区間の長さと、その区間を分割して得られる小区間の長さの関係は、数直線の部分集合どうしの外延量の関係として捉えることができます。つまり、「区間の長さ」という外延量は数直線の部分集合族に導入されるということです。この集合族は集合半環としての性質を満たします。
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測度を導入する場としての部分集合族

数直線\(\mathbb{R}\)における区間の長さ、平面\(\mathbb{R}^{2}\)における長方形の面積、空間\(\mathbb{R}^{3}\)における直方体の体積などはいずれも同一種類の小さい量を加え合わせることでより大きな量を作り出すことができるという意味において外延的な量です。例えば、数直線\(\mathbb{R}\)上の区間を複数の小さい区間に分割した上で、得られた小区間の長さを足し合わせればもとの区間の長さが得られます。したがって、区間の長さは外延量を表す概念です。平面\(\mathbb{R}^{2}\)における長方形の面積や、空間\(\mathbb{R}^{3}\)における直方体の体積などについても同様です。

では、一般に、外延量という概念はどのような数学的対象として表現できるでしょうか。数直線\(\mathbb{R}\)における区間の長さに話を戻すと、個々の区間は\(\mathbb{R}\)の部分集合であるため、ある区間の長さと、その区間を分割して得られる小区間の長さの関係は、\(\mathbb{R}\)の部分集合どうしの外延量の関係として捉えることができます。つまり、「区間の長さ」という外延量は\(\mathbb{R}\)の部分集合族上に導入される概念であるということです。同様に、「長方形の体積」は\(\mathbb{R}^{2}\)の部分集合族上に、「立方体の体積」は\(\mathbb{R}^{3}\)の部分集合族上にそれぞれ導入されます。

以上の議論を一般化すると、私たちが外延量を測定しようとする対象は常に何らかの集合の部分集合であり、そのような部分集合を集めてできる集合族において外延量は導入されるということです。一般に、外延量は測度(measure)と呼ばれる概念として定式化されます。本稿の目的は測度について解説することですが、まずは、測度を導入し得る最も基本的な場である\(\mathbb{R}\)の部分集合族について考えます。

 

区間・区間集合族

数直線\(\mathbb{R}\)の部分集合、すなわち点集合には様々な種類のものがありますが、当面はその中でも区間(interval)だけを外延量の測定対象とします。さらに、区間にも様々な種類がありますが、ここでは有界な右半開区間(bounded right half open interval)だけを外延量の測定対象とします(理由は後述します)。具体的には、\(a\leq b\)を満たす任意の実数\(a,b\in \mathbb{R}\)を用いて、\begin{equation*}
\lbrack a,b)=\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ a\leq x<b\right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R}\)の部分集合を考察対象にするということです。そこで、以降において区間や半開区間などと言うとき、特に断りのない場合、それは上のような有界な右半開区間を指すものとします。

繰り返しになりますが、当面の間、考察対象である右半開区間\([a,b)\)は有界なものに限定されます。つまり、この区間の端点\(a,b\)は、\begin{equation*}
-\infty <a\leq b<+\infty
\end{equation*}を満たす実数です。言い換えると、\(a\)は負の無限大ではない有限な実数であり、\(b\)は正の無限大\(+\infty \)ではない有限な実数であり、両者の間には\(a\leq b\)という関係が成り立ちます。

数直線\(\mathbb{R}\)上の有界な右半開区間をすべて集めてできる\(\mathbb{R}\)の部分集合族を、\begin{equation*}
\mathfrak{S}=\left\{ [a,b)\subset
\mathbb{R}\ |\ -\infty <a\leq x<b<+\infty \right\}
\end{equation*}で表記し、\(\mathfrak{S}\)に属する個々の区間を、\begin{equation*}
I,\quad I_{k}\ \left( k=1,2,\cdots \right)
\end{equation*}などで表記するものとします。この集合族\(\mathfrak{S}\)に属するそれぞれの区間に対して外延量を与えることが当面の目標ですが、まずは\(\mathfrak{S}\)の性質を確認します。

 

区間の集合族は集合半環

区間の集合族\(\mathfrak{S}\)が満たす1つ目の性質は、\begin{equation*}
\phi \in \mathfrak{S}
\end{equation*}というものです。つまり、空集合は区間です。空集合もまた外延量の測定対象になるということです。証明は以下の通りです。

区間集合族\(\mathfrak{S}\)の要素であるそれぞれの区間は、\(a\leq b\)を満たす有限な実数\(a,b\in \mathbb{R}\)を用いて、\begin{equation*}
\lbrack a,b)=\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ a\leq x<b\right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R}\)の部分集合です。特に、\(a=b\)の場合には、\(a\leq x<b\)を満たす実数\(x\)は存在しないため、\begin{equation*}
\lbrack a,b)=\phi
\end{equation*}が成り立つため、\(\phi \in \mathfrak{S}\)であることが示されました。

