単関数どうしの積は単関数

単関数の標準形どうしの積は単関数

実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right)
\end{equation*}が与えられているものとします。ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を定義域とする関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が単関数であることとは、\(f\)がルベーグ可測関数であるとともに、その値域が有限集合\begin{eqnarray*}f\left( X\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\} \\
&=&\left\{ a_{1},\cdots ,a_{K}\right\}
\end{eqnarray*}であることを意味します。

単関数\(f\)の値域に属するそれぞれの値\(a_{k}\in f\left(X\right) \)に対して、\(f\)による集合\(\left\{ a_{k}\right\} \)の逆像を、\begin{equation*}\left\{ f=a_{k}\right\} =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) =a_{k}\right\}
\end{equation*}と表記し、さらに集合\(\left\{ f=a_{k}\right\} \)に関する特性関数を\begin{equation*}\chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}で表記します。つまり、\(\chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値は、\begin{equation*}\chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ f\left( x\right) =a_{k}\right) \\
0 & \left( if\ f\left( x\right) \not=a_{k}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。単関数\(f\)の標準形とは、\begin{equation*}\sum_{k=1}^{K}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と定義される関数ですが、これはもとの単関数\(f\)と一致します。つまり、以下の関係\begin{equation*}f=\sum_{k=1}^{K}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\right)
\end{equation*}が成り立つため、単関数\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\left( \sum_{k=1}^{K}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{
f=a_{k}\right\} }\right) \right) \left( x\right) \\
&=&\sum_{k=1}^{K}\left[ a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\left(
x\right) \right] \\
&=&a_{1}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{1}\right\} }\left( x\right) +\cdots
+a_{K}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{K}\right\} }\left( x\right)
\end{eqnarray*}となります。

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された2つの単関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}の値域が、\begin{eqnarray*}
f\left( X\right) &=&\left\{ a_{1},\cdots ,a_{K}\right\} \\
g\left( X\right) &=&\left\{ b_{1},\cdots ,b_{L}\right\}
\end{eqnarray*}である場合、これらの標準形は、\begin{eqnarray*}
f &=&\sum_{k=1}^{K}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\right)
\\
g &=&\sum_{l=1}^{L}\left( b_{l}\cdot \chi _{\left\{ g=b_{l}\right\} }\right)
\end{eqnarray*}となります。以上の状況において関数\begin{equation*}
fg:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( fg\right) \left( x\right) &=&f\left( x\right) \cdot g\left( x\right)
\quad \because f+g\text{の定義} \\
&=&\left( \sum_{k=1}^{K}\left( a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\}
}\right) \right) \left( x\right) \cdot \left( \sum_{l=1}^{L}\left(
b_{l}\cdot \chi _{\left\{ g=b_{l}\right\} }\right) \right) \left( x\right)
\quad \because f,g\text{の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{K}\left[ a_{k}\cdot \chi _{\left\{ f=a_{k}\right\} }\left(
x\right) \right] \cdot \sum_{l=1}^{L}\left[ b_{l}\cdot \chi _{\left\{
g=b_{l}\right\} }\left( x\right) \right] \end{eqnarray*}を定めますが、この関数\(fg\)は単関数であるとともに、以下の関係\begin{equation*}fg=\sum_{k=1}^{K}\sum_{l=1}^{L}\left( a_{k}b_{l}\cdot \chi _{\left\{
f=a_{k}\right\} \cap \left\{ g=b_{l}\right\} }\right)
\end{equation*}が成立します。ちなみに、右辺の関数は単関数\(fg\)の標準形であるとは限りません。なぜなら、関数\(fg\)の標準形を構成する定数は関数\(fg\)の値域の要素であるため、それらの定数はいずれも異なる必要がある一方、右辺の関数では\(\left(k,l\right) \)に関する異なる組合せのもとで定数\(a_{k}b_{l}\)が一致する事態が起こり得るからです。

単関数どうしの積は単関数

実数空間\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が、以下の条件\begin{equation*}X=\bigsqcup\limits_{k=1}^{K}A_{k}
\end{equation*}を満たす有限個の互いに素な何らかのルベーグ可測集合\(A_{1},\cdots,A_{K}\in \mathfrak{M}_{\mu }\)と定数\(a_{1},\cdots,a_{K}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f=\sum_{k=1}^{K}\left( a_{k}\cdot \chi _{A_{k}}\right)
\end{equation*}と表されることは、\(f\)が単関数であるための必要十分条件です。

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された2つの関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が、以下の条件\begin{eqnarray*}
X &=&\bigsqcup\limits_{k=1}^{K}A_{k} \\
X &=&\bigsqcup\limits_{l=1}^{L}B_{l}
\end{eqnarray*}を満たすルベーグ可測集合\(A_{1},\cdots ,A_{K},B_{1},\cdots ,B_{L}\in \mathfrak{M}_{\mu }\)と定数\(a_{1},\cdots,a_{K},b_{1},\cdots ,b_{L}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}f &=&\sum_{k=1}^{K}\left( a_{k}\cdot \chi _{A_{k}}\right) \\
g &=&\sum_{l=1}^{L}\left( b_{l}\cdot \chi _{B_{l}}\right)
\end{eqnarray*}と表される状況を想定します。つまり、\(f\)と\(g\)は単関数であるということです。関数\begin{equation*}fg:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( fg\right) \left( x\right) &=&f\left( x\right) \cdot g\left( x\right)
\quad \because f+g\text{の定義} \\
&=&\left( \sum_{k=1}^{K}\left( a_{k}\cdot \chi _{A_{k}}\right) \right)
\left( x\right) \cdot \left( \sum_{l=1}^{L}\left( b_{l}\cdot \chi
_{B_{l}}\right) \right) \left( x\right) \quad \because f,g\text{の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{K}\left[ \left( a_{k}\cdot \chi _{A_{k}}\right) \left(
x\right) \right] \cdot \sum_{l=1}^{L}\left[ \left( b_{l}\cdot \chi
_{B_{l}}\right) \left( x\right) \right] \end{eqnarray*}を定めますが、この関数\(fg\)は単関数であるとともに、以下の関係\begin{equation*}fg=\sum_{k=1}^{K}\sum_{l=1}^{L}\left( a_{k}b_{l}\cdot \chi _{A_{k}\cap
B_{l}}\right)
\end{equation*}が成立します。

結論をまとめます。