区間塊

区間塊

私たちの目標は数直線\(\mathbb{R} \)の部分集合、すなわち点集合の外延量を測定することですが、まずは\(\mathbb{R} \)上の有界な右半開区間からなる集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)の要素である区間のみを外延量の測定対象とし、区間の外延量を表す概念として区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)を導入した上で、これが\(\sigma \)-加法測度としての性質を満たすことを示しました。つまり、区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)は集合半環であるとともに、\(m\)は非負性と\(\sigma \)-加法性を満たします。

ただ、数直線\(\mathbb{R} \)上には有界な区間というクラスには属さない点集合が存在します。言い換えると、\(\mathbb{R} \)の部分集合の中には区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)の要素でないものが存在するということです。したがって、先に導入した区間の長さ\(m\)では、区間よりも広いクラスの\(\mathbb{R} \)の点集合の外延量を計測できないことになります。このような問題を解消するためには、区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)よりも広いクラスの\(\mathbb{R} \)の部分集合族を導入するとともに、区間の長さ\(m\)を拡張する形で、その新たな集合族に属するそれぞれの点集合の外延量を測定し得る測度概念を導入する必要があります。そこで、まずは\(\mathfrak{S}_{m}\)よりも広いクラスの\(\mathbb{R} \)の部分集合族を以下で導入します。

区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)が与えられたとき、そこから互いに素な有限個の区間\(I_{1},\cdots ,I_{n}\in \mathfrak{S}_{m}\)を任意に選んだ上で、それらの和集合\begin{equation*}\bigcup\limits_{k=1}^{n}I_{k}
\end{equation*}をとります。このような\(\mathbb{R} \)の部分集合を区間塊（figure）や基本集合（elementary set）などと呼びます。

以下の例が示唆するように、任意の区間は区間塊である一方、区間塊は区間であるとは限りません。

区間の集合系\(\mathfrak{S}_{m}\)が与えられたとき、\(\mathfrak{S}_{m}\)の要素である区間から生成されるすべての区間塊からなる集合族を、\begin{equation*}\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)
\end{equation*}で表記します。区間塊は\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため、区間塊を要素として持つ\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は\(\mathbb{R} \)の部分集合族です。区間塊の定義より、区間塊\(A\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)を任意に選んだとき、それに対して互いに素な有限個の区間\(I_{1},\cdots ,I_{n}\in \mathfrak{S}_{m}\)が存在して、\begin{equation*}A=\bigcup_{k=1}^{n}I_{k}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただし、区間塊\(A\)が与えられたとき、それに対して上の関係を満たす区間\(I_{1},\cdots ,I_{n}\)の組は一意的であるとは限りません。

先に例を通じて確認したように、任意の区間は区間塊であるため、区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)と区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)の間には、\begin{equation*}\mathfrak{S}_{m}\subset \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。一方、区間塊は区間であるとは限らないため、\begin{equation*}
\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \subset \mathfrak{S}_{m}
\end{equation*}という関係は成り立つとは限りません。したがって、\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は\(\mathfrak{S}_{m}\)よりも広いクラスの\(\mathbb{R} \)の部分集合族であると言えます。そこで、\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)に属するそれぞれの区間塊に対して外延量を与えることが当面の目標としますが、その前に\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)の性質を確認します。

区間塊どうしの差集合は区間塊

区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)が満たす1つ目の性質は、2つの区間塊\(A,B\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)を任意に選んだときに、\begin{equation*}A\backslash B\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)
\end{equation*}が成り立つというものです。つまり、\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は差集合について閉じています。外延量の測定対象である2つの区間塊が任意に与えられたとき、それらの差集合もまた外延量の測定対象になるということです。

区間塊どうしの和集合は区間塊

区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)が満たす2つ目の性質は、2つの区間塊\(A,B\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)を任意に選んだときに、\begin{equation*}A\cup B\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)
\end{equation*}が成り立つというものです。つまり、\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は和集合について閉じています。外延量の測定対象である2つの区間塊が任意に与えられたとき、それらの和集合もまた外延量の測定対象になるということです。

有限個の区間塊\(A_{1},\cdots,A_{n}\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)を任意に選んだときに、先の命題を繰り返し適用することにより、\begin{equation*}\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されます。つまり、有限個の区間塊の和集合もまた区間塊になるということです。この性質を指して、\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は有限合併について閉じている（closed with respect to finite unions）と言います。逆に、\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)が有限合併について閉じているとき、\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は明らかに2つの区間塊の和集合についても閉じています。つまり、\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は和集合について閉じているということです。したがって以下の命題を得ます。

