カラテオドリ拡張（集合半環上のσ-加法測度から生成される外測度）

測度のさらなる拡張が要請される理由

非空集合\(X\)上の集合半環\begin{equation*}\mathfrak{S}\subset 2^{X}
\end{equation*}および集合半環上に定義された\(\sigma \)-加法測度\begin{equation*}m:\mathfrak{S}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(\mathfrak{S}\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( S_{1}\right) \ \phi \in \mathfrak{S} \\
&&\left( S_{2}\right) \ \forall A,B\in \mathfrak{S}:A\cap B\in \mathfrak{S}
\\
&&\left( S_{3}\right) \ \forall A,B\in \mathfrak{S},\ \exists n\in \mathbb{N} ,\ \exists \text{互いに素な}\left\{
A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\subset \mathfrak{S}:A\backslash
B=\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}
\end{eqnarray*}を満たすとともに、\(m\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall A\in \mathfrak{S}:0\leq m\left( A\right)
\leq +\infty \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall \text{互いに素な}\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty }\subset \mathfrak{S}:\left[
\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathfrak{S}\Rightarrow m\left(
\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) =\sum_{n=1}^{+\infty }m\left(
A_{n}\right) \right] \end{eqnarray*}を満たすということです。

以上の状況のもとでは、集合半環上に存在するそれぞれの集合\(A\in \mathfrak{S}\)に対して、その測度\(m\left( A\right) \)を特定できます。逆に言うと、集合半環\(\mathfrak{S}\)上に定義された\(\sigma \)-加法測度\(m\)のもとでは、\(\mathfrak{S}\)に属さない\(X\)の部分集合の測度を特定できません。より多くの集合の測度を特定するためには何らかの工夫が必要です。

集合半環\(\mathfrak{S}\)から定義される集合族\begin{equation*}\left\{ \mathfrak{R}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }=\left\{
\mathfrak{R}_{\lambda }\subset 2^{X}\ |\ \forall \lambda \in \Lambda :\mathfrak{R}_{\lambda }\text{は}\mathfrak{S}\subset \mathfrak{R}_{\lambda }\text{を満たす集合環}\right\}
\end{equation*}の共通部分をとれば\(\left\{ \mathfrak{R}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の最小環\begin{equation*}\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) =\bigcap_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{R}_{\lambda }
\end{equation*}が得られます。つまり、\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \)は\(\mathfrak{S}\)を部分集合として持つ集合環であるとともに、同じく\(\mathfrak{S}\)を部分集合として持つ任意の集合環の部分集合でもあります。より正確には、集合環の定義より、\begin{eqnarray*}&&\left( R_{1}\right) \ \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \not=\phi \\
&&\left( R_{2}\right) \ \forall A,B\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) :A\cap B\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \\
&&\left( R_{3}\right) \ \forall A,B\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) :A\triangle B\in \mathfrak{R}
\end{eqnarray*}が成り立つとともに、最小環の定義より、先の集合族\(\left\{ \mathfrak{R}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists \lambda ^{\prime }\in \Lambda :\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) =\mathfrak{R}_{\lambda ^{\prime }} \\
&&\left( b\right) \ \forall \lambda ^{\prime }\in \Lambda :\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \subset \mathfrak{R}_{\lambda ^{\prime }}
\end{eqnarray*}が成り立つということです。集合半環\(\mathfrak{S}\)に属する互いに素な有限個の集合\(\left\{ A_{k}\right\}_{k=1}^{n}\subset \mathfrak{S}\)の和集合\begin{equation*}\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}
\end{equation*}を基本集合と呼びますが、すべての基本集合からなる集合族は\(\mathfrak{S}\)から生成される最小環\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \)と一致します。つまり、\begin{equation*}\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) =\left\{ \bigcup_{k=1}^{n}A_{k}\ |\
\forall n\in \mathbb{N} ,\ \forall \text{互いに素な}\left\{
A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\subset \mathfrak{S}\right\}
\end{equation*}が成り立ちます。いずれにせよ、集合半環\(\mathfrak{S}\)と、\(\mathfrak{S}\)から生成される最小環\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \)の間には以下の包含関係\begin{equation*}\mathfrak{S}\subset \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right)
\end{equation*}が成立します。つまり、\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \)は\(\mathfrak{S}\)よりも広いクラスの\(X\)の部分集合族であるため、\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \)に属する集合に対しても、その測度を特定できれば望ましいと言えます。このような動機のもと、集合半環上に定義された\(\sigma \)-加法測度\(m\)の拡張\begin{equation*}\hat{m}:\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}を導入しました。つまり、基本集合\(A\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \)を任意に選んだとき、これに対して\(\mathfrak{S}\)に属する有限個の互いに素な集合\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\subset \mathfrak{S}\)が存在して、\begin{equation*}A=\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}
\end{equation*}と表すことができますが、これに対して\(\hat{m}\)が定める値は、\begin{equation*}\hat{m}\left( A\right) =\sum_{k=1}^{n}m\left( A_{k}\right)
\end{equation*}と定義されます。その上で、\(\hat{m}\)が\(\sigma \)-加法測度であることを示しました。つまり、\(\hat{m}\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall A\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right)
:0\leq \hat{m}\left( A\right) \leq +\infty \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall \text{互いに素な}\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty }\subset \mathfrak{R}\left(
\mathfrak{S}\right) :\left[ \bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \Rightarrow \hat{m}\left( \bigcup_{n=1}^{+\infty
}A_{n}\right) =\sum_{n=1}^{+\infty }\hat{m}\left( A_{n}\right) \right] \end{eqnarray*}を満たすということです。

