集合半環上のσ-加法測度
集合\(X\)の集合半環\(\mathfrak{S}\subset 2^{X}\)が与えられているものとします。つまり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( S_{1}\right) \ \phi \in \mathfrak{S} \\
&&\left( S_{2}\right) \ \forall A,B\in \mathfrak{S}:A\cap B\in \mathfrak{S}
\\
&&\left( S_{3}\right) \ \forall A,B\in \mathfrak{S},\ \exists n\in \mathbb{N} ,\ \exists \text{互いに素な}\left\{
A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\subset \mathfrak{S}:A\backslash
B=\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}
\end{eqnarray*}が成り立つということです。さらに、集合半環\(\mathfrak{S}\)上に定義された集合関数\begin{equation*}m:\mathfrak{S}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。ただし、\(\overline{\mathbb{R} }\)は拡大実数系であり、\begin{equation*}\overline{\mathbb{R} }=\mathbb{R} \cup \left\{ \pm \infty \right\}
\end{equation*}です。つまり、集合関数\(m\)はそれぞれの集合\(A\in \mathfrak{S}\)に対して拡大実数\(m\left( A\right) \in \overline{\mathbb{R} }\)を1つずつ定めるということです。
集合関数\(m:\mathfrak{S}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が以下の2つの条件を満たす場合には、\(m\)を\(\sigma \)-加法測度（\(\sigma \)-additive measure）や可算測度（countable measure）などと呼びます。
1つ目の条件は、集合\(A\in \mathfrak{S}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}0\leq m\left( A\right) \leq +\infty
\end{equation*}が成り立つということです。つまり、集合関数\(m\)がそれぞれの集合\(A\)に対して定める値は非負の実数または正の無限大です。以上のような\(m\)の性質を非負性（non-negativity）と呼びます。
2つ目の条件は以下の通りです。集合半環\(\mathfrak{S}\)の中から可算個の互いに素な集合を任意に選んだ上で、それらを要素とする集合列\(\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty }\)を構成します。その上で、この集合列の和集合\begin{equation*}\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}
\end{equation*}をとります。集合半環\(\mathfrak{S}\)は和集合について閉じていないため、この和集合は\(\mathfrak{S}\)の要素であるとは限りません。その一方で、\begin{equation*}\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathfrak{S}
\end{equation*}を満たす集合列\(\left\{A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty }\)に対しては集合関数\(m\)が拡大実数\(m\left( \bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) \)を定めますが、この場合、\(\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty }\)の和集合に対して\(m\)が定める値と、\(\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty }\)の要素である個々の集合に対して\(m\)が定める値の間には以下の関係\begin{equation*}m\left( \bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) =\sum_{n=1}^{+\infty }m\left(
A_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つものと定めます。ただし、右辺は拡大実数列\(\left\{ m\left(A_{n}\right) \right\} _{n=1}^{+\infty }\)の項の無限級数の和であり、具体的には、部分和\begin{equation*}S_{N}=\sum_{n=1}^{N}m\left( A_{n}\right)
\end{equation*}を項とする拡大実数列\(\left\{ S_{N}\right\} _{N=1}^{+\infty }\)の極限\(\lim\limits_{N\rightarrow +\infty }S_{N}\)として定義されます。つまり、先の関係を正確に表現すると、\begin{equation*}m\left( \bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) =\lim\limits_{N\rightarrow
+\infty }\sum_{n=1}^{N}m\left( A_{n}\right)
\end{equation*}となります。以上のような\(m\)の性質を\(\sigma \)-加法性（\(\sigma \)-additivity）や可算加法性（countably additivity）などと呼びます。
改めて整理すると、集合関数\(m:\mathfrak{S}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が\(\sigma \)-加法測度であることとは、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall A\in \mathfrak{S}:0\leq m\left( A\right)
