}m\left( I+y\right) =m\left( I\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、任意の区間を任意の形で並行移動しても、その前後において、区間の測度は変わらないということです。以上の性質を指して、区間の長さは移動不変性（translation invariant）を満たすと言います。
\end{equation*}を満たす。
\end{equation*}です。この区間を正の方向に\(5\)だけ平行させた集合は、\begin{equation*}\left[ 1,3\right) +5=\left[ 6,8\right)
\end{equation*}であるため、その長さは、\begin{equation*}
m\left( \left[ 1,3\right) +5\right) =2
\end{equation*}です。したがって、\begin{equation*}
m\left( \left[ 1,3\right) +5\right) =m\left( \left[ 1,3\right) \right)
\end{equation*}が成立していますが、以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
演習問題
I\subset \bigcup\limits_{k=1}^{n}I_{k}
\end{equation*}を満たす区間\(I\in \mathfrak{S}_{m}\)と有限区間列\(\left\{ I_{k}\right\}_{k=1}^{n}\subset \mathfrak{S}_{m}\)が与えられたとき、区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)のもとでは、\begin{equation*}m\left( I\right) \leq \sum_{k=1}^{n}m\left( I_{k}\right)
\end{equation*}が成り立ちます（有限劣加法性）。区間列\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{n}\)の要素が重なりあっている場合、不等式は狭義の不等号\(<\)で成立することを示す具体例を作ってください。
\end{equation*}と定義します。以下の問いに答えてください。
- 区間列\(\left\{ I_{k}\right\} _{k=1}^{+\infty }\)が互いに素であることを示してください。
- 和集合\(\bigcup_{k=1}^{+\infty }I_{k}\)はどのような集合になるか答えてください。
- 区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)の\(\sigma \)-加法性を用いて、この和集合の長さを級数として計算してください。
\end{equation*}と表される半開区間をすべて集めたものについて考えます。まず、この集合族\(\mathfrak{S}\)が集合半環であることを示してください。その上で、集合関数\(m:\mathfrak{S}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)を、\begin{equation*}m\left( (a,b]\right) =\left\{
\begin{array}{l}
0\quad \left( if\quad 0\leq b\leq a\leq 1\right) \\
b-a\quad \left( if\quad 0<a<b\leq 1\right) \\
+\infty \quad \left( if\quad 0=a<b\leq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定義したとき、この\(m\)は有限加法性を満たす一方で\(\sigma \)-加法性を満たさないことを示してください。