以上のような工夫により、最小環上に存在するそれぞれの集合\(A\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \)に対しても、その測度\(\hat{m}\left( A\right) \)を特定できるようになりました。とは言え、以下の包含関係\begin{equation*}\mathfrak{S}\subset \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \subset X
\end{equation*}が成立するため、最小環\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \)上に定義された\(\sigma \)-加法測度\(\hat{m}\)のもとでは、\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \)に属さない\(X\)の部分集合の測度を特定できません。より多くの集合の測度を特定するためにはさらなる工夫が必要です。このような問題意識のもと、以降では、集合半環\(\mathfrak{S}\)上に定義された\(\sigma \)-加法測度\(m\)を別の形で拡張することにより、\(X\)の任意の部分集合の外延量を測定できるような測度概念を定義します。

カラテオドリ拡張

非空集合\(X\)上の集合半環\(\mathfrak{S}\subset 2^{X}\)および集合半環上に定義された\(\sigma \)-加法測度\begin{equation*}m:\mathfrak{S}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}が与えられているものとします。その上で、集合\(A\subset X\)を任意に選びます。この集合\(A\)は集合半環\(\mathfrak{S}\)や最小環\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \)の要素でなくてもよく、\(X\)の任意の部分集合でかまいません。

集合\(A\subset X\)を、集合半環\(\mathfrak{S}\)に属する可算個の集合によって覆うことを考えます。つまり、以下の条件\begin{equation*}A\subset \bigcup_{k=1}^{+\infty }B_{k}
\end{equation*}を満たす可算集合列\(\left\{ B_{k}\right\} _{k=1}^{+\infty }\subset \mathfrak{S}\)を選ぶということです。ちなみに、有限集合列\(\left\{ B_{k}\right\} _{k=1}^{n}\subset \mathfrak{S}\)に対して、\begin{equation*}A\subset \bigcup_{k=1}^{n}B_{k}
\end{equation*}が成り立つ場合には、これらの集合に以下の条件\begin{equation*}
\forall k\in \left\{ n+1,n+2,\cdots \right\} :B_{k}=\phi
\end{equation*}を満たす可算集合列\(\left\{ B_{k}\right\} _{k=n+1}^{+\infty }\subset \mathfrak{S}\)を加えて可算集合列\(\left\{B_{k}\right\} _{k=1}^{+\infty }\)を得ることにより、\begin{equation*}A\subset \bigcup_{k=1}^{+\infty }B_{k}
\end{equation*}が成り立つため、有限集合列もまた\(A\)を覆う集合列の候補となり得ます。

