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測度空間

測度の連続性(下連続性・上連続性)

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可測事象の単調列

測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)が与えられているものとします。つまり、可測集合族\(\mathfrak{M}\subset 2^{X}\)は可測空間の公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \mathfrak{M}\not=\phi \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathfrak{M}:A^{c}\in \mathfrak{M} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty \
}\subset \mathfrak{M}:\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathfrak{M}
\end{eqnarray*}を満たすとともに、測度\(\mu :\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)は測度の公理\begin{eqnarray*}&&\left( \mu _{1}\right) \ \forall A\in \mathfrak{M}:0\leq \mu \left(
A\right) \leq +\infty \\
&&\left( \mu _{2}\right) \ \mu \left( \phi \right) =0 \\
&&\left( \mu _{3}\right) \ \forall \text{互いに素な}\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty \ }\subset \mathfrak{M}:\mu
\left( \bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) =\sum_{n=1}^{+\infty }\mu \left(
A_{n}\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

可算個の可測集合\(\left\{A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty }\subset \mathfrak{M}\)が以下の条件\begin{equation*}A_{1}\subset A_{2}\subset \cdots
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :A_{n}\subset A_{n+1}
\end{equation*}を満たす場合には、\(\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty }\)を単調増加列(monotonically increasing sequence)と呼びます。

可算個の可測集合\(\left\{A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty }\subset \mathfrak{M}\)が以下の条件\begin{equation*}A_{1}\supset A_{2}\supset \cdots
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :A_{n}\supset A_{n+1}
\end{equation*}を満たす場合には、\(\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty }\)を単調減少列(monotonically decreasing sequence)と呼びます。

単調増加列と単調減少列を総称して単調列(monotone sequence)と呼びます。つまり、可測集合列\(\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty }\subset \mathfrak{M}\)が単調列であることとは、単調増加列または単調減少列の少なくとも一方であることを意味します。

例(単調増加列の生成)
可測集合列\(\left\{ A_{n}\right\}_{n=1}^{+\infty }\subset \mathfrak{M}\)が任意に与えられたとき、新たな集合列\(\left\{ B_{n}\right\}_{n=1}^{+\infty }\subset \mathfrak{M}\)の一般項を、\begin{equation*}B_{n}=\bigcup\limits_{k=1}^{n}A_{n}
\end{equation*}と定義します。可測集合族\(\mathfrak{M}\)は和集合について閉じているため任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(B_{n}\)は可測集合であり、したがって\(\left\{ B_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty }\)は可測集合列であることに注意してください。さらに、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}B_{n} &=&\bigcup\limits_{k=1}^{n}A_{n}\quad \because B_{n}\text{の定義} \\
&\subset &\bigcup\limits_{k=1}^{n+1}A_{n}\quad \because \text{和集合の定義} \\
&=&B_{n+1}\quad \because B_{n}\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\left\{B_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty }\)は単調増加列であることが明らかになりました。こうして、任意の可測集合列から単調増加列を生成することができます。
例(単調減少列の生成)
可測集合列\(\left\{ A_{n}\right\}_{n=1}^{+\infty }\subset \mathfrak{M}\)が任意に与えられたとき、新たな集合列\(\left\{ B_{n}\right\}_{n=1}^{+\infty }\subset \mathfrak{M}\)の一般項を、\begin{equation*}B_{n}=\bigcap\limits_{k=1}^{n}A_{n}
\end{equation*}と定義します。可測集合族\(\mathfrak{M}\)は共通部分について閉じているため任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(B_{n}\)は可測集合であり、したがって\(\left\{ B_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty }\)は可測集合列であることに注意してください。さらに、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}B_{n} &=&\bigcap\limits_{k=1}^{n}A_{n}\quad \because B_{n}\text{の定義} \\
&\supset &\bigcap\limits_{k=1}^{n+1}A_{n}\quad \because \text{共通部分の定義} \\
&=&B_{n+1}\quad \because B_{n}\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\left\{B_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty }\)は単調減少列であることが明らかになりました。こうして、任意の可測集合列から単調減少列を生成することができます。

 

