集合半環上の測度のカラテオドリ拡張から定義される測度空間

公理主義的測度論における測度空間

集合\(X\)とその部分集合族\(\mathfrak{M}\subset 2^{X}\)および集合関数\(\mu :\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)からなる組\begin{equation*}\left( X,\mathfrak{M},\mu \right)
\end{equation*}が測度空間であることとは、集合族\(\mathfrak{M}\)が可測空間の公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \mathfrak{M}\not=\phi \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathfrak{M}:A^{c}\in \mathfrak{M} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty \
}\subset \mathfrak{M}:\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathfrak{M}
\end{eqnarray*}を満たすとともに、集合関数\(\mu \)が測度の公理\begin{eqnarray*}&&\left( \mu _{1}\right) \ \forall A\in \mathfrak{M}:0\leq \mu \left(
A\right) \leq +\infty \\
&&\left( \mu _{2}\right) \ \mu \left( \phi \right) =0 \\
&&\left( \mu _{3}\right) \ \forall \text{互いに素な}\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty \ }\subset \mathfrak{M}:\mu
\left( \bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) =\sum_{n=1}^{+\infty }\mu \left(
A_{n}\right)
\end{eqnarray*}を満たすこととして定義されます。

以上が公理主義的測度論における測度空間の定義ですが、以下では測度空間の具体例の1つとして、集合半上の測度のカラテオドリ拡張から測度空間を構成する方法について解説します。

カラテオドリ拡張から定義されるμ*-可測集合

非空集合\(X\)の集合半環\(\mathfrak{S}\subset 2^{X}\)が与えられているものとします。つまり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( S_{1}\right) \ \phi \in \mathfrak{S} \\
&&\left( S_{2}\right) \ \forall A,B\in \mathfrak{S}:A\cap B\in \mathfrak{S}
\\
&&\left( S_{3}\right) \ \forall A,B\in \mathfrak{S},\ \exists n\in \mathbb{N} ,\ \exists \text{互いに素な}\left\{
A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\subset \mathfrak{S}:A\backslash
B=\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}
\end{eqnarray*}を満たすということです。さらに、集合半環\(\mathfrak{S}\)上に定義された\(\sigma \)-加法測度\begin{equation*}m:\mathfrak{S}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(m\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall A\in \mathfrak{S}:0\leq m\left( A\right)
\leq +\infty \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall \text{互いに素な}\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty }\subset \mathfrak{S}:\left[
\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathfrak{S}\Rightarrow m\left(
\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) =\sum_{n=1}^{+\infty }m\left(
A_{n}\right) \right] \end{eqnarray*}を満たすということです。加えて、集合半環\(\mathfrak{S}\)上の\(\sigma \)-加法測度\(m\)のカラテオドリ拡張\begin{equation*}\mu ^{\ast }:2^{X}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(\mu ^{\ast }\)がそれぞれの集合\(A\in 2^{X}\)に対して定める値は、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( A\right) =\inf \left\{ \sum_{k=1}^{+\infty }m\left(
B_{k}\right) \ |\ A\subset \bigcup_{k=1}^{+\infty }B_{k},\ B_{k}\in
\mathfrak{S}\right\}
\end{equation*}です。以上のように定義された\(\mu ^{\ast }\)は外測度としての性質を満たします。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( O_{1}\right) \ \forall A\in 2^{X}:0\leq \mu ^{\ast }\left( A\right)
\leq +\infty \\
&&\left( O_{2}\right) \ \mu ^{\ast }\left( \phi \right) =0 \\
&&\left( O_{3}\right) \ \forall A,B\in 2^{X}:\left[ A\subset B\Rightarrow
\mu ^{\ast }\left( A\right) \leq \mu ^{\ast }\left( B\right) \right] \\
&&\left( O_{4}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty
}\subset 2^{X}:\mu ^{\ast }\left( \bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) \leq
\sum_{n=1}^{+\infty }\mu ^{\ast }\left( A_{n}\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