\leq +\infty \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall \text{互いに素な}\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty }\subset \mathfrak{S}:\left[
\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathfrak{S}\Rightarrow m\left(
\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) =\sum_{n=1}^{+\infty }m\left(
A_{n}\right) \right]
\end{eqnarray*}が成り立つこととして定義されます。その上で、\(\sigma \)-加法測度\(m\)がそれぞれの集合\(A\in \mathfrak{S}\)に対して定める値\(m\left( A\right) \)を\(A\)の\(\sigma \)-加法測度（\(\sigma \)-additive measure）や可算測度（countable measure）などと呼びます。また、\(\left( M_{1}\right) \)を踏まえた上で、以降では\(\sigma \)-加法測度を、\begin{equation*}m:\mathfrak{S}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}と表記します。
\end{equation*}は集合半環です。そこで、それぞれの区間\(\left[ a,b\right) \in \mathfrak{S}\)に対して、\begin{equation*}m\left( \left[ a,b\right) \right) =b-a
\end{equation*}を値として定める集合関数\(m:\mathfrak{S}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を定義すれば、これは\(\sigma \)-加法測度になります（演習問題）。
b_{i}<+\infty \right\}
\end{equation*}は集合半環です。そこで、それぞれの区間\(\left[ a,b\right) \in \mathfrak{S}\)に対して、\begin{equation*}m\left( \prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right) \right) =\left(
b_{1}-a_{1}\right) \times \cdots \times \left( b_{n}-a_{n}\right)
\end{equation*}を値として定める集合関数\(m:\mathfrak{S}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を定義すれば、これは\(\sigma \)-加法測度になります（演習問題）。
\end{equation*}である場合には、事象空間\(\mathcal{F}\)を、\begin{equation*}\mathcal{F}=2^{\Omega }
\end{equation*}と定めれば、これは集合半環になります。その上で、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :P\left( \left\{ \omega _{n}\right\} \right) \geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \sum_{n=1}^{+\infty }P\left( \left\{ \omega _{n}\right\}
\right) =1 \\
&&\left( c\right) \ \forall A\in 2^{\Omega }:P\left( A\right) =\sum_{\omega
_{n}\in A}P\left( \left\{ \omega _{n}\right\} \right)
\end{eqnarray*}を満たす集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を定義すれば、これは\(\sigma \)-加法測度になります（演習問題）。
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:A^{c}\in \mathcal{F} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty
}\subset \mathcal{F}:\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\in \mathcal{F}
\end{eqnarray*}を満たすものとして定義すれば、これは集合半環になります。その上で、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( P_{1}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:P\left( A\right) \geq 0 \\
&&\left( P_{2}\right) \ P\left( \Omega \right) =1 \\
&&\left( P_{3}\right) \ \forall \text{互いに素な}\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty }\subset \mathcal{F}:m\left(
\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\right) =\sum_{n=1}^{+\infty }m\left(
A_{n}\right)
\end{eqnarray*}を満たす集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を定義すれば、\(\left(P_{1}\right) ,\left( P_{3}\right) \)より、これは\(\sigma \)-加法測度です。
空集合の測度
集合半環\(\mathfrak{S}\)の定義より、\begin{equation*}\phi \in \mathfrak{S}