測度の下連続性(下からの連続性)

可測集合列\(\left\{ A_{n}\right\}_{n=1}^{+\infty }\subset \mathfrak{M}\)が単調増加列であるものとします。つまり、\begin{equation*}A_{1}\subset A_{2}\subset \cdots
\end{equation*}が成り立つということです。測度\(\mu :\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)は単調性を満たすため、測度からなる拡大実数列\(\left\{ \mu\left( A_{n}\right) \right\} _{n=1}^{+\infty }\)に関して、\begin{equation*}\mu \left( A_{1}\right) \leq \mu \left( A_{2}\right) \leq \cdots
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\left\{ \mu \left( A_{n}\right) \right\}_{n=1}^{+\infty }\)は単調増加な拡大実数列です。さて、可測集合族\(\mathfrak{M}\)は可算合併について閉じているため、\begin{equation*}\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathfrak{M}
\end{equation*}であり、したがって測度\(\mu \)のもとで和集合の測度\(\mu \left( \bigcup_{n=1}^{+\infty}A_{n}\right) \)が1つの拡大実数として定まることが保証されますが、この場合、先の拡大実数列\(\left\{ \mu \left( A_{n}\right) \right\} _{n=1}^{+\infty }\)は拡大実数へ収束するとともに、以下の関係\begin{equation*}\mu \left( \bigcup\limits_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
+\infty }\mu \left( A_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。以上の性質を測度\(\mu \)の下連続性(continuity from below)と呼びます。

命題(測度の下連続性)

測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)において、可測集合列\(\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty }\subset \mathfrak{M}\)が単調増加列であるならば、\begin{equation*}\mu \left( \bigcup\limits_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
+\infty }\mu \left( A_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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測度の上連続性(上からの連続性)

可測集合列\(\left\{ A_{n}\right\}_{n=1}^{+\infty }\subset \mathfrak{M}\)が単調減少列であるものとします。つまり、\begin{equation*}A_{1}\supset A_{2}\supset \cdots
\end{equation*}が成り立つということです。測度\(\mu :\mathfrak{M}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)は単調性を満たすため、測度からなる拡大実数列\(\left\{ \mu\left( A_{n}\right) \right\} _{n=1}^{+\infty }\)に関して、\begin{equation*}\mu \left( A_{1}\right) \geq \mu \left( A_{2}\right) \geq \cdots
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\left\{ \mu \left( A_{n}\right) \right\}_{n=1}^{+\infty }\)は単調減少な拡大実数列です。特に、\begin{equation*}\mu \left( A_{1}\right) <+\infty
\end{equation*}である場合を想定します。この場合、\(\left\{ \mu\left( A_{n}\right) \right\} _{n=1}^{+\infty }\)は単調減少な実数列になります。さて、可測集合族\(\mathfrak{M}\)は可算交叉について閉じているため、\begin{equation*}\bigcap\limits_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathfrak{M}
\end{equation*}であり、したがって測度\(\mu \)のもとで共通部分の測度\(\mu \left( \bigcap_{n=1}^{+\infty}A_{n}\right) \)が1つの拡大実数として定まります。実際には、\(A_{1}\subset \bigcap_{n=1}^{+\infty}A_{n}\)および\(\mu \left( A_{1}\right) <+\infty \)に加えて\(\mu \)の単調性より\(\mu \left( \bigcap_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) \)は実数になることが保証されます。さらにこの場合、先の実数列\(\left\{ \mu \left( A_{n}\right) \right\} _{n=1}^{+\infty }\)は実数へ収束するとともに、以下の関係\begin{equation*}\mu \left( \bigcap\limits_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
+\infty }\mu \left( A_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。以上の性質を測度\(\mu \)の上連続性(continuity from above)と呼びます。

命題(測度の下連続性)

測度空間\(\left( X,\mathfrak{M},\mu \right) \)において、可測集合列\(\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty }\subset \mathfrak{M}\)が単調減少列であるとともに、\begin{equation*}\mu \left( A_{1}\right) <+\infty
\end{equation*}であるならば、\begin{equation*}
\mu \left( \bigcap\limits_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
+\infty }\mu \left( A_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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