カラテオドリ拡張\(\mu ^{\ast }\)は外測度の具体例の1つであるため、一般の外測度と同様、カラテオドリ拡張\(\mu ^{\ast }\)から\(\mu ^{\ast }\)-可測集合を定義できます。つまり、集合\(A\subset X\)が\(\mu ^{\ast }\)-可測であることとは、カラテオドリ拡張\(\mu ^{\ast }\)のもとで、\begin{equation*}\forall S\in 2^{X}:\mu ^{\ast }\left( S\right) =\mu ^{\ast }\left( S\cap
A\right) +\mu ^{\ast }\left( S\cap A^{c}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。\(\mu ^{\ast }\)-可測性を特徴づける以上の条件をカラテオドリの条件と呼びます。その上で、\(\mu ^{\ast }\)-可測集合をすべて集めることにより得られる\(X\)の部分集合族を、\begin{equation*}\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}=\left\{ A\in 2^{X}\ |\ A\text{は}\mu
^{\ast }\text{-可測}\right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(\mu ^{\ast }\)-可測集合族と呼びます。

カラテオドリ条件の言い換え

カラテオドリの条件、すなわち\(\mu ^{\ast }\)-可測集合の定義は様々な形に言い換え可能です。

集合\(A\subset X\)が与えられているものとします。このとき、\(A\)の任意の部分集合\(B\)と\(A^{c}\)の任意の部分集合\(B^{\prime }\)に対して以下の条件\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( B\cup B^{\prime }\right) =\mu ^{\ast }\left( B\right)
+\mu ^{\ast }\left( B^{\prime }\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(\mu ^{\ast }\)-可測であるための必要十分条件です。

集合\(A\subset X\)が\(\mu ^{\ast }\)-可測であることとは、任意の集合\(S\subset X\)に対して、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( S\right) =\mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu ^{\ast
}\left( S\cap A^{c}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。ただ、この定義に登場する集合の間には以下の関係\begin{equation}
S=\left( S\cap A\right) \cup \left( S\cap A^{c}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、このとき、\begin{eqnarray*}
\mu ^{\ast }\left( S\right) &=&\mu ^{\ast }\left( \left( S\cap A\right)
\cup \left( S\cap A^{c}\right) \right) \quad \because \left( 1\right) \\
&\leq &\mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu ^{\ast }\left( S\cap
A^{c}\right) \quad \because \mu ^{\ast }\text{の劣加法性}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( S\right) \leq \mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu
^{\ast }\left( S\cap A^{c}\right)
\end{equation*}は常に成り立ちます。したがって任意の集合\(S\subset X\)に対して、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( S\right) \geq \mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu
^{\ast }\left( S\cap A^{c}\right)
\end{equation*}が成り立つことを示しさえすれば、\(A\)が\(\mu^{\ast }\)-可測であることを示したことになります。

先の命題中の集合\(S\)について、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( S\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合、命題中の不等式は必ず成立します。このような事情を踏まえると、集合\(A\)が\(\mu ^{\ast }\)-可測であることを判定する際には、集合\(S\)として有限な外測度を持つものだけを考察対象としても一般性は失われないことが明らかになりました。したがって以下の命題を得ます。

補集合を用いたμ*-可測集合の定義

ある集合\(A\subset X\)が\(\mu ^{\ast }\)-可測であることと、その補集合\(A^{c}\)が\(\mu ^{\ast }\)-可測であることは必要十分です。

