測度空間

一般の集合上に定義された測度について解説します。

学習内容

集合半環上の測度

集合半環上の測度を定義します。

集合半環の定義と具体例

集合族が空集合を要素として持ち、共通部分について閉じており、差集合を有限非交和として表現できる場合、そのような集合族を集合半環と呼びます。

集合半環上のσ-加法測度(可算加法測度)

集合半環上に定義されたσ-加法測度の具体例を提示するとともに、その性質について解説します。

集合環への測度の拡張

集合半環上に定義された測度を集合環上の測度へ拡張します。

外測度

外測度を定義します。

測度空間

測度空間を定義します。

測度空間の性質

測度空間の性質について解説します。

学習ガイド

大学の数学カリキュラムとWIISのカリキュラムは何が違うのか

多くの大学では入学後すぐに微分積分学や線形代数学を学び、その後に実数論や位相空間論などの理論的な科目へ進みます。一方、WIISでは論理学・集合論の後に実数論を学び、その上で微分積分学へ進むカリキュラムを採用しています。本記事では、それぞれの考え方とWIISの学習順序のメリットについて解説します。

最新の議論

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関連分野

論理学

論理学は、数学における証明や推論の基礎となる分野です。命題論理や述語論理を通じて、論理式、真理値、量化記号、証明の考え方を体系的に解説します。大学数学や理論的な学問を学ぶための出発点となる教材を提供しています。

集合論

集合論は現代数学の共通言語です。集合、写像、関係、濃度、順序関係を中心に、数学のさまざまな分野を理解するための基礎概念を体系的に解説します。実数論、線形代数学、位相空間論などへ進むための土台を築きます。

実数論

実数論では、実数の連続性や極限の概念を基礎から学びます。実数の定義、数列、関数、級数、関数列、数直線の位相、拡大実数系を通じて、解析学の理論的基盤を体系的に理解することを目指します。

ユークリッド空間

ユークリッド空間は、現代数学における解析学と幾何学の出発点です。点列、位相、ベクトル値関数、多変数関数を通じて、高次元空間における極限・連続性・収束の概念を学びます。位相空間論や最適化理論へ進むための重要な基礎を体系的に解説します。

微分積分学

微分積分学では、関数の変化や空間の構造を解析するための基礎理論を学びます。1変数関数からベクトル値関数、スカラー場・ベクトル場、最適化問題までを体系的に扱い、多変数解析学や最適化理論への橋渡しを行います。

ルベーグ測度

長さや面積、体積などはいずれも同一種類の小さい量を加え合わせることでより大きな量をつくることができるという意味において外延的な量です。一般に、外延量は測度と呼ばれる概念として一般化されます。ここでは実数空間(数直線)の部分集合を測定対象とするルベーグ測度について解説します。

ルベーグ可測関数

ルベーグ集合上に定義された関数によるボレル集合の逆像がルベーグ可測であることが保証される場合、そのような関数をルベーグ可測関数と呼びます。代表的な可測関数について、その性質を解説します。

ルベーグ積分

ルベーグ積分とは測度論を用いてより一般的な関数に対して積分を定義する手法です。ルベーグ積分を用いることにより、リーマン積分では積分できなかった様々な関数が積分可能になります。

ディニ微分

微分を一般化したディニ微分と呼ばれる微分概念を導入するとともに、ルベーグ積分との関係について解説します。

ユークリッド空間上のルベーグ測度

ユークリッド空間の部分集合を測定対象とするルベーグ測度について解説します。

多変数のルベーグ可測関数

ユークリッド空間の部分集合を測定対象とするルベーグ測度について解説します。

多変数関数のルベーグ積分

多変数のルベーグ可測関数のルベーグ積分について解説します。

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