いずれにせよ、集合\(A\)を覆う可算集合列\(\left\{B_{k}\right\} _{k=1}^{+\infty }\)が存在する場合には、その要素である個々の集合\(B_{1},B_{2},\cdots \)の測度\(m\left( B_{1}\right) ,m\left(B_{2}\right) ,\cdots \)の総和\begin{equation*}\sum_{k=1}^{+\infty }m\left( B_{k}\right) =\lim_{n\rightarrow +\infty
}\sum_{k=1}^{n}m\left( B_{k}\right)
\end{equation*}を導出します。集合\(A\)を覆う可算集合列は1つだけとは限らないため、\(A\)を覆うそれぞれの可算集合列に対して先の総和を導出します。さらに、得られた総和どうしを比較した上で、その中の下限を\(A\)の外延量として採用し、それを、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( A\right) =\inf \left\{ \sum_{k=1}^{+\infty }m\left(
B_{k}\right) \ |\ A\subset \bigcup_{k=1}^{+\infty }B_{k},\ B_{k}\in
\mathfrak{S}\right\}
\end{equation*}で表記します。

集合\(A\subset X\)に対して先のように定義される値\(\mu^{\ast }\left( A\right) \)は常に定まるのでしょうか。先の定義において、下限をとろうとしている集合を、\begin{equation*}S\left( A\right) =\left\{ \sum_{k=1}^{+\infty }m\left( B_{k}\right) \ |\
A\subset \bigcup_{k=1}^{+\infty }B_{k},\ B_{k}\in \mathfrak{S}\right\}
\end{equation*}と表記します。まず、\(A\)を覆う集合列\(\left\{B_{k}\right\} _{k=1}^{+\infty }\)が存在しない場合には、\begin{equation}S\left( A\right) =\phi \quad \cdots (1)
\end{equation}であるため、この場合には、\begin{eqnarray*}
\mu ^{\ast }\left( A\right) &=&\inf S\left( A\right) \quad \because \mu
^{\ast }\text{の定義} \\
&=&\inf \phi \quad \because \left( 1\right) \\
&=&+\infty \quad \because \inf \phi =+\infty
\end{eqnarray*}と定めます。続いて、\(A\)を覆う集合列\(\left\{B_{k}\right\} _{k=1}^{+\infty }\)が存在する場合について考えます。集合半環\(\mathfrak{S}\)上に定義された測度\(m\)は非負性を満たすため、\(A\)を覆う任意の集合列\(\left\{ B_{k}\right\} _{k=1}^{+\infty }\)に対して、\begin{equation*}0\leq \sum_{k=1}^{+\infty }m\left( B_{k}\right) \leq +\infty
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(S\left( A\right) \)の中に有限な実数が存在する場合には、すなわち、\begin{equation*}S\left( A\right) \cap \left[ 0,+\infty \right) \not=\phi
\end{equation*}である場合には、\begin{eqnarray*}
\mu ^{\ast }\left( A\right) &=&\inf S\left( A\right) \quad \because \mu
^{\ast }\text{の定義} \\
&=&\inf S\left( A\right) \cap \left[ 0,+\infty \right)
\end{eqnarray*}となりますが、\(S\left( A\right)\cap \left[ 0,+\infty \right) \)は下に有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため、その下限と一致する\(\mu ^{\ast }\left( A\right) \)が1つの実数として定まります。一方、\(S\left( A\right) \)の中に有限な実数が存在しない場合には、すなわち、\begin{equation*}S\left( A\right) \cap \left[ 0,+\infty \right) =\phi
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( A\right) =+\infty
\end{equation*}と定めます。