命題(空集合は区間)
数直線\(\mathbb{R}\)上の区間からなる集合族\(\mathfrak{S}\)は、\begin{equation*}
\phi \in \mathfrak{S}
\end{equation*}を満たす。
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区間集合族\(\mathfrak{S}\)が満たす2つ目の性質は、2つの区間\(I,I^{\prime }\in \mathfrak{S}\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}
I\cap I^{\prime }\in \mathfrak{S}
\end{equation*}が成り立つというものです。つまり、\(\mathfrak{S}\)は共通部分について閉じています。言い換えると、外延量の測定対象である2つの区間が任意に与えられたとき、それらの共通部分もまた外延量の測定対象になるということです。証明は以下の通りです。

区間\(I,I^{\prime }\in \mathfrak{S}\)を任意に選んだとき、これらの少なくとも一方が\(\phi \)である場合には\(I\cap I^{\prime }=\phi \)となりますが、先に示したように\(\phi \in \mathfrak{S}\)であるため、\(I\cap I^{\prime }\in \mathfrak{S}\)が成り立つことが示されました。そこで以降では、\(I\)と\(I^{\prime }\)がともに\(\phi \)ではない場合について考えます。この場合、\begin{eqnarray*}
I &=&[a,b)=\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ -\infty <a\leq x<b<+\infty \right\} \\
I^{\prime } &=&[c,d)=\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ -\infty <c\leq x<d<+\infty \right\}
\end{eqnarray*}としても一般性は失われません。\(I\subset I^{\prime }\)の場合には\(I\cap I^{\prime }=I\)となりますが、仮定より\(I\in \mathfrak{S}\)であるため、\(I\cap I^{\prime }\in \mathfrak{S}\)が成り立つことが示されました。\(I^{\prime }\subset I\)の場合も同様です。その他の場合、\(I\cap I^{\prime }\)は\([a,d)\)と\([c,b)\)のどちらか一方ですが、これらはいずれも有界な右半開区間であるためやはり\(I\cap I^{\prime }\in \mathfrak{S}\)が成り立ちます。

命題(区間どうしの共通部分は区間)
数直線\(\mathbb{R}\)上の区間からなる集合族\(\mathfrak{S}\)は共通部分について閉じている。すなわち、区間\(I,I^{\prime }\in \mathfrak{S}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
I\cap I^{\prime }\in \mathfrak{S}
\end{equation*}が成り立つ。
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区間集合族\(\mathfrak{S}\)が満たす3つ目の性質は、2つの区間\(I,I^{\prime }\in \mathfrak{S}\)を任意に選んだとき、それに対して有限個の互いに素な区間\(I_{1},\cdots ,I_{n}\in \mathfrak{S}\)が存在して、\begin{equation*}
I\backslash I^{\prime }=\bigcup\limits_{k=1}^{n}I_{k}
\end{equation*}が成り立つというものです。つまり、集合族\(\mathfrak{S}\)に属する任意2つの区間の差集合が、同じく\(\mathfrak{S}\)に属する互いに素な有限個の区間の和集合として表せるということです。一般に、有限個の互いに素な集合どうしの和集合を直和(direct sum)や有限非交和(finite disjoint unions)などと呼びます。したがって、上の性質は、任意の2つの区間の差集合が区間の有限非交和として表現可能であることと端的に表現できます。証明は以下の通りです。

区間\(I,I^{\prime }\in \mathfrak{S}\)を任意に選んだとき、\(I^{\prime }=\phi \)の場合には\(I\backslash I^{\prime }=I\)となり、\(I=\phi \)の場合には\(I\backslash I^{\prime }=\phi \)となりますが、これらはいずれも1つの区間の非交和です。そこで以降では、\(I\)と\(I^{\prime }\)がともに\(\phi \)でない場合について考えます。この場合、\begin{eqnarray*}
I &=&[a,b)=\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ -\infty <a\leq x<b<+\infty \right\} \\
I^{\prime } &=&[c,d)=\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ -\infty <c\leq x<d<+\infty \right\}
\end{eqnarray*}としても一般性は失われません。\(I\subset I^{\prime }\)の場合には\(I\backslash I^{\prime }=\phi \)であり、これは1つの区間の非交和です。\(I^{\prime }\subset I\)の場合には\(I\backslash I^{\prime }=[a,c)\cup \lbrack d,b)\)ですが、これは2つの区間の非交和です。その他の場合、\(I\backslash I^{\prime }\)は\([a,c)\)と\([a,b)\)と\([d,b)\)の中のどれかですが、これらはいずれも1つの区間の非交和であるため、証明が完了しました。