集合半環とμ*-可測集合の定義

集合\(A\subset X\)が\(\mu ^{\ast }\)-可測であることとは、カラテオドリ拡張\(\mu ^{\ast }\)のもとで、\begin{equation*}\forall S\in 2^{X}:\mu ^{\ast }\left( S\right) =\mu ^{\ast }\left( S\cap
A\right) +\mu ^{\ast }\left( S\cap A^{c}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、以上の条件は以下の命題\begin{equation*}
\forall S\in \mathfrak{S}:m\left( S\right) =\mu ^{\ast }\left( S\cap
A\right) +\mu ^{\ast }\left( S\cap A^{c}\right)
\end{equation*}と必要十分です。ただし、\(m\)は集合半環\(\mathfrak{S}\)上に定義された\(\sigma \)-加法測度です。つまり、\(A\)が\(\mu ^{\ast }\)-可測であることを判定する際に、\(A\)によって\(X\)上のすべての集合を分割する必要はなく、集合半環\(\mathfrak{S}\)上のすべての集合を分割すれば十分です。

集合\(A\subset X\)が\(\mu ^{\ast }\)-可測であることと、集合半環上の任意の集合\(S\in \mathfrak{S}\)について、\begin{equation*}m\left( S\right) =\mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu ^{\ast }\left(
S\cap A^{c}\right)
\end{equation*}が成り立つことは必要十分であることが明らかになりました。ただ、以上の条件中に登場する集合の間には以下の関係\begin{equation}
S=\left( S\cap A\right) \cup \left( S\cap A^{c}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、このとき、\begin{eqnarray*}
m\left( S\right) &=&\mu ^{\ast }\left( S\right) \quad \because \mu ^{\ast }\text{は}m\text{の拡張} \\
&=&\mu ^{\ast }\left( \left( S\cap A\right) \cup \left( S\cap A^{c}\right)
\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&\leq &\mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu ^{\ast }\left( S\cap
A^{c}\right) \quad \because \mu ^{\ast }\text{の劣加法性}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
m\left( S\right) \leq \mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu ^{\ast }\left(
S\cap A^{c}\right)
\end{equation*}は常に成り立ちます。したがって集合半環上の任意の集合\(S\in \mathfrak{S}\)について、\begin{equation*}m\left( S\right) \geq \mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu ^{\ast }\left(
S\cap A^{c}\right)
\end{equation*}が成り立つことを示しさえすれば、\(A\)が\(\mu^{\ast }\)-可測であることを示したことになります。

先の命題中の集合\(S\)について、\begin{equation*}m\left( S\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合、命題中の不等式は必ず成立します。このような事情を踏まえると、集合\(A\)が\(\mu ^{\ast }\)-可測であることを判定する際には、集合\(S\)として有限な測度を持つものだけを考察対象としても一般性は失われないことが明らかになりました。したがって以下の命題を得ます。

カラテオドリ拡張から定義される可測空間

カラテオドリ拡張に限定されない一般の外測度\(\mu ^{\ast }:2^{X}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)からカラテオドリ条件を用いて\(\mu^{\ast }\)-可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast}}\)を定義した場合には、\begin{equation*}\left( X,\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\right)
\end{equation*}は可測空間になります。つまり、\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は可測空間の公理に相当する諸命題\begin{eqnarray*}&&\left( S_{1}\right) \ \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\not=\phi \\
&&\left( S_{2}\right) \ \forall A\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}:A^{c}\in
\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }} \\
&&\left( S_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty \
}\subset \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}:\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in
\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{eqnarray*}を満たします。カラテオドリ拡張\(\mu ^{\ast }\)は外測度の具体例の1つであるため、そこからカラテオドリ条件を用いて\(\mu ^{\ast }\)-可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を定義した場合にも、\begin{equation*}\left( X,\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\right)
\end{equation*}は可測空間になります。