\end{equation*}が成り立つため、\(\sigma \)-加法測度\(m\)は空集合の測度\(m\left( \phi \right) \)を定めますが、有限な測度を持つ集合が集合半環\(\mathfrak{S}\)上に存在する場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists A\in \mathfrak{S}:0\leq m\left( A\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、空集合の測度は、\begin{equation*}
m\left( \phi \right) =0
\end{equation*}となります。
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
m\left( \phi \right) =0
\end{equation*}が成り立つ。
有限加法性
集合半環\(\mathfrak{S}\)の中から有限個の互いに素な集合を任意に選んだ上で、それらを要素とする集合列\(\left\{A_{n}\right\} _{n=1}^{N}\)を構成します。その上で、この集合列の和集合\begin{equation*}\bigcup_{n=1}^{N}A_{n}
\end{equation*}をとります。集合半環\(\mathfrak{S}\)は和集合について閉じていないため、この和集合は\(\mathfrak{S}\)の要素であるとは限りません。その一方で、\begin{equation*}\bigcup_{n=1}^{N}A_{n}\in \mathfrak{S}
\end{equation*}を満たす集合列\(\left\{A_{n}\right\} _{n=1}^{N}\)に対しては、\(\sigma \)-加法測度\(m\)が測度\(m\left(\bigcup_{n=1}^{N}A_{n}\right) \)を定めますが、この場合、\(\left\{A_{n}\right\} _{n=1}^{N}\)の和集合に対して\(m\)が定める値と、\(\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{N}\)の要素である個々の集合に対して\(m\)が定める値の間には以下の関係\begin{equation*}m\left( \bigcup_{n=1}^{N}A_{n}\right) =\sum_{n=1}^{N}m\left( A_{n}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、集合半環の要素である互いに素な有限個の集合の和集合が集合半環の要素である場合、和集合の測度は、個々の集合の測度の和と一致するということです。以上のような\(m\)の性質を有限加法性（finite additivity）と呼びます。
A_{n}\right\} _{n=1}^{N}\subset \mathfrak{S}:\left[ \bigcup_{n=1}^{N}A_{n}\in \mathfrak{S}\Rightarrow m\left( \bigcup_{n=1}^{N}A_{n}\right)
=\sum_{n=1}^{N}m\left( A_{n}\right) \right] \end{equation*}が成り立つ。
集合半環\(\mathfrak{S}\)の中から有限個の互いに素な2つの集合\(A,B\)を任意に選んだ上で、それらの和集合\begin{equation*}A\cup B
\end{equation*}をとります。集合半環\(\mathfrak{S}\)は和集合について閉じていないため、この和集合は\(\mathfrak{S}\)の要素であるとは限りません。その一方で、\begin{equation*}A\cup B\in \mathfrak{S}
\end{equation*}を満たす集合\(A,B\)に対しては、\(\sigma \)-加法測度\(m\)が測度\(m\left( A\cup B\right) \)を定めますが、この場合、和集合\(A\cup B\)に対して\(m\)が定める値と、個々の集合\(A,B\)に対して\(m\)が定める値の間には以下の関係\begin{equation*}m\left( A\cup B\right) =m\left( A\right) +m\left( B\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、集合半環の要素である互いに素な2つの集合の和集合が集合半環の要素である場合、和集合の測度は、個々の集合の測度の和と一致するということです。以上のような\(m\)の性質を加法性（additivity）と呼びます。
\mathfrak{S}\Rightarrow m\left( A\cup B\right) =m\left( A\right) +m\left(
B\right) \right] \end{equation*}が成り立つ。
測度の一意性
集合半環の要素である集合\(A\in \mathfrak{S}\)を任意に選んだとき、有限個の互いに素な集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\in \mathfrak{S}\)を用いて、\begin{equation*}A=\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}
\end{equation*}と表現できます。さらに、\(\sigma \)-加法測度\(m:\mathfrak{S}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)は有限可能性を満たすため、この集合\(A\)の測度は、\begin{equation}m\left( A\right) =\sum_{k=1}^{n}m\left( A_{k}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}と定まります。ただし、集合を有限展開する方法は一意的ではありません。つまり、先の集合\(A\)に対して、先ほどとは異なる有限個の互いに素な集合\(B_{1},\cdots ,B_{m}\in \mathfrak{S}\)が存在して、\begin{equation*}A=\bigcup_{l=1}^{m}B_{l}