命題(任意の2つの区間の差集合は有限個の区間の非交和として表現可能)
数直線\(\mathbb{R}\)上の区間からなる集合族\(\mathfrak{S}\)に属する任意の2つの区間の差集合は区間の有限非交和として表現可能である。すなわち、区間\(I,I^{\prime }\in \mathfrak{S}\)を任意に選んだとき、それらに対して、\begin{equation*}
I\backslash I^{\prime }=\bigcup\limits_{k=1}^{n}I_{k}
\end{equation*}を満たす有限個の互いに素な区間\(I_{1},\cdots ,I_{n}\in \mathfrak{S}\)が存在する。
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一般に、集合\(X\)の部分集合族\(\mathfrak{A}\)が以上の3つの命題に相当する性質を満たすとき、すなわち、\(\mathfrak{A}\)は空集合を要素として持ち、共通部分について閉じており、さらに、\(\mathfrak{A}\)の任意の2つの要素の差集合が\(\mathfrak{A}\)の要素の有限非交和として表すことができるとき、そのような\(\mathfrak{A}\)を集合半環(semiring of sets)と呼びます。以上の3つの命題は、数直線\(\mathbb{R}\)上の有界な右半開区間をすべて集めてできる\(\mathbb{R}\)の部分集合族である\(\mathfrak{S}\)が集合半環であることを示唆しています。

命題(区間集合族は集合半環)
数直線\(\mathbb{R}\)上の区間からなる集合族\(\mathfrak{S}\)は集合半環である。すなわち、\(\mathfrak{S}\)は空集合を要素として持ち、共通部分について閉じており、さらに、\(\mathfrak{S}\)の任意の2つの要素の差集合は\(\mathfrak{S}\)の要素の有限非交和として表すことができる。
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有界な右半開区間を考察対象とする理由

外延量を測定する対象を有界な右半開区間\([a,b)\)に限定する理由は以下の通りです。例えば、有界な開区間\(\left( a,b\right) \)からなる集合族を議論の対象にする場合、\begin{equation*}
-\infty <a<b<c<d<+\infty
\end{equation*}を満たす実数\(a,b,c,d\)を端点として持つ有界な開区間\(\left( a,d\right) ,\left( b,c\right) \)をとると、これらの差集合は、\begin{equation*}
\left( a,d\right) \backslash \left( b,c\right) =(a,b]\cup \lbrack c,d)
\end{equation*}となりますが、これが互いに素な2つの有界開区間の非交和ではありません。したがって、このような集合族は集合半環ではありません。有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)からなる集合族を議論の対象にする場合にも同様の問題が発生します。一方、議論の対象を有界な右半開区間に限定すれば、先に示したように、区間の集合族\(\mathfrak{S}\)が集合半環であることを保証できます。

 

区間の集合族は集合環ではない

一般に、集合\(X\)の部分集合族\(\mathfrak{A}\)が差集合と和集合の双方について閉じているとき、そのような\(\mathfrak{A}\)を集合環(ring of sets)と呼びます。数直線\(\mathbb{R}\)上の区間からなる集合族\(\mathfrak{S}\)は集合半環である一方で、集合環ではありません。以下の例から明らかです。

例(区間集合族は差集合について閉じていない)
数直線\(\mathbb{R}\)上の区間からなる集合族\(\mathfrak{S}\)の要素である2つの区間\([a,b)\)と\([c,d)\)について考えます。ただし、これらの区間の端点の間には、\begin{equation*}
a\leq c<d\leq b
\end{equation*}という関係が成り立つものとします。この場合、これらの区間の差集合は、\begin{equation*}
\lbrack a,b)\backslash \lbrack c,d)=[a,c)\cup \lbrack d,b)
\end{equation*}となりますが(確認してください)、\(c<d\)ゆえにこの差集合は有界な右半開区間でなく、したがって\(\mathfrak{S}\)の要素でもありません。この例は、集合族\(\mathfrak{S}\)が差集合について閉じておらず、したがって\(\mathfrak{S}\)が集合環でないことを示唆しています。

繰り返しになりますが、区間の集合族\(\mathfrak{S}\)に属する2つの区間\(I,I^{\prime }\)を任意に選んだとき、その差集合\(I\backslash I^{\prime }\)は区間の有限非交和として表現可能です。ただし、上の例が示唆するように、この集合族\(\mathfrak{S}\)は差集合について閉じていないため、\(I\backslash I^{\prime }\)に等しい区間の有限非交和は区間であるとは限りません。言い換えると、外延量の測定対象である2つの区間が与えられたとき、それらの差集合は外延量の計測対象になるとは限らないということです。以下の例から明らかであるように、区間どうしの和集合についても同様の議論が成立します。