以上の定義および取り決めを踏まえると、それぞれの集合\(A\in 2^{X}\)に対して、有限な実数または正の無限大であるような以下の値\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( A\right) =\inf \left\{ \sum_{k=1}^{+\infty }m\left(
B_{k}\right) \ |\ A\subset \bigcup_{k=1}^{+\infty }B_{k},\ B_{k}\in
\mathfrak{S}\right\}
\end{equation*}を定める集合関数\begin{equation*}
\mu ^{\ast }:2^{X}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}が定義可能です。ただし、\(2^{X}\)は\(X\)のベキ関数です。つまり、\(\mu ^{\ast }\)は集合半環\(\mathfrak{S}\)や最小環\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \)の要素であるとは限らない\(X\)上の任意の集合\(A\)に対してその外延量\(\mu^{\ast }\left( A\right) \)を定めます。この集合関数\(\mu ^{\ast }\)を集合半環\(\mathfrak{S}\)上の測度\(m\)のカラテオドリ拡張（Carathéodory extension of \(m\)）と呼びます。

カラテオドリ拡張は集合半環上の測度の拡張

集合半環\(\mathfrak{S}\)上の測度\(m\)のカラテオドリ拡張\(\mu ^{\ast }\)を用いることにより、集合\(X\)の任意の部分集合に対して測度を与えることができるようになりました。しかも、\(\mu ^{\ast }\)は\(m\)の拡張になっています。つまり、\(\mu ^{\ast }\)が集合半環\(\mathfrak{S}\)上の集合に対して定める測度は、\(m\)がその集合に対して定める測度と一致します。

カラテオドリ拡張は最小環上の測度の拡張

カラテオドリ拡張\(\mu ^{\ast }\)は最小環\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \)上の測度\(\hat{m}\)の拡張でもあります。つまり、\(\mu ^{\ast }\)が最小環\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}\right) \)上の集合に対して定める測度は、\(\hat{m}\)がその集合に対して定める測度と一致します。

カラテオドリ拡張の非負性

カラテオドリ拡張\(\mu ^{\ast }\)の定義より、\(\mu ^{\ast }\)がそれぞれの集合\(A\in 2^{X}\)に対して定める値は有限な実数または正の無限大であるため、\(\mu^{\ast }\)の終集合は\(\mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)です。つまり、カラテオドリ拡張\(\mu ^{\ast }\)は非負性（non-negativity）を満たします。

カラテオドリ拡張のもとでの空集合の測度

空集合は任意の集合の部分集合であるため\(\phi \subset X\)です。カラテオドリ拡張\(\mu ^{\ast }\)は集合\(X\)のベキ集合\(2^{X}\)上に定義された関数であるため、空集合\(\phi \)に対しても測度を定めますが、その値は、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( \phi \right) =0
\end{equation*}となります。つまり、空集合の測度は\(0\)です。

カラテオドリ拡張の単調性

ある集合\(A\)が別の集合\(B\)の部分集合であるならば、カラテオドリ拡張\(\mu ^{\ast }\)のもとで\(A\)の測度は\(B\)の測度以下になるというのは直感的に正しそうです。実際、これはただしい主張であり、\(\mu ^{\ast }\)が満たすこのような性質を単調性（monotonicity）と呼びます。