ちなみに、区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は可算合併について閉じていません。つまり、可算個の区間塊\(A_{1},A_{2},\cdots ,A_{k},\cdots \in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)に対して、\begin{equation*}\bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k}\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)
\end{equation*}は成り立つとは限らないということです。以下の例より明らかです。

空集合は区間塊

区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)が満たす3つ目の性質は、\begin{equation*}\phi \in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)
\end{equation*}というものです。つまり、空集合は区間塊です。

区間塊の集合族は集合環

一般に、集合\(X\)の部分集合族\(\mathfrak{A}\)が空集合を要素として持つとともに差集合と和集合の双方について閉じている場合、そのような\(\mathfrak{A}\)を集合環（ring of sets）と呼びます。先に示したように、区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は以上の3つの性質を満たしますが、これは\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)が集合環であることを意味します。

区間塊の集合族は対称差について閉じている

区間塊\(A,B\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)を任意に選んだとき、それらの対称差は、\begin{equation*}A\Delta B=\left( A\backslash B\right) \cup \left( B\backslash A\right)
\end{equation*}と定義されますが、先に示したように区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は差集合と和集合について閉じているため、\begin{equation*}A\Delta B\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)
\end{equation*}を得ます。つまり、\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は対称差について閉じています。外延量の測定対象である2つの区間塊が任意に与えられたとき、それらの対称差もまた外延量の測定対象になるということです。

最小環としての区間塊の集合族

これまでの議論を振り返ってみると、まず、数直線\(\mathbb{R} \)上の区間からなる集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)が集合半環であること示し、さらに、\(\mathfrak{S}_{m}\)から生成される区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)が集合環であることを示しました。さらに、両者の間には、\begin{equation*}\mathfrak{S}_{m}\subset \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。一般に、集合環は集合半環であるため（演習問題）、以上の事実は\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)が\(\mathfrak{S}_{m}\)の拡張であることを意味します。

区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)を部分集合として含む集合環ですが、このような性質を満たす\(\mathbb{R} \)の部分集合族は\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)だけに限定されません。例えば、\(\mathbb{R} \)のベキ集合\(2^{\mathbb{R} }\)は明らかにそのような集合族の1つです。このような事情を踏まえたとき、\(\mathfrak{S}_{m}\)の拡張として\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)を考察対象とすることにはどのような正当性があるのでしょうか。

このような疑問について考えるために、まずは、\(\mathfrak{S}_{m}\)を部分集合として含む集合環をすべて集めて得られる\(\mathbb{R} \)の部分集合族について考え、それを、\begin{equation}\left\{ \mathfrak{R}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda } \quad \cdots (1)
\end{equation}で表記します。先の議論より、\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)や\(2^{\mathbb{R} }\)もまた\(\left( 1\right) \)の要素です。さらに、上の集合族\(\left( 1\right) \)の共通部分\begin{equation}\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{R}_{\lambda } \quad \cdots (2)
\end{equation}をとります。\(\left( 2\right) \)は\(\mathbb{R} \)の部分集合族である\(\left( 1\right) \)の共通部分であるため、\(\left( 2\right) \)の要素もまた\(\mathbb{R} \)の部分集合です。つまり、\(\left( 2\right) \)もまた\(\mathbb{R} \)の部分集合族であるということです。さらに、共通部分の定義より、\begin{equation*}\forall \lambda ^{\prime }\in \Lambda :\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{R}_{\lambda }\subset \mathfrak{R}_{\lambda ^{\prime }}
\end{equation*}が明らかに成り立ちます。つまり、\(\left( 2\right) \)は集合族\(\left( 1\right) \)のすべての要素の部分集合であるということです。さらに、\(\left( 2\right) \)自身もまた\(\mathfrak{S}_{m}\)を部分集合として含む集合環であることが示されます。つまり、\(\left(2\right) \)は\(\left\{ \mathfrak{R}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の要素であるとともに、\(\left\{ \mathfrak{R}_{\lambda }\right\} _{\lambda\in \Lambda }\)の要素の中でも最小の集合であるということです。言い換えると、\(\left( 2\right) \)は\(\mathfrak{S}_{m}\)を部分集合として含む集合環であるとともに、同様の性質を満たす任意の集合環の部分集合であるということです。このような事情を踏まえた上で、\(\left( 2\right) \)を\(\mathfrak{S}_{m}\)から生成される最小環（minimal ring generated by \(\mathfrak{S}_{m}\)）と呼びます。

区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)が与えられれば、\(\mathfrak{S}_{m}\)を部分集合として持つ最小の集合環\(\bigcap_{\lambda\in \Lambda }\mathfrak{R}_{\lambda }\)を生成できることが明らかになりましたが、実は、これは区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)と一致します。つまり、区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)は\(\mathfrak{S}_{m}\)を部分集合として持つ集合環の中で最小のものであるということです。

演習問題