例(区間の集合系は和集合について閉じていない)
数直線\(\mathbb{R}\)上の区間からなる集合族\(\mathfrak{S}\)の要素である2つの区間\([a,b)\)と\([c,d)\)について考えます。ただし、これらの区間の端点の間には、\begin{equation*}
a\leq b<c\leq d
\end{equation*}という関係が成り立つものとします。この場合、これらの区間の和集合は、\begin{equation*}
\lbrack a,b)\cup \lbrack c,d)
\end{equation*}となりますが、\(b<c\)ゆえにこの和集合は有界な右半開区間でなく、したがって\(\mathfrak{S}\)の要素でもありません。この例は、集合族\(\mathfrak{S}\)が和集合について閉じておらず、したがって\(\mathfrak{S}\)が集合環でないことを示唆しています。

 

区間は有限個の区間の非交和として表現可能

繰り返しになりますが、区間の集合族\(\mathfrak{S}\)の要素である2つの区間を任意に選んだとき、それらの差集合は区間の有限非交和として表すことができます。実は、\(\mathfrak{S}\)の集合半環としての性質を利用すると、\(\mathfrak{S}\)の要素である任意の区間もまた区間の有限非交和として表現可能であることが示されます。証明は以下の通りです。

区間\(I\in \mathfrak{S}\)を任意に選びます。また、先に示したように\(\phi \in \mathfrak{S}\)です。したがって、これらの差集合\(I/\phi \)は\(\mathfrak{S}\)に属する区間の有限非交和として表すことができますが、\(I/\phi =I\)であることから、\(I\)が区間の有限非交和として表すことができることが示されました。また、\begin{equation*}
\phi =\phi
\end{equation*}が明らかに成り立ちますが、これは区間\(\phi \)が1つの区間\(\phi \)の有限非交和として表現可能であることを意味します。

命題(区間は有限個の区間の非交和として表現可能)
数直線\(\mathbb{R}\)上の区間からなる集合族\(\mathfrak{S}\)に属する任意の区間は区間の有限非交和として表現可能である。すなわち、区間\(I\in \mathfrak{S}\)を任意に選んだとき、それらに対して、\begin{equation*}
I=\bigcup\limits_{k=1}^{n}I_{k}
\end{equation*}を満たす有限個の互いに素な区間\(I_{1},\cdots ,I_{n}\in \mathfrak{S}\)が存在する。
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区間の集合族は有限交叉について閉じている

有限個の区間\(I_{1},\cdots ,I_{n}\in \mathfrak{S}\)を任意に選んだとき、\(\mathfrak{S}\)が共通部分について閉じているという事実を繰り返し適用することにより、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{k=1}^{n}I_{k}\in \mathfrak{S}
\end{equation*}が成り立つことが示されます(確認してください)。この性質を指して、\(\mathfrak{S}\)は有限交叉について閉じている(closed with respect to finite intersections)と言います。

逆に、\(\mathfrak{S}\)が有限交叉について閉じているとき、\(\mathfrak{S}\)は明らかに2つの区間の交叉についても閉じています。つまり、\(\mathfrak{S}\)は共通部分について閉じているということです。したがって以下の命題を得ます。

命題(有限個の区間の共通部分は区間)
数直線\(\mathbb{R}\)上の区間からなる集合族\(\mathfrak{S}\)が有限交叉について閉じていることと、\(\mathfrak{S}\)が共通部分について閉じていることは必要十分である。
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区間は自身の部分集合を含む有限個の区間の非交和として表現可能

区間\(I,I_{1}\in \mathfrak{S}\)を任意に選んだとき、それらの間に\(I_{1}\subset I\)が成り立つものとします。2つの区間の差集合は区間の有限非交和として表現可能であることから、このとき、\begin{equation*}
I/I_{1}=\bigcup\limits_{k=2}^{n}I_{k}
\end{equation*}を満たす有限個の互いに素な区間\(I_{2},\cdots ,I_{n}\in \mathfrak{S}\)が存在します。\(I_{1}\)は\(I_{2},\cdots ,I_{n}\)の中のいずれとも互いに素であるため、\begin{equation*}
I=\bigcup\limits_{k=1}^{n}I_{k}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、区間\(I\)が自身の部分集合であるような区間\(I_{1}\)を持つとき、\(I\)は\(I_{1}\)を含む有限個の区間の非交和として表現できるということです。以上の主張の逆も成立するため(演習問題にします)、以下の命題が得られます。

命題(区間は自身の部分集合を含む有限個の区間の非交和として表現可能)
数直線\(\mathbb{R}\)上の区間からなる集合族\(\mathfrak{S}\)に属する任意の区間が自身の部分集合を含む有限個の区間の非交和として表現できることと、\(\mathfrak{S}\)に属する任意の2つの区間の差集合が有限個の区間の非交和として表現できることは必要十分である。
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次回は区間の外延量について学びます。

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