\end{equation*}と表現できるということです。このとき、やはり\(m\)の有限加法性より、\begin{equation}m\left( A\right) =\sum_{l=1}^{m}m\left( B_{k}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。つまり、同一の集合を異なる形で有限展開したとき、その測度は\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)のように異なる形で表されますが、実は、両者の値は必ず一致します。集合の測度は有限展開の仕方によらず一定であることです。
単調性
集合半環\(\mathfrak{S}\)の要素である集合\(A,B\)について\(A\)が\(B\)の部分集合であるならば、\(A\)の測度は\(B\)の測度以下になります。以上のような\(m\)の性質を単調性（monotonicity）と呼びます。
\leq m\left( B\right) \right] \end{equation*}が成り立つ。
集合半環\(\mathfrak{S}\)の要素である集合\(A\)に対して、同じく\(\mathfrak{S}\)の要素である互いに素な有限個の集合\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\)が存在して、\begin{equation*}\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}\subset A
\end{equation*}が成り立つものとします。このとき、これらの集合の測度の間には以下の関係\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{n}m\left( A_{k}\right) \leq m\left( A\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
集合\(X\)の集合半環\(\mathfrak{S}\subset 2^{X}\)上に定義された\(\sigma \)-加法測度\(m:\mathfrak{S}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)について、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} ,\ \forall A\in \mathfrak{S},\ \forall \text{互いに素な}\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\subset \mathfrak{S}:\left[
\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}\subset A\Rightarrow \sum_{k=1}^{n}m\left(
A_{k}\right) \leq m\left( A\right) \right]
\end{equation*}が成り立つ。
集合半環\(\mathfrak{S}\)の要素である集合\(A\)に対して、同じく\(\mathfrak{S}\)の要素である互いに素な可算個の集合\(\left\{ A_{n}\right\}_{n=1}^{+\infty }\)が存在して、\begin{equation*}\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\subset A
\end{equation*}が成り立つものとします。このとき、これらの集合の測度の間には以下の関係\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{+\infty }m\left( A_{n}\right) \leq m\left( A\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
集合\(X\)の集合半環\(\mathfrak{S}\subset 2^{X}\)上に定義された\(\sigma \)-加法測度\(m:\mathfrak{S}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)について、\begin{equation*}\forall A\in \mathfrak{S},\ \forall \text{互いに素な}\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty }\subset \mathfrak{S}:\left[
\bigcup_{n=1}^{+\infty }A_{n}\subset A\Rightarrow \sum_{n=1}^{+\infty
}m\left( A_{n}\right) \leq m\left( A\right) \right]
\end{equation*}が成り立つ。
減法性
集合半環\(\mathfrak{S}\)の要素である集合\(A,B\)について\(A\)が\(B\)の部分集合であるものとします。集合半環\(\mathfrak{S}\)は差集合について閉じていないため差集合\(B\backslash A\)は\(\mathfrak{S}\)の要素であるとは限りません。その一方で、\begin{equation*}B\backslash A\in \mathfrak{S}
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(\sigma \)-加法測度\(m\)が測度\(m\left( B\backslash A\right) \)を定めますが、具体的には、\begin{equation*}m\left( B\backslash A\right) =m\left( B\right) -m\left( A\right)
\end{equation*}と定まります。つまり、差集合\(B\backslash A\)が集合半環の要素である場合、その測度は\(B\)の測度から\(A\)の測度を引くことにより得られるということです。ただし、\begin{equation*}\mu \left( A\right) =+\infty
\end{equation*}の場合には先の差は定義不可能であるため、先の関係は有限な測度を持つ集合\(A\)に関してのみ成立します。以上のような\(m\)の性質を減法性（subtractivity）と呼びます。
&&\left( b\right) \ B\backslash A\in \mathfrak{S} \\
&&\left( c\right) \ 0\leq m\left( A\right) <+\infty
