確認テスト I（ルベーグ可測関数）

実数空間\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。ルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)のもとで、\begin{equation*}\mu \left( X\right) =0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は拡大実数値ルベーグ可測関数であることを証明してください。

実数空間\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。\(Y\subset X\)を満たすルベーグ可測集合\(Y\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を選んだ上で、\(f\)の定義域を\(Y\)に縮小して\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}とすれば、\(f\)が\(Y\)上においても拡大実数値ルベーグ可測関数であることを証明してください。

実数空間\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合\(X,Y\in \mathfrak{M}_{\mu }\)が、\begin{equation*}X\cap Y=\phi
\end{equation*}を満たすものとします。さらに、拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。その上で、それぞれの\(x\in X\cup Y\)に対して、\begin{equation*}h\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x\right) & \left( if\ x\in X\right) \\
g\left( x\right) & \left( if\ x\in Y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\begin{equation*}
h:\mathbb{R} \supset X\cup Y\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義すると、これは拡大実数値ルベーグ可測関数であることを証明してください。

ルベーグ可測関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。ルベーグ可測集合\(A\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}h\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x\right) & \left( if\ x\in A\right) \\
g\left( x\right) & \left( if\ x\not\in A\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める関数\begin{equation*}
h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、これはルベーグ可測関数であることを証明してください。

実数空間\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義されたルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。実数\(y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、以下の集合\begin{equation*}X+y=\left\{ x+y\in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}を定義した上で、それぞれの\(x+y\in X+y\)に対して、\begin{equation*}g\left( x+y\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}を定める関数\begin{equation*}
g:\mathbb{R} \supset X+y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、\(g\)は\(X+y\)上においてルベーグ可測関数であることを証明してください。

ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。以下の関数はルベーグ可測関数でしょうか。検証してください（各10点）。

1. \(f\left( x-3\right) \)
2. \(e^{f\left( x\right) }\)
3. \(\sin \left( f\left( x\right) +8\right) \)

以下の問いに答えてください（各10点）。

1. 実数空間\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(X\)上において微分可能である場合には、導関数\begin{equation*}f^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が存在しますが、この場合、\(f^{\prime }\)はルベーグ可測関数であることを証明してください。
2. 実数空間\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(X\)上において2階微分可能である場合には、2階導関数\begin{equation*}f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が存在しますが、この場合、\(f^{\prime \prime }\)はルベーグ可測関数であることを証明してください。