カラテオドリ拡張のσ-劣加法性

非空集合\(X\)の中から可算個の部分集合\(\left\{A_{k}\right\} _{k=1}^{+\infty }\subset 2^{X}\)を任意に選んだとき、その和集合もまた\(X\)の部分集合であるため、すなわち、\begin{equation*}\bigcup_{k=1}^{+\infty }A_{k}\in 2^{X}
\end{equation*}が成り立つため、カラテオドリ拡張\(\mu ^{\ast }\)は和集合の測度\(\mu ^{\ast }\left(\bigcup_{k=1}^{+\infty }A_{k}\right) \)を定めます。一方、\(\mu ^{\ast }\)は\(\left\{A_{k}\right\} _{k=1}^{+\infty }\)に属するそれぞれの集合\(A_{k}\)の測度\(\mu ^{\ast }\left( A_{k}\right) \)を定めますが、これらの測度の間に以下の関係\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( \bigcup_{k=1}^{+\infty }A_{k}\right) \leq
\sum_{k=1}^{+\infty }\mu ^{\ast }\left( A_{k}\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。ただし、右辺は拡大実数列\(\left\{ \mu ^{\ast }\left( A_{k}\right) \right\} _{k=1}^{+\infty }\)の項の無限級数の和であり、具体的には、部分和\begin{equation*}S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\mu ^{\ast }\left( A_{k}\right)
\end{equation*}を項とする拡大実数列\(\left\{ S_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty }\)の極限\(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }S_{n}\)として定義されます。つまり、先の関係を正確に表現すると、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( \bigcup_{k=1}^{+\infty }A_{k}\right) \leq
\lim_{n\rightarrow +\infty }\sum_{k=1}^{n}\mu ^{\ast }\left( A_{k}\right)
\end{equation*}となります。以上のような\(\mu ^{\ast }\)の性質を\(\sigma \)-劣加法性（\(\sigma \)-subuadditivity）や可算劣加法性（countable subadditivity）などと呼びます。

非空集合\(X\)の中から有限個の部分集合\(\left\{A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\subset 2^{X}\)を任意に選んだとき、その和集合もまた\(X\)の部分集合であるため、すなわち、\begin{equation*}\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}\in 2^{X}
\end{equation*}が成り立つため、カラテオドリ拡張\(\mu ^{\ast }\)は和集合の測度\(\mu ^{\ast }\left(\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}\right) \)を定めます。一方、\(\mu ^{\ast }\)は\(\left\{ A_{k}\right\}_{k=1}^{n}\)に属するそれぞれの集合\(A_{k}\)の測度\(\mu ^{\ast }\left(A_{k}\right) \)を定めますが、これらの測度の間に以下の関係\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( \bigcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}\right) \leq
\sum_{k=1}^{n}\mu ^{\ast }\left( A_{k}\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。以上のような\(\mu ^{\ast }\)の性質を有限劣加法性（finite-subadditivity）と呼びます。

非空集合\(X\)の中から2つの集合\(A,B\in 2^{X}\)を任意に選んだとき、その和集合もまた\(X\)の部分集合であるため、すなわち、\begin{equation*}A\cup B\in 2^{X}
\end{equation*}が成り立つため、カラテオドリ拡張\(\mu ^{\ast }\)は和集合の測度\(\mu ^{\ast }\left(A\cup B\right) \)を定めます。一方、\(\mu ^{\ast }\)は個々の集合\(A,B\)の測度\(\mu ^{\ast }\left( A\right) ,\mu^{\ast }\left( B\right) \)を定めますが、これらの測度の間に以下の関係\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( A\cup B\right) \leq \mu ^{\ast }\left( A\right) +\mu
^{\ast }\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。以上のような\(\mu ^{\ast }\)の性質を劣加法性（subadditivity）と呼びます。

カラテオドリ拡張は外測度

カラテオドリ拡張\(\mu ^{\ast }\)が以下の4つの性質\begin{eqnarray*}&&\left( O_{1}\right) \ \forall A\in 2^{X}:0\leq \mu ^{\ast }\left( A\right)
\leq +\infty \\
&&\left( O_{2}\right) \ \mu ^{\ast }\left( \phi \right) =0 \\
&&\left( O_{3}\right) \ \forall A,B\in 2^{X}:\left[ A\subset B\Rightarrow
\mu ^{\ast }\left( A\right) \leq \mu ^{\ast }\left( B\right) \right] \\
&&\left( O_{4}\right) \ \forall \left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{+\infty
}\subset 2^{X}:\mu ^{\ast }\left( \bigcup_{k=1}^{+\infty }A_{k}\right) \leq
\sum_{k=1}^{+\infty }\mu ^{\ast }\left( A_{k}\right)
\end{eqnarray*}を満たすことが明らかになりました。以上の事実は、\(\mu ^{\ast }\)が外測度であることを意味します。