\end{eqnarray*}がいずれも成り立つ場合には、\begin{equation*}
m\left( A\backslash B\right) =m\left( A\right) -m\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つ。
劣加法性
\(\sigma \)-加法測度\(m\)の性質の1つである\(\sigma \)-加法性は互いに素な集合な可算個の集合の測度に関するものですが、互いに素であるとは限らない可算個の集合の測度について何らかの性質を導くことはできるのでしょうか。
集合半環\(\mathfrak{S}\)の中から可算個の集合を任意に選んだ上で、それらを要素とする集合列\(\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{+\infty }\)を構成します。これまでの議論とは異なり、これらの集合は互いに素である必要はありません。その上で、\(\mathfrak{S}\)に属する集合\(A\)に関して以下の包含関係\begin{equation*}A\subset \bigcup\limits_{n=1}^{+\infty }A_{n}
\end{equation*}が成立する場合には、これらの集合の測度の間に以下の関係\begin{equation*}
m\left( A\right) \leq \sum_{n=1}^{+\infty }m\left( A_{n}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。以上のような\(m\)の性質を\(\sigma \)-劣加法性（\(\sigma \)-subadditivity）や可算劣加法性（countably subadditivity）などと呼びます。
}\subset \mathfrak{S}:\left[ A\subset \bigcup\limits_{n=1}^{+\infty
}A_{n}\Rightarrow m\left( A\right) \leq \sum_{n=1}^{+\infty }m\left(
A_{n}\right) \right] \end{equation*}が成り立つ。
集合半環\(\mathfrak{S}\)の中から有限個の集合を任意に選んだ上で、それらを要素とする集合列\(\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{N}\)を構成します。これらの集合は互いに素である必要はありません。その上で、\(\mathfrak{S}\)に属する集合\(A\)に関して以下の包含関係\begin{equation*}A\subset \bigcup\limits_{n=1}^{N}A_{n}
\end{equation*}が成立する場合には、これらの集合の測度の間に以下の関係\begin{equation*}
m\left( A\right) \leq \sum_{n=1}^{N}m\left( A_{n}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。以上のような\(m\)の性質を有限劣加法性（finite subadditivity）と呼びます。
_{n=1}^{N}\subset \mathfrak{S}:\left[ A\subset
\bigcup\limits_{n=1}^{N}A_{n}\Rightarrow m\left( A\right) \leq
\sum_{n=1}^{N}m\left( A_{n}\right) \right] \end{equation*}が成り立つ。
集合半環\(\mathfrak{S}\)の中から2つの集合\(B,C\)を任意に選びます。これらの集合は互いに素である必要はありません。その上で、\(\mathfrak{S}\)に属する集合\(A\)に関して以下の包含関係\begin{equation*}A\subset B\cup C
\end{equation*}が成立する場合には、これらの集合の測度の間に以下の関係\begin{equation*}
m\left( A\right) \leq m\left( B\right) +m\left( C\right)
\end{equation*}が成り立ちます。以上のような\(m\)の性質を劣加法性（subadditivity）と呼びます。
A\right) \leq m\left( B\right) +m\left( C\right) \right] \end{equation*}が成り立つ。
演習問題
\end{equation*}は集合半環です。そこで、それぞれの区間\(\left[ a,b\right) \in \mathfrak{S}\)に対して、\begin{equation*}m\left( \left[ a,b\right) \right) =b-a
\end{equation*}を値として定める集合関数\(m:\mathfrak{S}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を定義すれば、これが\(\sigma \)-加法測度になることを示してください。
\end{equation*}である場合には、事象空間\(\mathcal{F}\)を、\begin{equation*}\mathcal{F}=2^{\Omega }
\end{equation*}と定めれば、これは集合半環になります。その上で、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :P\left( \left\{ \omega _{n}\right\} \right) \geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \sum_{n=1}^{+\infty }P\left( \left\{ \omega _{n}\right\}
\right) =1 \\
&&\left( c\right) \ \forall A\in 2^{\Omega }:P\left( A\right) =\sum_{\omega
_{n}\in A}P\left( \left\{ \omega _{n}\right\} \right)
\end{eqnarray*}を満たす集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を定義すれば、これが\(\sigma \)-加法測度になることを示してください。
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