カラテオドリ拡張から定義される測度

非空集合\(X\)上の集合半環\(\mathfrak{S}\subset 2^{X}\)上に定義された\(\sigma \)-加法測度\(m:\mathfrak{S}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)のカラテオドリ拡張\(\mu ^{\ast }:2^{X}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)の定義域を\(\mu^{\ast }\)-可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast}}\)に縮小することにより得られる集合関数を測度と呼び、これを、\begin{equation*}\mu :\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}で表記します。また、測度\(\mu \)がそれぞれの\(\mu ^{\ast }\)-可測集合\(A\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)に対して定める値\(\mu \left( A\right) \)を\(A\)の測度と呼びます。定義より、それぞれの\(\mu ^{\ast }\)-可測集合\(A\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)に対して以下の関係\begin{equation*}\mu \left( A\right) =\mu ^{\ast }\left( A\right)
\end{equation*}が成立します。つまり、\(\mu ^{\ast }\)-可測集合の測度と、カラテオドリ拡張のもとでの測度は一致します。カラテオドリ拡張\(\mu ^{\ast }\)ではなく測度\(\mu \)について議論している場合、その定義域である\(\mu ^{\ast }\)-可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を、\begin{equation*}\mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}と表記できます。その上で、\(\mathfrak{M}_{\mu }\)を可測集合族と呼び、\(\mathfrak{M}_{\mu }\)の要素である集合を可測集合と呼びます。ただし、\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)と\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は等しい\(X\)の部分集合族です。

カラテオドリ拡張から定義される測度空間

カラテオドリ拡張に限定されない一般の外測度\(\mu ^{\ast }:2^{X}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)からカラテオドリ条件を用いて可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)を定義するとともに、外測度\(\mu ^{\ast }\)の定義域を\(2^{X}\)から\(\mathfrak{M}_{\mu }\)へ制限して測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)を構成すれば、\begin{equation*}\left( X,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right)
\end{equation*}は測度空間になります。つまり、\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は可測空間の公理に相当する諸命題\begin{eqnarray*}&&\left( S_{1}\right) \ \mathfrak{M}_{\mu }\not=\phi \\
&&\left( S_{2}\right) \ \forall A\in \mathfrak{M}_{\mu }:A^{c}\in \mathfrak{M}_{\mu } \\
&&\left( S_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty \
}\subset \mathfrak{M}_{\mu }:\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{eqnarray*}をみたすとともに、\(\mu \)は測度の公理に相当する諸命題\begin{eqnarray*}&&\left( \mu _{1}\right) \ \forall A\in \mathfrak{M}:0\leq \mu \left(
A\right) \leq +\infty \\
&&\left( \mu _{2}\right) \ \mu \left( \phi \right) =0 \\
&&\left( \mu _{3}\right) \ \forall \text{互いに素な}\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty \ }\subset \mathfrak{M}_{\mu
}:\mu \left( \bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) =\sum_{n=1}^{+\infty }\mu
\left( A_{n}\right)
\end{eqnarray*}を満たします。

カラテオドリ拡張\(\mu ^{\ast }\)は外測度の具体例の1つであるため、そこから可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)と測度\(\mu \)を構成すれば、\begin{equation*}\left( X,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right)
\end{equation*}は測度空間になります。

集合半環上の集合の可測性とその測度

集合半環\(\mathfrak{S}\)上の集合は可測です。つまり、以下の包含関係\begin{equation*}\mathfrak{S}\subset \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立ちます。加えて、集合半環上の集合\(A\in \mathfrak{S}\)の測度は、\begin{equation*}\mu \left( A\right) =m\left( A\right)
\end{equation*}を満たします。ただし、\(m\)は集合半環\(\mathfrak{S}\)上の\(\sigma \)-加法測度です。

最小環上の集合の可測性とその測度

集合半環\(\mathfrak{S}\)から生成される最小環\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \)上の集合は可測です。つまり、以下の包含関係\begin{equation*}\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \subset \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立ちます。加えて、最小環上の集合\(A\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \)の測度は、\begin{equation*}\mu \left( A\right) =\hat{m}\left( A\right)
\end{equation*}を満たします。ただし、\(\hat{m}\)は集合半環\(\mathfrak{S}\)上の\(\sigma \)-加法測度の\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \)への拡張です。